2024-2025学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市房山区高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列{an}的通项公式为an=−2n+1，则数列A.−2 B.2 C.−3 D.32.已知数列{an}是等比数列，若a1=1，a2A.2 B.4 C.8 D.163.已知数列{an}的前n项和Sn=nA.an=2n−1 B.an=2n

C.4.下列求导运算正确的是(

)A.(sinπ6)′=cosπ6 B.5.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象大致如图所示，则下列结论中正确的是(

)A.f(x)在(2,3)上单调递减

B.x=0是f(x)的极小值点

C.x=3是f(x)的极大值点

D.曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为06.我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱(“钱”是古代的一种计量单位)，每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到(

)A.13钱 B.23钱 C.56钱 7.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6A.−2 B.−3 C.2 D.38.设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极小值，则实数c的值为(

)A.2 B.2或6 C.6 D.4或610.已知函数f(x)=ax3−3x2+1.若f(x)有且只有一个零点x0，且A.(−∞,−2) B.(−2,0) C.(2,+∞) D.(0,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知函数f(x)=3x−1，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=12.已知数列{an}满足an+1an=−2,Sn为其前13.等比数列{an}满足如下条件：①q>1，②数列{an}单调递减，写出满足上述两个条件的数列{14.分别过点(0,1)和(0,0)作曲线y=ex的切线，切线的斜率分别为______和______．15.若函数f(x)=mx2+lnx−x在定义域内有递减区间，则实数m16.在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的．选用正实数数列{an}，{bn}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：an+1=2an+bn，bn+1=an+2bn(n=1,2,⋯)，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程．若两组信息的初始信息强度满足a1>b1，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：

①∀n∈N∗，三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知等差数列{an}满足a2=3，a3+a5=14．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1=218.(本小题14分)

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x0处取得极大值1.x(−∞,−−(−1(1,+∞)f′(x)−0+0−(1)写出函数f(x)的单调区间，以及x0的值；

(2)求函数f(x)的解析式；

(3)求函数f(x)在[−2,2]上的最大值．19.(本小题14分)

已知数列{an}中，a1=1且an+1=an2an+1．

(Ⅰ)求数列{an}的第2，20.(本小题14分)

已知函数f(x)=a(ex+a)−x．

(1)当a=1时，求函数y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)讨论函数y=f(x)的单调性；

(3)证明：当a>0时，21.(本小题14分)

若无穷数列{an}满足：对于任意正整数p，q，如果ap=aq，那么ap+1=aq+1，则称数列{an}具有性质T．

(1)已知数列{an}具有性质T，且a1=a4=1，a2+a3=9，a5=5，求a6；

(2)已知无穷数列{bn参考答案1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】3

12.【答案】5

13.【答案】−2n(14.【答案】1

e

15.【答案】(−∞,116.【答案】①②③

17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a2=3，

所以a3+a5=(a2+d)+(a2+3d)=2a2+4d=14，

解得d=2，所以an=a2+(n−2)d=2n−1，

所以数列{an}的通项公式an=2n−1；

(2)若选①，由bn+1=2bn可知{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以bn=2×2n−1=2n，所以cn=2n−1+2n，

所以Sn=c1+c2+c3+⋯+cn

=(1+2)+(3+22)+(5+23)+⋯+(2n−1+2n)

=n[1+(2n−1)]2+2(1−2n)1−2=n2−2+2n+1；

若选②，由bn+1=−bn可知{bn}是以2为首项，−1为公比的等比数列，

所以bn=2×(−1)n−1，所以cn=2n−1+2(−1)n−1，

所以Sn=c1+c2+c3+⋯+cn

=(1+2)+(3−2)+(5+2)+⋯+[2n−1+2(−1)n−1]

=n[1+(2n−1)]2+2[1−(−1)n]1−(−1)=n2+1−(−1)n；

若选③，由bn=2an，an=2n−1可得bn=22n−1=4n2，

所以可知{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列，

所以cn=2n−1+4n2，

所以Sn=c1+c2+c3+⋯+cn

=(1+12×4)+(3+12×42)+(5+12×43)+⋯+(2n−1+12×4n)

=(1+3+5+⋯+2n−1)+12(4+42+43+⋯+4n)

=n[1+(2n−1)]2+12×4[1−4n]1−4=n2+23(4n−1)．

18.解：(1)由表格可知，当x∈(−∞,−13)时，f′(x)<0，即f(x)单调递减，

当x∈(−13,1)时，f′(x)>0，即f(x)单调递增，

当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，即f(x)单调递减，

所以x=−13时，f(x)取得极小值，

x=1时，f(x)取得极大值，即x0=1，

f(x)的单调减区间是(−∞,−13)和(1,+∞)，

f(x)的单调增区间是(−13,1)．

(2)由f(x)=ax3+bx2+cx可得f′(x)=3ax2+2bx+c，

由(1)可知，f′(x)的零点是−13,1，

由韦达定理可得−13+1=−2b3a−13×1=c3a，解得b=c=−a，

由f(x)在21.解：(1)由a1=a4=1，则a2=a5=5，所以a3=9−a2=4，a6=a3=4．

(2)根