安徽省卓越县中联盟＆皖豫名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题（北师大版） 含解析

安徽卓越县中联盟皖豫名校联盟学年高一（下）期中检测数学考生注意：答题卡上的指定位置.橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的最小正周期为（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】由正弦型函数的周期公式计算即得.【详解】函数的最小正周期为.故选：D.2.的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案.【详解】.第1页/共16页故选：A.3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】由三角函数的平移变化即可得出的答案.【详解】所以把函数的图象向右平移个单位长度可得：，故选：C.4.已知平面向量，，满足，，且，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，两边平方，由向量数量积运算得，再由夹角公式求解.【详解】因为，所以，即，得，设与的夹角为θ，则，因为，所以.故选：C5.若，则（）第2页/共16页A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知式两边平方，可得，将所求式进行配方后，代入结论计算即得.，则.故选：B.6.中，，，，的长为（）A1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得.【详解】在中，由余弦定理得：，所以在中，由正弦定理得，所以第3页/共16页故选：B7.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦函数的单调递减区间，利用整体代换的方法求解即可.【详解】因为，，所以，又因为函数在区间上单调递减，所以，,即，故当时，.故选：A8.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可.【详解】因为，所以，且，所以，，又因为，所以，则.第4页/共16页故选：C.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由三角形的诱导公式对选项一一化简即可得出答案.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BD.10.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.B.C.若与的夹角为锐角，则的取值范围为D.与夹角的余弦值为第5页/共16页【答案】ABD【解析】AB向量共线计算判断C；利用向量坐标求模公式及求向量夹角公式即可判断选项D.【详解】对于A，，则，故A正确；对于B，因为所以故B正确；对于C，，若与的夹角为锐角，则得且与，解得：且则的取值范围为：，故C错误；对于D，，，，所以与夹角的余弦值为：，故D正确.故选：ABD.已知函数，则（）A.B.直线是曲线的一条对称轴C.在区间上单调递增D.存在，使得成立【答案】AC第6页/共16页【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简函数成余弦型函数，再根据选项内容逐一判断即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，当时故B错误；对于C，当时，因在上单调递增，则在上单调递增，故C正确；对于D，若则是函数的一个周期，因的最小正周期为π，所以即显然不存在整数，使得，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.函数的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值.详解】由，可得.故答案为：.13.已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，第7页/共16页的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件得出向量、、的坐标，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出的表达式，进而求出其最小值.【详解】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系，不妨设，.设，已知，，可得：，，所以..根据向量模的计算公式：可得：因为，所以，则，当且仅当时取等号.故答案为：.14.已知点为的重心，分别为边，上一点，为，，三点共线，且，则的最大值为_____.【答案】##0.5625【解析】【分析】利用三角形重心性质和共线向量基本定理推得，与已知式比较，得到，再运用基本不等式求解即得.【详解】因为点为的重心，所以.因为三点共线，所以存在使得，第8页/共16页则，又则得即.由图可知因当且仅当时等号成立，故的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，且.（1）求；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）【解析】1，得到关于的一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）先由二倍角的正切公式求出，再由两角和的正切公式计算，结合角的范围即可得出答案.【小问1详解】已知，且，所以，解得：或，第9页/共16页因为，所以.【小问2详解】因为，所以，又因为，所以.因为，，，所以，所以.16.已知函数的最大值为2，最小值为0，且其图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求的解析式；（2）若函数在区间内有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）根据函数的最大值和最小值求出，根据相邻两条对称轴间的距离求出，得出解析式；（2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出满足的范围，然后根据已知条件列出不等关系，求解即可.第10页/共16页【小问1详解】由已知得,解得.由相邻两条对称轴间的距离为可知周期,于是，故函数解析式为小问2详解】当时，，函数在区间内有两个零点，则在区间上有两个根，，则，所以.17.在直角坐标系中，已知点，，，点满足，，（1）求；（2）求在上的投影向量的坐标.【答案】（1）（2）【解析】1）将向量坐标代入已知式，求解方程组即得；（2）分别求出与的坐标，代入投影向量计算公式即可.【小问1详解】由，，可得，即，则有，解得，第11页/共16页故【小问2详解】由（1）可得，因，则，，于是在上的投影向量为，则在上的投影向量的坐标为，即.18.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，，的平分线交于点，求线段的长；（3）若是锐角三角形，且，求面积取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】1围即可求得角；（2）由三角形面积公式和等面积建立方程，求解即得；（3）方法一：作于点，过点作，由题可得点在之间，根据图形得，推得，即可代入三角形面积公式求得其范围；方法二：由正弦定理可得利用正切函数的单调性求得范围【小问1详解】第12页/共16页即因，则，故，解得.【小问2详解】由（1）已得由为的平分线，可得设，由可得，即解得，即.【小问3详解】方法一：如图，作于点，过点作，交直线于点，当点在之间时，为锐角三角形∴，即，因，则得，的面积的取值范围为.方法二：由正弦定理，可得第13页/共16页∵均为锐角解得故可得故又，的面积的取值范围为19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为的相伴向量，同时称为向量的相伴函数.（1）记的相伴函数为，当时，若，求的值；（2）已知动点满足，且的相伴函数在时取得最大值，求的最小值；（3为函数中，，为的外心，求的最大值.【答案】（1）（2）（3）6【解析】【分析】（1）由“相伴函数”定义和题设求得，利用同角的三角函数关系式求得，再利用拆角变换与差角公式计算即可；（2）将函数化成，由题意推得，化简第14页/共16页可得，由代入化简得，利用双勾函数的单调性即得；（3）由题意先求出，作于点，利用三角形的外心性质与向量数量积的几何意义化简得，代入所求式，利用正弦定理将其化成，借助于三角函数的性质即得.【小问1详解】依题意，，由，可得，因，则