2021年高考数学一模试卷 (43)(含答案解析)

2021年高考数学一模试卷（43）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.点P（l,2,3）关于平面的对称点的坐标为（）

A.（-1,2>3）B.（1,—2,—3）C.（―1,—2,—3）D.（1,2,—3）

2.直线％十V3y=1的倾斜角为（）

AfB.自CtD..

3.设mb,。是空间三条直线，a,。是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）

A.当cla时，若cl£,则。〃。

B.当bua时，若610,则a1/7

C.当bua,且c是。在a内的射影时，若b1c,则a_Lb

D.当bua,且c<ta时，若。〃a,则b〃c

4.某校高一学生选课时，要求从政治、地理、化学、生物四门课程中选择两科进行选修，甲乙两

人所选课程中完全不同的选法的种数是（）

A.36B.24C.12D.6

5.椭圆m/+ri/=1与直线％+y-1=o相交于其，B两点,过48中点M与坐标原点的直线的

斜率为弓，则三的值为（）

A.立B.独C.1D.2

23

6.已知四棱锥P—718C0的各条校长均为13,M、N分别是P4、8。上

的点，且尸例：MA=BN：NO=5：8,则线段MN的长为（）

A.5

B.6

C.7

D.8

7.已知直三棱柱ABC-4181cl中,乙48c=120。，AB=BC=CCX=1,则异面直线4述与BC】所

成角的余弦值为（）

A.B.C.匹D.心

4444

8.已知双曲线J=l（b>0）离心率是西，那么b等于（）

41产2

A.1B.2C.V5D.2V5

二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）

9.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线•样，

笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵

形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线。

是平面内与两个定点和尸2（1，0）的距离的积等于常数。2伍>1）的点的轨迹，则下列命题

中正确的是（）

A.曲线。过坐标原点

B.曲线C关于坐标原点对称

C.曲线C关于坐标轴对称

D.若点在曲线C上，则AF】PF2的面积不大于;a?

10.已知点A,5的坐标分别是（-1,0）,（1,0）,直线A,8相交于点M,且它们的斜率分别为七，心，下列

命题是真命题的有（）

A.若自+七=2,则M的轨迹是椭圆（除去两个点）

B.若自一七=2,则M的轨迹是抛物线（除去两个点）

C.若自•七=2，则M的轨迹是双曲线（除去两个点）

D.若自+&=2，则M的轨迹是一条直线（除去一点）

11.如图，在三棱锥P48C中，已知PA1平面是边长为2的正三角形，:

D,E分别为PB,PC的白点.若P4=2,则下列说法正确的是（）讼弋

A.直线AE■与所成角的余弦值是:4肥二

B

B.直线DE〃平面/WC

C.平面PAB1平面48c

D.直线。E1平面PBC

12.己知双曲线氏会\=l（a>0,b>0）的一条渐近线过点P咨片），点尸为双曲线后的右焦点，

则下列结论正确的是（）

A.双曲线£的离心率为平

B.双曲线E的渐近线方程为％土&y=0

C.若点尸到双曲线E的渐近线的距离为则双曲线£的方程为兰一1

42

D.设0为坐标原点，若P。=PF,KUP。产的面积为超

2

三'填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.C.

14.已知双曲线马-号=1的离心率为2,那么该双曲线的渐近线方程为____.

a2b2

15.已知圆G：(%-2)2+3-1)2=10与圆。2：(%+6)2+3+3)2=50交于4B两点,则公共

弦48的长是.

16.已知球。的内接正方体力BCD-AiBiGDi的棱长为1,点尸在线段BQ上，过点P垂直于BD】的

平面截球。所得的截面圆的面积为：兀，则线段P3的长为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在平面直角坐标系中，已知月(2,1),3(3,2),0(-1,4),且归+同=前，求与前的夹角的余

弦值.

18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2-6x+4y=0,若过点P的直线/与圆。交于M,N两点，且

\MN\=4V2,求直线/的方程.

19.如图，在四棱锥A-BCED^,AD1底面BCED,BD1DE,乙DBC=乙BCE=60。,BD=2CE=2.

(1)若/是A。的中点，求证：EF〃平面A8C

(2)若=求BE与平面ACE所成角的正弦值.

20.某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(如图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如

下，

其中，点A,£为工轴上关于原点对称的两点，曲线段3co是桥的主体，C为桥顶，并且曲线

段SCO在图纸上的图形对应函数的解析式为丫=备。6[-2,2]),曲线段AB,OE均为开口向

上的抛物线段，且A,E分别为两抛物线的顶点.设计时要求：保持两曲线在各衔接史(8,。)的

切线的斜率相等.

(1)曲线段A3在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

(2)车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：用=(该点2与

桥顶间的水平距离)x(设计图纸上该点P处的切线的斜率)其中Mp的单位：米.若该景区可提

供三种类型的观光车:①游客踏乘;②蓄电池动力：③I人.燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米,

1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可

以顺利过桥？

21.如图，已知四边形A8C。为梯形,AB//CD,"AB=90。，BOD/i为矩形，平面BDD/i1平

面A8CO,又48=8a=1,CD=2.

(1)证明:CB1LADV

(2)求&到平面ACDi的距离.

22.设椭圆C：各卷=l(a>b>0)的一个焦点为(企,0),四条直线3土a,y=±b所围成的区

域面积为4百.

(1)求C的方程；

(2)设过。(0,3)的直线，与C交于不同的两点4、B,若以弦A8为直径的圆恰好经过原点O,求

直线/的方程.

【答案与解析】

1.答案：。

解析：

本题考查空间直角坐标系对称点的坐标的求法，属于基础题.

根据纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即可求出点4(1,2,3)关于平面的对称点的坐标.

解:点4(1,2,3)关于xQy平面的对称点，

纵横坐标不变，竖坐标变为相反数，即所求的坐标(1,2,-3),

故选：D.

2.答案：B

解析：解：设直线的倾斜角为

由题意直线的斜率为-3，

3

HPtana=一泽

57r

a=­6.

故选：B.

设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角.

本题考杳直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题.

3.答案：B

解析：

分别写出其逆命题再判断，小由面面平行的性质定理判断.仄也可能平行或相交.C、由三垂线定

理判断.。、由线面平行的判定定理判断.

解：4、其逆命题是：当cla时，或。〃/?,则cl/7,由面面平行的性质定理知正确.

B、其逆命题是：当bua,若a_!,/?,则b1%也可能平行、相交，不正确.

C、其逆命题是：当力u*且c是。在a内的射影时，若QJ.8,则b_Lc,由三垂线定理知正确.

D、其逆命题是：当bua,且cCa时，若b〃c,则c〃a,由线面平行的判定定理知正确.

故选8.

4.答案：D

解析：

本题考查组合的应用，属于基础题.由选课方法共有或废=6种，可得结果.

解:由于甲乙两人所选课程完全不同，则选课方法共有盘废=6种，

故选。.

5.答案：A

解析：

题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：

①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，而点差法可以简化运算，注意应用.

（法一）设/（“1，、1），8（科为），M（%o，yo）由此/=&=手①，=_1②及”,N在椭圆上，可得

XQ2人2人1

（法二）4（%,%）,8（必,月），M（&,y。），联立方程，利用方程的根与系数的关系可

求/+%2，进而可求yi+丫2=2-（%+%2），由中点坐标公式可得，入o=2台，y°="产，由题

xuQ-m+-n

解：设A(/,yi),8(%2，为)，MQo，%),

由A13的中点为M可得%+必=2x0,7i+y2=2yo.

mxl+nyl=1

由4,8在椭圆上，可得

jnxl+nyl=1

两式相减可得mQi-％2)(%i+x2)+n(y1-y2)Oi+7z)=。③，

-

把①②代入③可得m(%i-x2),2%0n(Xi-x2)-2y0=0,

整理可得二=

故选人

（法二）设力（%21），8a2，，2），M（%,yo）

联立方程I：；j1n1可得(m+n)x2-2nx+n-1=0

.2n.c/।、2m

..%+小=,'yi+y2=2-(x1+x2)=—,

由中点坐标公式可得，出=牛=号，、。=守=3三,

VM与坐标原点的宜线的斜率为它，

2

故选：A.

6.答案：C

解析:解：四棱锥P-力BCD的各条棱长均为13,加、川分别是尸.4、8。上的点，且日力：用4=BN：ND=5：

8,

可得PA180,Z.PAB=60°,Z.ABD=45°,MA=8,AB=13,BN=Sa，

MN=MA+AB+BNf

：,MN2=(MA+AB+BN)*

22122^—4

MN=~MA+AB+~BN4-2AM-AB+2MA-'BN+2AB-~BN=824-1324-(5V2)2+2x8x

13x(-1)+2x13x5V2x(-y)+0=49.

•••|MN|=7.

故选：C.

利用已知条件求出AM,BN,通过空间向量的数量积去MN即可.

本题考杳空间两点间距离公式的应用，空间向量的数量积的应用，注意向量的夹角是解题的关键.

7.答案：A

解析：解：以8为原点，在平面ABC中过B作8c的垂线

交人C于D,

以B。为x轴，以为)，轴，88］为z轴，建立空间直角

坐标系，

•.•直三楂柱718C—A/iG中，乙ABC=120。，AB=BC=

Cg=1,

y

.•.A(今W，0)，为(0,0,1),6(0,0,0),Ci(0,1,1),

福=(一日g,l),M=(OJ，1)，

设异面直线力当与线BQ所成角为e,

则cos。==--

IA81H8C/42X[24

••.异面直线4%与线AG所成角的余弦值为q.

故选A.

以8为原点，在平面A4C中过4作BC的垂线交AC于。，以6。为x轴，以4C为)，轴，BB]为z

轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB】与线BG所成角的余弦值.

本题考查异面直线所成的角的求法，考查空间中线线、线面•、面面间的位置关系等基础知识，考查

运算求解能力，是中档题.

8.答案：A

解析：

本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题.

由双曲线?一，=1(5>0)离心率是色，可得Q=2,c=瓜即可求出〃的值.

解：•.•双曲线双曲线5-2=1(匕>0)离心率是当

：,a=2,c=V5»

:.b=V5—4=1，

故选A.

9.答案：BCD

解析；

本题考查新定义，考查轨迹方程的求法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是解题的

关键，属于中档题.

设动点坐标为(x,y),根据题意可得曲线C的方程为+I)2+y2]-[(x-I)2+y2]=a4,对各个选

项逐一验证，即可得出结论.

解：由题意设动点坐标为Q,y),

则+1)2+y2•_])2+y2=Q2,

22

EP[(X+I)+y].[(x-1)2+y2]=Q4,

若曲线C过坐标原点(0,0),将点(0,0)代入曲线C的方程中可得=1与已知a>1矛盾,

故曲线C不过坐标原点，故A错误；

把方程中的x被-％代换，)，被-y代换，方程不变，

故曲线C关「坐标原点对称，故B正确；

因为把方程中的工被-工代换，方程不变，故此曲线关于)，轴对称，

把方程中的)，被-y代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，

故曲线C关于坐标轴对称，故C正确；

若点/在曲线C上,则IPF/IPFzl=。2,

2

S^lPFz=^\PF1\\PF2\sin^F1PF2<^a,当且仅当NF/F?=90。时等号成立，

故△&户后的面积不大于故。正确.

故选：BCD.

10.答案：BCD

解析：

本题主要考查了利用交轨法求动点的轨迹方程，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

设点MQ,y),根据条件写出直线AM和直线4M的方程并联立消参，得到点〃的轨迹方程，逐个判

断检验即可.

解：不妨设点M(x,y),

选项A不妨设k1=k,k2=2-k,则有忧

消去参数左得，y=x-i,x^±l,所以A不正确；

选项B,不妨设k1=k,kz=k-2,则有忧沈U-l)，

消去参数&得，y=l-x2,XH±1,所以B正确；

选项C,自/2=2=W•三，整理得/一1=1,%=±1，所以C正确；

选项。，七+的=2=£・(，整理得“=-3,y/0,所以。正确.

故选：BCD.

11.答案：ABC

解析：

本题主要考查立体几何问题，建立空间直角坐标系，即可解得第一个选项，利用线面平行判定定理

证明即可，利用线面垂直的判定定理即可证得.

【解得】

解：对于A,取AC的中点凡连接8F,

如图，则8尸14C,以点A为坐标原点，过点人且与修平行的直线为x轴，AC为y轴，人P为Z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

M71(0,0,0),F(V3,h0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,l,1),

从而而=(V5,1，-2),近=(0,1,1),

设直线人石与尸。所成的角为6,cos。=|点篇|

即直线AE与P/3所成角的余弦值为g

4

故A正确；

因为。，E分别为PB,PC的中点

所以。因为OEC平面ABC,BCu平面48C

所以直线DE〃平面A8C,故B正确；

因为P41平面A8C,P4u平面PA4

所以平面P4B1平面ABC,故C正确；

因为OEu平面尸BC,所以。错误；

12.答案：ABC

解析：

【试题解析】

本题考查了双曲线的性质，属于中档题.

根据双曲线的性质，逐项求解即可.

解:由题意，双曲线E：,-.=19>0,5>0)的一条渐近线过点「虑净,

所以渐近线方程为y=土孝汇,所以3选项正确；

所以"容离心率e=：=/学==净

所以A选项正确；

若点F到双曲线E的渐近线的距离为企，

可得b=&，a=2,

则双曲线E的方程为次一二二1,所以C选项正确；

42

0为坐标原点，若PO=PA,P(当净,

所以F(6,0)，

SAPOF=H显义曰=当，用以。选项错误；

故选ABC.

13.答案:21

解析：解：=好=等=21

ZX1

故答案为：21

由组合数的性质和计算公式可得。=行=能，计算可得.

ZX1

本题考查组合数的计算，属基础题.

14.答案：V3x±y=0.

解析：

利用双曲线的离心率求出〃、“关系，然后求解双曲线的渐近线方程.

本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.

解:双曲线]一[=1的离心率为2,可得：=2,即：号=4,

a2b2Qa2

可得2=V3,

a

该双曲线的渐近线方程为：V3x±y=0.

故答案为：＞/3x±y=0.

15.答案:2Vs

解析：

本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于基础题.

由已知中圆Cl：(x—2)2+8-1)2=10与圆C2：(%+6)2+3+3)2=50的方程,我们将两个方程

相减，即可得到公共弦43的方程，然后根据半弦长与弦心距及圆半径，构成直角三角形，满足勾股

定理，易求出公共弦人B的长.

解：易知圆C1：2)2+(y-1)2=10与圆Q：(x+6)2+8+3)2=50的公共弦A8的方程为

2x+y=0

•••圆Ci：(x-2)2+(y-l)2=10的圆心(2,1)到直线2x+y=0的距离d=：；；；；=V5,且半径

r=

••・公共弦AB的长为2"二/=2J(Vi0)2-(V5)2=2V5-

故答案为：2V5.

16.答案：包或独

33

解析：解：如图所示，由题意可知B£)i是球的直径，尸是截面圆的圆心，设O为球心，M为截面圆

上任一点，

可知则0M=R,由已知得2R=V5,R=?，

设截面圆的半径为八则正二拳..，2裳.

...OP=V/?2—r2=/---=—•

D1

PB=R-OP

263

或P8=R+OP=—+—=—.

623

故答案为：产或手.

根据题意可知，是球的直径，户是直径的一点，因为截面与8名垂直，所以PB即为球心到。的

距离加上半径，或半径减去P到球心的距离，所以只要算出球心到P的距离即可.

本题考查球的内接正方体问题，以及球的截面圆的性质，正确分析出BDl是圆的直径是解题的关

键.属于中档题.

17.答案：7-

解析：由已知得通=(1,1)，而=(-3,3)，丽=(-4,2)，所以n=通+同=(-2,4)，

|羽=，(-2尸+22=2而,又前=(-4,2),所以|前|=J(一4尸+22=2通,所以近.丽=

(-2)-(-4)+4-2=16,设而与前的夹角为。，所以cos。二谓落=又三=?…

18.答案：解：由圆C：x2+y2—6x+4y=0,EP(x—3)2+(y+2)2=13,

故圆心C(3,—2),半径r=VT5,

因为|MN|=4或，设圆心到直线的距离为d,

由|MN|=4A/2=2Vr2—d2»得d=圾.

①当/的斜率左存在时，设直线方程为y-0=ZQ-2).

又圆C的圆心为(3,—2),半径r=VT5，

由喘到二遍，解得攵书・

所以直线方程为y=*%-2）,

即x—2y—2=0.

②当/的斜率不存在时，/的方程为％=2,经验证％=2不满足条件.

综上所述，直线/的方程为：工-2y-2=0

解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程.

本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键.

19.答案：（1）证明：取8。的中点G,连接EG、FG,

•••F是AO的中点，

FG是△480的中位线，^FG//AB,

又ABu平面ABC,FGU平面ABC.

FG〃平面A8C,

BD=2CE,BG=CE,

Z.DBC=乙BCE,

:.E、G到直线8c的距离相等，贝IJEG〃。氏

乂CBu平面ABC,EGC平面ABC,

EG〃平面ABC,

vEGAFG=G,

.•・平面EFG〃平面ABC,

­.■EFu平面EFG,

•••E/7/平面ABC.

(2)解：以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

由题得｛0=DE=回

则4(0,0,V3),E(0,V3,0),C&手，0)，成2,0,0),

...AE=(0,百,一百)，配=$，¥，0),

丽=(2,-6,0),

设平面ACE的一个法向量为为=(x,y,z),

则忏亚=。，即产»

Q•EC=0(jx+yy=0

令y=l,则x=-JXz=l,

n=(-V3,l,l)，

•.|.cos/(-n,E8)|=而\n-E鬲B\=：^38=v3V105

BE与平面ACE所成角的正弦值为至叵.

35

解析：本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求线与面所成角问题，是中档题.

(1)取8。的中点G,连接EG、FG,由尸G是△力8。的中位线，即FG〃48,又得EG〃C8,所以平

面EFG〃平面ABC,从而证得EF〃平面ABC；

(2)以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙z,求出平面4CE的一个法向量完=(-后,1,1),

即E可R利用®S/_>，钳"I而”•丽朝I=猊3\/3旃=M3\/l05得/P,出，结人果中.

2

20.答案：解：(1)由题意A为抛物线的顶点，设4(Q,0)(Q<-2),则可设方程为y=X(x-a)(a<x<

-2,A>0),y'=2A(x-a).

曲线段8c。在图纸上的图形对应函数的解析式为y=盘0€[-2,2]),

y'=7Z盘，且8(-2,1)，则曲线在8处的切线斜率为g

曲线段A4在图纸上对应函数的解析式为y=9(>+6)2(-b<x<-2)；

lo

(2)设P为曲线段AC上任意一点、.

①P在曲线段A8上，则通过该点所需要的爬坡能力(Mp%=(-幻](%+6)=-^[(x+3>-9],

在[-6,-3]上为增函数，[—3,-2]上是减函数，最大为之米；

O

②P在曲线段8c上，则通过该点所需要的爬坡能力(Mp)2=(-%)--F^=肃啜("6[-2,0]),

设£=/,£W[0,4],(Mp)2=y=^7.

t=0,y=0：0<t<4,yl(t=4取等号)，此时最大为1米.

由上可得，最大爬坡能力为J米；

8

•••0.8<-<1.5<2,

8

.•.游客踏乘不能顺利通过该桥：蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥.

解析：（1）设出方程，利用B为衔接点，即可求出曲线段A8在图纸上对应函数的解析式，并写出定

义域；

（2）分类讨论，求最值，即可得出结论.

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键.

21.答案：证明：（1）•••BDDiBi是矩形，且平面

BDD/i1平面48CQ,\

•••BBi1平面ARCD,DDi1平面ABCD,

在/?£△2DC中，DrC=V5,AD1=鱼，ABX=

连结AC,在梯形ABC。中，LDAB=90°,

AD=AB=1,DC=2,

AC=V5»BC=五,B]C=V3»

在△BiDiC中，DiC=炳,BiD、=BD=立，

B}C=V3，BiC1

在ABICA中，B£=6,ABi=0，AC=炳,