2022年中考数学专题复习：动态几何探究（截长补短法）

2022年中考数学专题复习：动态几何探究（截长补短法）

1.在平行四边形A8CZ）中，于E,于/，〃为AO上一动点，连

接CH,CH交AK于G,且A石=6=4.

（1）如图1,若NB=&）。，求C尸、所的长；

（2）如图2,当/・7/=/0时，求证：CG=£D+AG；

（3）如图3,若N8=60。，点〃是直线AO上任一点，将线段C77绕C点逆时针旋转

60。，得到线段C”'，请直接写出A/T的最小值

2.如图1,在等边三角形A4C中，AD_LBC于DCE_L4B于民A。与相交于点

O.

（1）求证：OA=2DO；

（2）如图2,若点G是线段AO上一点，CG平分/BCS/BG/=60。,6/交CE所在直

线于点尸.求证：GB=GF.

（3）如图3,若点G是线段。4上一点（不与点。重合），连接8G,在8G下方作

/BGF=60。,边G厂交值所在直线于点尸.猜想：OG,OF、QA三条线段之间的数量

关系，并证明.

3.如图，在四边形ABC。中，入8=八。,々+乙仞。=180。，点从尸分别在直线

BC、6上，且/印亭84/).

⑴当点£F分别在边BC、CQ上时(如图I),请说明=的理由.

(2)当点心产分别在边BC、。。延长线上时(如图2),(I)中的结论是否仍然成立?

若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、尸。之间的数量关系，并说明理

由.

4.(1)如图I,在四边形48co中，AB=AD,NB=/Q=90。，E、尸分别是边BC、

CO上的点，且NE4/=/NB4。，线段EF、BE、阳之间的关系是；(不需要证

明)

(2)如图2,在四边形ABCO中，AB=AD,/8+/。=180。，E、F分别是边BC、

8上的点，且ZEA/一^■NBA。，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明.若

不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

(3)如图3,在四边形ABCO中，AB=AD,ZB+Z/)=180°,E、尸分别是边8C、

CO延长线上的点，且/以r=gNZMO,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证

明.若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

图2图3

5.(1)阅读理解：问题：如图1,在四边形A8CD中，对角线80平分乙ABC,

ZA4-ZC=180°.求证：DA=DC.

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.

方法1：在8c上截取而=小，连接QM,得到全等三角形，进而解决问题；

方法2：延长胸到点N,使得BN=BC,连接DV,得到全等三角形，进而解决问

题.

结合图I,在方法1和方法2中住造1杓，添加辅助线并完成证明.

(2)问题解决：如图2,在(1)的条件下，连接AC,当ND4C=60。时，探究线段

AB,BC,30之间的数量关系，并说明理由；

(3)问题拓展：如图3,在四边形A8c。中，ZA+ZC=180°,DA=DC,过点。作

DEA.BC,垂足为点E,请直接写出线段人8、CE、BC之间的数量关系.

图1图2图3

6.在△人4c中，八。为的角平分线，点£是直线8。上的动点.

(1)如图1,当点七在C8的延长线上时，连接4E,若NE=48。，AE=AD=DC,则

NA3C的度数为

(2)如图2,AOAB,点P在线段4。延长线上，比较AC+期与/W+CP之间的大小

关系，并证明.

(3)连接4E,若ND4E=9O。，/84C=24。，且满足AB+AC=EC,请求出NAC8的

度数(要求：画图，写思路，求出度数).

图1

7.如图，在“IBC中，4=45。.

(1)如图1,若AC=66，BC=2屈,求aABC*的面积；

(2)如图2,。为“UJC外的一点，连接C。，3£＞且CD=C4,ZABD=ZBCD.过

点C作CE_LAC交A8的延长线于点E.求证：BD+2AB=6AC.

(3)如图3,在(2)的条件下，作”平分NC4E交CE于点P,过E点作EM_LAP

交AP的延长线于点”.点K为直线AC上的一个动点，连接MK,过M点作

MK'1MK,且始终满足/WK—MK,连接AK1若AC=4,请直接写出4c十MK

取得最小值时.(AK'+MK)2的值.

8.在中，AE,C。为△ABC的角平分线，AE,C。交于点F.

(1)如图1,若N8=&)。.

①直接写出44”"的大小；

②求证：AC=AD+CE.

(2)若图2,若NB=90°,求证：S»CF=S&AFD+S4CEF+S4DEF,

9.我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们•般通过辅助线把四边形转化

为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题.

图1图2图3

(1)如图1,在四边形A8CD中，AB=AJ),/8+/。=180。，连接AC.

①小明发现，此时AC平分N8C。.他通过观察、实验，提出以下想法：延长C8到点

E,使得BE=CD,连接4E,证明△AHEgAWC,从而利用全等和等腰三角形的

性质可以证明AC平分N8CD.请你参考小明的想法，写出完整的证明过程.

②如图2,当/胡。=90。时，请你判断线段AC,BC,C。之间的数量关系，并证

明.

(2)如图3,等腰△(?沈、等腰△A3。的顶点分别为A、C,点4在线段CE上，且

Z/WC+ZADC=180。，请你判断ND4£与NO4E的数量关系，并证明.

10.在口ABC。中，直线MN经过点A,BEA.MN于E,CF【MN千F,DG1MN

于G.请解答下列问题：

B

(1)如图①，求证：BE+CF=DG；(提示:过点。作C〃_LOG于”)

(2)如图②、图③，线段鹿，CF,DG之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜

想，不需要证明;

(3)在(1)(2)的条件下，若CD=10,AE=6,CF=\,则QG=

11.如图1,在四边形ABC。中，AC交8。于点E,么AOE为等边三角形.

图1图2

(1)若点E为3。的中点，AD=4,CD=5,求△以：£的面积；

(2)如图2,若4C=CQ,点尸为C。的中点，求证："=2”；

(3)如图3,若AB〃C。，NH4O=90。，点P为四边形ABC。内一点，且NAPO=

90°,连接3P,取8P的中点Q,连接CQ.当AB=6拒，4£>=4^，tanZABC=2

时，求CQ+*8Q的最小值.

12.如图，在“18。中，AC=BC,人£＞平分NC4B.

(1)如图1,若AC3=90。，求证：AB=AC+CD；

(2)如图2,若=求ZAC6的度数；

(3)如图3,若Z4C8=1(XF,求证：AB=AD+CD.

13.(1)问题背景：如图1：在四边形A3CO中，AB=ADfZBAD=120°,ZB=

NADC=90。,E、“分别是AC,CO上的点且NE4”=60。，探究图中线段BE、EF、

尸。之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长尸。到点G.使连结AG,先证明△

ABE/"DG,再证明AAE/W"GF,可得出结论，他的结论应是______________

别是BC,CO上的点，且NEA广=g/8A。，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30。

的4处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，

接到行动指令后，舰艇不向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏

东50。的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别

到达瓜尸处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

14.已知在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,ZBAD+ZBCD=180°,AB

=BC

(1)如图1,连接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的长度.

(2)如图2,点P、Q分别在线段AD、DC±,满足PQ=AP+CQ,求证：ZPBQ=

ZABP+ZQBC

(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ

15.阅读题：如图1,OM平分乙408,以。为圆心任意长为半径画弧，交射线

。4于C,D两点,在射线O历上任取一点E(点0除外)，连接C£,DE,可证

△OCEqAODE,请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：

(1)如图2,在“18。中，ZA=2ZB,CD平分ZACB交A3于点D,试判断与

AC、人。之间的数量关系；

(2)如图3,在四边形ABC。中，AC平分44。，BC=CD=U),AB=20,

AD=8,求aABC的面积.

16.如图①，△ABC和AADC是等腰三角形，且43=AC,BD=CD,NBAC=80。,

ZBZ)C=100°,以。为顶点作一个50。角，角的两边分别交边AB,AC于点E、F.

连接EA

图①图②

(1)探究鹿、EF、尸C之间的关系，并说明理由；

(2)若点E、尸分别在48、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则破、

EF、"C之间存在什么样的关系？并说明理由.

17.(1)如图①，RsABC中,AB=AC,ZBAC=90°,。为8c边上的一点，将

△A8。绕点A逆时针旋转90。至zvAb,作A£平分ND4/交3c于点E,易证明：

BD2+CE2=DE2.若=则以8D、DE、EC为边的三角形的形状是

(2)如图②，四边形48co中，NBAD=NBCD=90。,AB=AL),若四边形ABC。

的面积是32,CD=6,求8c的长度；

(3)AAEC是以8r为底的等腰直角三角形，点。是“160所在平面内一点，且满足

4)=4,BD=6,CD=2,请画草图并求NAZX:的度数.

图①一图②

18.已知等腰A43C中，A8=AC,点。在直线A4上，DE//BC,交直线AC于点

E,且3O=3C,CHLAB,垂足为〃.

图3

（1）当点。在线段人B上时，如图I,求证8"+。石=。〃；

（2）当点。在线段8A的延长线上时，如图2；当点0在线段AB延长线时，如图3,

线段8H,DE,。〃又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明.

19.数学课上，张老师出示了问题：如图I,四边形ABCD是正方形，点E是边BC

的中点.ZAEF=90°,且EF交正方形外角NDCG的角平分线CF于点E求证：

AE二EF.

经过思考，小明展示了一种正确