2021年湖南省株洲市中考数学真题【含答案】

2021年湖南省株洲市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）

I.若。的倒数为2,则。=（）

A.AB.2C.-AD.-2

22

2.方程三-1=2的解是（）

2

A.x=2B.x=3C.x=5D.x=6

3.如图所示，四边形ABC。是平行四边形，点E在线段8c的延长线上，若NOCE=132°,

则乙4=（）

C.58°D.66°

4.某月1日-10日,甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误

的结论是（）

2

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

A.1日-10日，甲的步数逐天增加

B.1日-6日，乙的步数逐天减少

C.第9日，甲、乙两人的步数正好相等

D.第11日，甲的步数不一定比乙的步数多

5.计算:)

A.-2V2B.-2C.D.2V2

6.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“栗米之法"：''栗率五十，粉米三十…”

（粟指带壳的谷子，粉米指糙米），其意为：”50单位的粟，可换得30单位的杨米…”.问

题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粉米为（）

A.1.8升B.16升C.18升D.50升

7.不等式组］x-2'O的解集为（）

l-x+l>0

A.x<lB.x^2C.lV.tW2D.无解

8.如图所示，在正六边形48coE户内，以A8为边作正五边形A8G，/,贝叱必/=（）

9.二次函数），=«?+版+。（〃K0）的图象如图所示，点P在K轴的正半轴上，且。P=l,

设（a+〃+c）,则M的取值范围为（）

A.M<-1B.-1<M<OC.M<0D.M>0

10.某限高曲臂道路闸口如图所示，A4垂直地面/1于点A,8E与水平线/2的夹角为a（（）°

WaW90°）,EF//I1//I2,若4B=I.4米，BE=2米,车辆的高度为力（单位：米），不

考虑闸口与车辆的宽度：

①当a=90。时，力小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；

②当a=45°时，。等于2.9米的车辆不可以通过该间口；

③当a=60°时，力等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.

则上述说法正确的个数为（）

E

11.计•算：（2a）2"P=.

12.因式分解：6V2-4孙=.

13.据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为I.078X

10",则〃=.

14.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是.

15.如图所示，线段8C为等腰△ABC的底边，矩形的对角线A8与。E交于点。，

若。。=2,则AC=

16.中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在•个时间

段，某中药房的黄芭、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：

中药黄黄焦山楂当归

销售单价（单位：元/go6090

千克）

销售额（单位：元）120120360

则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为千克.

17.点A（加，yi）、B（xi+1,”）是反比例函数），=区图象上的两点，满足：当Xi>0时,

X

均有NV”，则k的取值范围是.

18.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“缝”为“蛭*同"蝶”），

它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四

只、大三斜两只，共十三只（图①中的“棣”和“复”为“样”和“只”）.图②为某蝶

几设计图，其中△A8D和△C8。为“大三斜”组件（“一檄二建”的大三斜组件为两个

全等的等腰直角三角形），已知某人位于点尸处，点P与点4关于直线。Q对称，连接

CP、DP.若乙4。0=24。，则NDCP=度.

儿

魏

小

掾\

Y•

q华

沟A£a

古

加

i名/

M

A./a

I固4^

1a一

T2

•a

TIE

II

图①图②

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19.（6分）计算：|-2|+V3sin60°-2'1.

20.（8分）先化简，再求值：/^・（1-2）一7，其中刀=0-2.

2

X-4xx+2

21.（8分）如图所示，在矩形ABC。中，点E在线段CD上，点尸在线段4B的延长线上,

连接后户交线段8C于点G,连接8。，若DE=BF=2.

（1）求证：四边形8庄。是平行四边形;

（2）若tanN48O=Z,求线段BG的长度.

3

22.（10分）将一物体（视为边长为2米的正方形48CQ）从地面PQ上挪到货车车厢内.如

图所示，刚开始点月与斜面所上的点E重合，先将该物体绕点4（E）按逆时针方向旋

转至正方形的位置，再将其沿£〃方向平移至正方形A282c2。2的位置（此时点

治与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.已知MG〃0。，NFBP=30°,

过点尸作F〃_LMG于点，，F"工米,E~=4米.

3

（1）求线段FG的长度；

（2）求在此过程中点A运动至点4所经过的路程.

23.（10分）目前，国际上常用身体质量指数“8M/”作为衡量人体健康状况的一个指标，

其计算公式：BM/=g（G表示体重，单位：千克；〃表示身高，单位：米）.已知某区

h2

域成人的BM/数值标准为：BM/C16为瘦弱（不健康）；16WBM/V18.5为偏瘦；1E.5W

BM/V24为正常；24WBM/V28为偏胖；BM/228为肥胖（不健

康）.（女性身体属性与人数统计图）

某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本,

计算每名成人的阴〃数值后统计:

（男性身体属性与人数统计表）

身体属性人数

瘦弱2

偏瘦2

正常1

偏胖9

肥胖m

（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；

（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的身〃数值;

（3）当机23且〃22（〃八〃为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男

性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值.

24.（10分）如图所示，在平面直角坐标系屹v中，一次函数y=2t的图象/与函数产

x

>0,x>0）的图象（记为【’）文于点A,过点A作A3_Ly轴于点8,且A3=1,点C在

线段上（不含端点），且OC=f,过点C作直线轴，交/于点。，交图象「于

点E.

（1）求A的值，并且用含/的式子表示点。的横坐标；

（2）连接OE、BE、AE,记△08E、△ADE的面积分别为Si、S2，设U=Si-S2,求U

的最大值.

25.（13分）如图所示，AB是。。的直径，点C、。是00上不同的两点，直线8。交线段

OC于点E、交过点C的直线CF于点F,若OC=3CE,且9（EF1-C产）=OC2.

（1）求证：直线c尸是。。的切线；

（2）连接O。、AD.AC.DC,若/C0D=2/B0C.

①求证：△ACQS^OBE；

②过点£作£6〃八&交线段AC于点G,点M为线段AC的中点，若AO=4,求线段

MG的长度.

D

26.（13分）已知二次函数），=o?+/?x+c（。＞0）.

（1）若。=2，b=c=-2,求方程ad+bx+c：。的根的判别式的值；

2

（2）如图所示，该二次函数的图象与x轴交于点A（Xi，0）、B（X2,0）,且x】＜0＜X2,

与y轴的负半轴交于点C,点。在线段OC上，连接AC、BD,满足NACO=N/WD,

-^-+c=X].

a

①求证：△AOCgZXOOB；

②连接8C,过点。作。E_L8C于点E,点广（0,Xi-X2）在y轴的负半轴上，连接A尸,

2021年湖南省株洲市中考数学试卷

答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分)

1.若。的倒数为2,则〃=()

A.AB.2C.-AD.-2

22

【分析1根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案.

解：・・Z的倒数为2,

.*.67=­.

2

故选：A.

2.方程1=2的解是()

2

A.x=2B.x=3C.x=5D.x=6

【分析】移项，合并同类项，系数化成I即可.

解：--1=2,

2

移项，得2=2+1,

2

合并同类项，得三=3,

2

系数化成1,得工=6,

故选：D.

3.如图所示，四边形/WC。是平行四边形，点E在线段的延长线上，若N/)CE=132°,

则NA=()

【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度

数即可.

解:VZ£>CE=132°，

/.ZDCB=1800-ZDCE=180°-132°=48°,

•・•四边形A4C。是平行四边形，

/.ZA=ZDCB=48°f

故选:B.

4.某月I日-10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误

A.1日・10日，甲的步数逐天增加

B.1日-6日，乙的步数逐天减少

C.第9日，甲、乙两人的步数正好相等

D.第11日，甲的步数不一定比乙的步数多

【分析】根据图中给出的甲乙两人这10天的数据，依次判断4,B,C,。选项即可.

解：A.1日-10日，甲的步数逐天增加；故4正确，不符合题意；B.1日-5日，乙

的步数逐天减少；6日步数的比5日的步数多，故8错误，符合题意；

C.第9FI,甲、乙两人的步数正好相等；故C正确，不符合题意；

D.笫11口，甲的步数不一定比乙的步数多；故Q正确，不符合题意；

故选：B.

5.计算：-4X，|=（）

A.-272B.-2C.-V2D.2V2

【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.

解：一4X4=-4X喙=-2加.

故选：A.

6.《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，砺米三十…”

（粟指带壳的谷子,粉米指糙米），其意为：”50单位的粟，可•换得30单位的粉米…”.问

题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粉米为（）

A.1.8升B.16升C.18升D.50升

【分析】先将单位换成升，根据：”50单位的粟，可换得30单位的粉米…”列式可得结

论.

解：根据题意得：3斗=30升，

设可以换得的粉米为x升，

则皿=雪

30x

解得：x=30X、=i8（升），

5

答：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粉米为18升.

故选：C.

7.不等式组（x-20。的解集为（）

{-x+l>0

A.x<lB.%W2C.1V.W2D.无解

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中

间找、小小无解了确定不等式组的解集.

解：解不等式X-2W0,得：x<2,

解不等式-x+l>0，得：x<l,

则不等式组的解集为xVl.

故选：A.

8.如图所示，在正六边形A8COM内，以AB为边作正五边形ABG”/,则/以/=（）

【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论.

解：在正六边形48C0EF内，正五边形ABG”/中，ZFAB=\20°,ZM5=108°,

/.ZMZ=ZMB-Z1AB=\2O°-108°=12°,

故选:B.

9.二次函数），=62+灰+。（”W0）的图象如图所示，点P在入轴的正半轴上，且。0=1,

设M=ac（a+〃+c）,则M的取值范围为（）

A.M<-1B.-1<M<OC.M<0D.M>0

【分析】由图象得x=l时，），<。即。+加c<0,当），=0时，得与x轴两个交点，内也=£

a

<0,即可判断M的范围.

解：：OP=1,0不在抛物线上，

当抛物线y=a^+bx+c（oWO）,

x=1时，y=a+b+c<0,

当抛物线y=0时，得QJ+〃X+C=0,

由图象知XIX2=£«V0，

a

ac<0,

ac（a+b+c）>0,

即M>0,

故选：Q.

10.某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面4于点A,6E与水平线/2的夹角为a（0°

WaW90°）,EF//l\//l2,若48=1.4米，BE=2米,车辆的高度为/?（单位：米），不

考虑闸口与车辆的宽度：

①当a=90°时，〃小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；

②当a=45°时，/?等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；

③当a=60°时，”等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.

则上述说法正确的个数为（）

E

A.。个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据题意列出〃和角度之间的关系式即可判断.

解：由题知,

限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2Xsina,

①当a=90°时，h<(1.4+2)米，即力<3.4米即可通过该闸口，

故①正确；

②当a=45°时，h<(1.4+2X返)米，即〃V2.814米即可通过该闸口，

2

故②正确；

③当a=60°时，h<(1.4+2X返)米，即〃V3.132米即可通过该闸口，

2

故③不正确；

故选：C.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)

11.计算：(2a)2・〃3=4〉.

【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幕分别相加，

其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可.

解：(2。)2・/=4“2・/=(4X1)(/・。3)=4〃).

故答案为4/.

12.因式分解：6,-4xy=2x(3.r-2)，).

【分析】宜接提取公国式2K，即可分解因式得出答案.

解：6.r-4盯=2x(3x-2y).

故2x(3x-2y).

13.据报道，2021年全国高考报名人数为1078万，将1078万用科学记数法表示为1.078X

10",则〃=7.

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为。X10〃，其中〃为整数,

据此判断即可.

解：1078万==1.078X1()7,

则71=7.

故7.

14.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则两次都是“正面朝上”的概率是1.

一4一

【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果

数，然后根据概率公式求解.

解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，

・••两次都是“正面朝上"的概率=2.

4

故工.

4

15.如图所示，线段8c为等腰8c的底边，矩形408E的对角线46与QE交于点O,

【分析】由矩形的性质可得4/3=2。。=4,由等腰三角形的性质可求解.

解：•・•四边形4/)8石是矩形，

：,AB=DE,AO=BO,DO=OE,

：.AB=DE=2OD=4,

a：AB=AC,

.•・AC'=4,

故答案为4.

16.中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物.在•个时间

段，某中药房的黄芭、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：

中药黄茂焦山楂当归

俏售单价（单位：元/806090

千克）

销售额（单位：元）120120360

则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为2.5千克.

【分析】利用销售数量=销售额+销售单价，可分别求出黄芭、焦山楂、当归三种中药

的销售数最，再求出三者的算术平均数即可得出结论.

解：黄芭的销售量为120+80=1.5（千克），

焦山楂的销售量为1204-60=2（千克）,

当归的销售量为360・90=4（千克）.

该中药房的这三种中药的平均销售量为1=5+2+4=25（千克）.

3

故2.5.

17.点4（xi，yi）、B（XI+1,1y2）是反比例函数）图象上的两点，满足：当加>0时，

X

均有vV"，则k的取值范围是A<0.

【分析】根据反比例函数的性质，即可解决问题.

解：♦.•点A（xi，yi）、B（xi+1,.V2）是反比例函数）=K图象上的两点，

X

XVO<X1<X1+1时,J|<J2,

・•・函数图象在二四象限，

"VO,

故答案为&V0.

18.《蝶儿图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“缝”为“蜿二同"蝶”），

它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四

只、大三斜两只，共十三只（图①中的“梅’和“堡”为“样”和“只”）.图②为某蝶

几设计图，其中△AB。和acB。为“大三斜”组件（“一檬二集”的大三斜组件为两个

全等的等腰直角三角形）,已知某人位于点。处.点P与点A关于直线。Q对称,连接

CP、DP.若N4QQ=24°,则NQCP=21度.

儿

小

掾•

华

沟-

s

1t

古

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•工

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«!x

ll

图①图②

［分析］由点P与点、A关于直线DQ对称求出NPQQ,再由和△C/3。求出/DDB

和NAQ8,进而计算出NCQP,最后利用三角形内角和即可求解.

解：•・,点P与点八关千百线。Q对称,/AOQ=24°.

：,ZPDQ=ZADQ=24°,AD=DP,

•••△A8O和△C8。为两个全等的等腰直角三角形，

：.ZDDB=ZADB=45°,CD=AD,

/./CDP=NDDB+NADB+NPDQ+NADQ=138°,

*：AD=DPtCD=AD,

：，CD=DP,即△£>€•尸是等腰三角形，

/.ZDCP=A（1800-ZCDP）=21°.

2

故21.

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19.（6分）计算：|-2|+V3sin600-2'1.

【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数累的性质分别化

简得出答案.

解：原式=2+^x1-工

22

=2+3」

22

=3.

20.（8分）先化简，再求值：•（卜2）」^,其中］=加-2.

2

x-/xx+2

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案.

解：原式__g_.ZZ£-^_

（x-2）（x+2）xx+2

=2_3

x+2x+2

="

x+2

当工=加・2时，

原式="---=J—=-

x+2V2-2+22

21.（8分）如图所示，在矩形A8CO中，点七在线段C。上，点尸在线段4B的延长线上,

连接交线段8c于点G,连接B。，若DE=BF=2.

（1）求证：四边形BFED是平行四边形：

【分析】（I）由矩形的性质可得OC〃4B,可得结论；

（2）由平行四边形的性质可得。8〃EF,可证NABO=NF,由锐角三角函数可求解.

证明：（1）•・•四边形A8C。是矩形，

：.DC//AB,

又,：DE=BF,

・•・四边形OEF8是平行四边形：

（2）•・•四边形。EF8是平行四边形,

：.DB//EF,

・•・NABD=NF,

9

tanZ/lBD=tan/r=—,

3

.BG2

••''二一■，

BF3

又•：BF=2,

A/iG=-i.

3

22.（10分）将一物体（视为边长为*米的正方形A8CQ）从地面PQ上挪到货车车厢内.如

图所示，刚开始点8与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点8（E）按逆时针方向旋

转至正方形48。。的位置，再将其沿石尸方向平移至正方形A282c2。2的位置（此时点

例与点G重合），最后将物体移到车厢平台面MG上.己知MG〃P。，NFBP=30）,

过点尸作尸H_LMG于点"尸"=2米，E/=4米.

3

（1）求线段FG的长度；

（2）求在此过程中点A运动至点42所经过的路程.

【分析】（1）在RtZiFGH中，由尸G=2/・H,可得结论.

（2）求出GE,利用弧长公式求解即可.

解：（1）*：GM//PA,

：.ZFGH=ZFBP=3Q°,

■:FHLGM,

AZFHG=90°,

:,FG=2FH=2（米）.

3

（2）•••巴尸=4米，尸G=2米.

3

：.EG=EF-FG=4-1=^-（米），

33

・.・/4孙|=180°-90°-30°=60°,胡=2米,

兀

・••点A运动至点上所经过的路程=---------+1^=4（米）.

1803

23.（10分）目前，国际上常用身体质量指数“创〃”作为衡量人体健康状况的一个指标，

其计算公式：8M/=£■（G表示体重，单位：千克；〃表示身高，单位：米）.已知某区

h2

域成人的数值标准为：8M/V16为瘦弱（不健康）；16W4M/V18.5为偏瘦；1立5W

8M/V24为正常；24W8WV28为偏胖：8M/228为肥胖（不健

康）.（女性身体属性与人数统计图）

某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，

计算每名成人的8M/数值后统计：

（男性身体属性与人数统计表）

身体属性人数

瘦弱2

-------------------

偏瘦2

-------------------

正常1

偏胖9

肥胖，〃

（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；

（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的8M/数值；

（3）当〃?23且“22（〃?、〃为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男

性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值.

【分析】（1）样本中身体属性为“正常”的女性人数加上样本中身体属性为“正常”的

男性人数即可；

（2）根据计算公式求出该女性的数值即可；

（3）当〃?23且〃22（，〃、〃为正整数）时，根据抽取人数为55计算出m的值,即可求

解.

解:（1）9+1=10（人），

答：这个样本中身体属性为“正常”的人数是10：

（2）51・220,

h21.62

答：该女性的数值为20；

（3）当/”23且〃22（〃八〃为正整数）时，

这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数：217,

这个样本中身体属性为“不健康”的女性人数：〃+4+9+8+4227,

■:2+2+1+9+〃[+〃+4+9+8+4=55»

m+n=16,

由条形统计图得〃V4,

，机=13时，〃=3,这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”

的女性人数的比值为受2=匹；

3+47

〃?=14时，〃=2,这个样本中身体属性为“小健康”的男性人数与身体属性为“小健康”

的女性人数的比值为丝2=©.

2+43

答：这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数

的比值为生或其.

73

24.（10分）如图所示，在平面直角坐标系xO.v中，一次函数y=2x的图象/与函数），=Ka

x

>0,x>0）的图象（记为「）交于点A,过点A作J_y轴于点4,且A4=l,点C在

线段OB上（不含端点），且OC=f,过点。作直线八〃工轴，交/于点。，交图象'于

点E.

（1）求女的值，并且用含/的式子表示点。的横坐标；

（2）连接OE、BE.AE,记AOBE、ZkAOE的面积分别为Si、S2，设U=Si-S2,求U

的最大值.

【分析】(1)先求出点M的横坐标，再代入直线y=2r中求出点4的坐标，再将点A坐

标代入反比例函数解析式中求出匕先求出点C的纵坐标，代入直线)，=2x中求出点。

的横坐标，即可得出结论；

(2)根据点C的纵坐际求出点E的坐标，进而求出CE=2,进而得出SI=2,由(1)

tt

知，A(1,2),D(A/,t),求出进而得出S2=SA4/)E=2P-L+2-1,

2t242t

进而得出U=S\-52=-—(r-1)2+—,即可得出结论.

44

解：(1)・・・A8J_y轴，且A8=l,

・••点A的横坐标为1,

二•点A在直线y=2x上，

・・・)，=2X1=2,

・,•点4(1,2),

；・B(0,2),

•・•点A在函数)=区上，

x

"=1X2=2,

•：OC=t,

：.C(0,r),

•・・CE〃x轴，

・••点。的纵坐标为/,

•・•点。在直线y=2x上，f=2x,

・••点。的横坐标为

2

(2)由(1)知，k=2,

・♦・反比例函数的解析式为尸2,

x

由(1)知，CE〃x轴，

:.C(0,力,

点E的纵坐标为1,

•・•点E在反比例函数丁=2的图象上,

:・E（2,，），

t

・・.CE=2,

t

,：B（0,2）,

：.OB=2.

：,S\=S^OBE=-OB*CE=1X2X1=2.

22tt

由（I）知，A（1,2）,。（L,/）,

2

・・・。£=2』，

t2

•・・CE〃x轴，

：・S2=SDADE=2DE（以-yp）=—（—-—/）（.2-t）=—t2-—t+--1,

22t242t

:.u=s\-s2=--（—r-L+2-1）=-A?+L+i=-A（z-1）2+±,

t42t4244

•・,点C在线段OB上（不含端点），

.\0<r<2,

・•・当r=l时，u最大=区.

4

25.（13分）如图所示，AB是。。的直径，点C、。是0。上不同的两点，直线8。交线段

OC于点E、交过点C的直线CF于点F,若OC=3CE,且9(E尸-CF2)=OC2.

(1)求证：直线。尸是。。的切线；

(2)连接O。、A。、AC.DC,若NCOD=2/BOC.

①求证：△ACZ)S/\OBE；

②过点£作£G〃A8,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点，若AQ=4,求线段

MG的长度.

【分析】(I)利用勾股定理的逆定理证明NEC5=90°,可得结论.

(2)①证明/D4C=/EO&ZDCA=ZEBO,可得结论.

②利用相似三角形的性质求出AC,再求出CM,CG,可得结论.

(1)证明：V9(EF2-CF2)=OC2,OC=3OE,

/.9(EF2-CF2)=9£C2,

：.EF2=EC2+CF2,

,NEC1=90°,

：-OCLCF,

J直线C尸是。。的切线.

(2)①证明：ZCOD=2ZDAC,ZCOD=2ZBOC,

・•・NDAC=NEOB,

NDCA=NEBO,

：.XACDs丛OBE.

②解：'：OB=OC,OC=3EC,

：・OB：OE=3：2,

/\ACDS/\0BE,

.AC=AD

**0BOE?

.AC=0B=_3

**ADOE~2

VAD=4,

・・・AC=6,

是AC的中点,

：.CM=MA=3,

\'EG//OA,

.CG=CE=_1

**CACOT

：・