2021年浙江省杭州市中考数学真题试卷（学生版+解析版）

2021年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.(3分)・(・2021)=()

1

A.-2021B.2021c•-赢D.-------

2021

2.（3分）“奋斗者”号教人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记

录.数据10909用科学记数法可表示为)

A.0.10909X105B.1.0909X104

C.10.909X103D.109.09X102

3.（3分）因式分解：1-4）2=（）

A.(1-2y)(l+2y)B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(1+2)，)

4.（3分）如图，设点P是直线/外一点,PQ-LI,垂足为点Q,点T是直线/上的一个动

点，连结PT,则（）

A.PT^2PQB.PTW2PQC.PTNPQD.PTWPQ

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.V2*7=2B.V(-2)2=-2C.扬=±2D.V(-2)2=±2

6.（3分）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次.设该景点今年

四月到五月接待游客人次的增长率为x（x>0）,则（）

A.60.5(I-x)=25B.25(I-%)=60.5

C.60.5(1+x)=25D.25(1+x)=60.5

7.（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等.某天用、乙

两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）

1111

A.-B.一C.一D.一

5432

8.（3分）在“探索困数尸加+法+c•的系数瓦c•与图象的关系”活动中，老师给出了

直角坐标系中的四个点：4（0,2）,B（1,0）,C（3,1）,D（2,3）.同学们探索了经

过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些匡象对应的函数表达式各不相同，其

9.（3分）已知线段A3,按如卜.步骤作图：①作射线AC,使ACJ_48：②作N5AC的平分

线AD；③以点人为圆心，AB长为半径作弧，交人。于点E；④过点E作EPYAB于点P,

10.（3分）已知》和”均是以x为自变量的函数，当工一〃?时，函数值分别是A山和M2,

若存在实数相，使得朋1+“2=0,则称函数），1和殍具有性质P.以下函数），］和只具有性

质尸的是（）

A.y\=X2+2Xyi=-x-\B.yi=7+2x和"=-x+1

11

_丁和”=__；：和

C.yi=人x_ID.yi=人-x+1

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

11.（4分）计算：sin30°=.

12.（4分）计算：2a+3°=.

13.（4分）如图，已知。。的半径为1,点。是。。外一点，且OP=2.若PT是。。的切

线，T为切点,连结07,则P7=.

14.（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示.

甲种糖果乙种糖果

单价（元/千克）3020

千克数23

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来

确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为元/千克.

15.（4分）如图，在直角坐标系中，以点A（3,1）为端点的四条射线人8,AC,AD,AE

分别过点8（1,I）,点C（l,3）,点。（4,4）,点E（5,2）,则NB4CZDAE

（填，，＞，，、“二，，、，，＜，，中的一个）.

16.（4分）如图是一张矩形纸片A8CQ,点M是对角线AC的中点，点E在3C边上，把

△QCE沿直线折直，使点。落在对角线AC上的点尸处，连接DF,EF.若MF=AB,

则NOAF=度.

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.（6分）以下是圆圆解不等式组「（1+”）>一12的解答过程：

解：由①，得2+x>・l,

所以-3.

由②，得1-Q2,

所以-QI,

所以x>-1.

所以原不等式组的解是%>-1.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.

18.（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟

跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直

方图（每一绢不含前一个i力界值，含后一个i力界值）.

某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表

组别（次）频数

100~13048

130~16096

160-190a

190-22072

（1）求。的值；

（2）把频数直方图补充完整；

（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

,频数

144——

120

96__________96

72

72

_____48

48

24

/'J___L

0^100130160190220跳绳次数（次）

19.（8分）在①4D=AE②NA8E=NACD,③尸8=FC这三个条件中选择其中一个，补

充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在△A8C中，NA8C=NAC5,点。在AB边上（不与点A,点8重合）,

点E在AC边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与CD相交于点

F.若,求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

20.（10分）在直角坐标系中，设函数9=口（所是常数，h>0,七>0）与函数”=七丫（公

是常数，七#0）的图象交于点A,点A关于y轴的对称点为点A

（1）若点8的坐标为（-1,2）,

①求女I，女2的值；

②当yiV”时，直接写出x的取值范围；

（2）若点B在函数中勺（依是常数，依W0）的图象上，求依+质的俏.

21.（10分）如图，在△ABC中，NABC的平分线8。交AC边于点。，4E_LBC于点£已

知NA8C=60°,NC=45°.

（1）求证：AB=BD；

（2）若AE=3,求△ABC的面积.

A

22.（12分）在直角坐标系中，设函数），=◎2+队+1（〃，》是常数，aWO）.

（I）若该函数的图象经过（1,0）和（2,I）两点，求函数的表达式，并写出函数图象

的顶点坐标；

（2）已知a=b=l,当工=.,q（p,9是实数，p¥q）时，该函数对应的函数值分别为

P,Q.若p+q=2,求证：P+Q>6.

23.（12分）如图，锐角三角形A8C内接于。0,N84C的平分线AG交。。于点G,交

BC边于点F,连接8G.

（I）求讦：AABGS^AFC.

（2）已知AC=AF=b,求线段尸G的长（用含〃，匕的代数式表示）.

（3）已知点E在线段A尸上（不与点A,点/重合），点。在线段AE上（不与点4点

七重合），NABD=NCBE,求证：BG1=GE*GD.

B

G

2021年浙江省杭州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.（3分）・（・2021）=（）

11

A.-2021B.2021C.D.-------

2072T12021

【解答】解：・（-2021）=2021.

故选：B.

2.（3分）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记

录.数据10909用科学记数法可表示为（）

A.0.I0909XI05B.1.0909X104

C.10.909XI03D.109.09X102

【解答】解：10909=1.0909X1()4

故选:B.

3.(3分)因式分解：1-4/=()

A.(1-2y)(1+2>')B.(2-y)(2+y)

C.(1-2y)(2+y)D.(2-y)(1+2)，)

【解答】解：1-4/

=1-(2y)2

=(1-2y)(l+2y).

故选：A.

4.（3分）如图，设点夕是直线/外一点，PQ±L垂足为点。，点7,是直线/上的一个动

A.PT22PQB.PT42PQC.PT2PQD.PT&PQ

【解答】解：・・・PQJJ,点7是直线/上的一个动点，连结P7,

：・PT》PQ,

故选：C.

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.扬=2B.V（-2）2=-2C./=±2D..（-2）2=±2

【解答】解:A.旧=2,故本选项符合题意；

B.白印=2,故本选项不符合题意；

C.万=2,故本选项不符合题意；

D.正#=2,故本选项不符合题意；

故选：A.

6.（3分）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次.设该景点今年

四月到五月接待游客人次的增长率为x（x>0）,则（）

A.60.5（1-x）=25B.25•I-x）=60.5

C.60.5(1+x)=25D.253+A)=60.5

【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（七>0）,则

25（1+x）=60.5.

故选：D.

7.（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等.某天用、乙

两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）

1111

A.—B.—C.-D.—

5432

【解答】解：把3节车厢分别记为A、8、C,

画树状图如图：

开始

甲ABC

Zl\/1\/1\

乙ABCABCABC

共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，

・•・甲和乙从同一节车厢上车的概率为三=

93

故选：C.

8.（3分）在“探索函数公+c的系数〃，儿c与图象的关系”活动中，老师给出了

直角坐标系中的四个点：A（0,2）,B（1,0）,C（3,1）,D（2,3）.同学们探索了经

过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其

【解答】解：由图象知，A、8、。组成的点开口向上，«>0；

A、B、C组成的二次函数开口向上，40；

B、C、。三点组成的二次函数开口向下，«<0：

A、。、C三点组成的二次函数开口向下，«<0；

即只需比较A、&。组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可.

设A、B、。组成的二次函数为yi=〃i/+"x+ci，

把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入上式得，

q=2

Qi+81+Ci=0，

9al+3bl+J=1

解得

设A、B、。组成的二次函数为y—a/+尿+c,

把A(0,2),8(1,0),D(2,3)代入上式得,

(c=2

\a+b+c=0，

\4a+2b+c=3

解得a=f,

即a最大的值为"

2

故选：A.

9.(3分)已知线段A8,按如下步骤作图：①作射线AC,使ACL4&②作N8AC的平分

线AD；③以点4为圆心,AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EPYAB于点P,

则AP：AB=()

c

A.I：V5B.1：2C.1：乃D.1：V2

【解答】解：・・・ACJ_",

・・・NC48=90°,

'：AD平分NB4C,

AZEAB=ix900=45°,

'：EPLAB,

：.ZAPE=90°,

••・NE4P=NAEP=45’，

：.AP=PE,

・••设AP=PE=x,

故AE=AB=限

.\AP：AB=x：y/2x=\：'j2.

故选：O.

10.（3分）己知yi和”均是以x为自变量的函数，当i=〃z时，函数值分别是M和历2,

若存在实数〃?，使得M+M2=0,则称函数》和以具有性质P.以下函数），1和*具有性

质P的是（）

A.y\=x2+2ryi=-x-1B.yi=/+2x和”=-x+1

C.yi=—工和-x-]D.y\=—y2=-.v+1

XX

【解答】解：A.令,计竺=0,则f+2x-x-1=0,解得工=二导5或％=二要，即函

数N和”具有性质产，符合题意；

B.令）斗+”=0，则/+2i・x+l=0,整理得，/+x+l=0,方程无解，即函数yi和”不

具有有性质P，不符合题意；

C.令yi+），2=0，则一1=0,整理得，/+x+l=0,方程无解，即函数yi和”不具

有有性质P,不符合题意；

D.令）1+”=（），则一9一工+1=0,整理得，』-x+l=O,方程无解，即函数yi和”不具

有有性质P,不符合题意；

故选：A.

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。

11.（4分）计算：sin30°

-2~

【解答】解：sin30°=1.

12.（4分）计算：2。+3。=5〃.

【解答】解：2a+3a=5a,故答案为5a.

13.（4分）如图，已知。。的半径为1,点尸是。0外一点，且OP=2.若尸丁是。。的切

【解答】解：:户丁是。。的切线，「为切点,

：.OTLPT,

在Rtzxopr中，or—I,OP—2,

：.PTlOP2一。72T22-1275,

故：PT-y13.

14.（4分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示.

甲种糖果乙种糖果

单价（元/千克）3020

千克数23

将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来

确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为24元/千克.

【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（30X2+20X3）=5=24（元/千克）.

故答案为:24.

15.(4分)如图，在直角坐标系中，以点A(3,1)为端点的四条射线A8,AC,AD,AE

分别过点8(1,1),点CQ,3),点。(4,4),点£(5,2),则N8AC-N7ME

(填“>，，、"=，，、“<”中的一个).

由上图可知-2,BC-2,

・•・△ABC是等腰直角三角形，

45°,

又VAE—V/1F2+FF2—V22+P—75,

同理可得DE=722+12-6,

AD=V12+32=A/T0,

则在ZSAOE中，有AE2+DE2―AD2,

•••△AQE是等腰直角三角形，

AZDAE-45°,

・•・NBAC-NOAE,

故答案为：一

16.（4分）如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把

△QCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接DF,EF.若MF=AB,

则ND4P=18度.

【解答】解：连接。M如图:

•・•四边形ABCQ是矩形，

・・・NAOC=90°.

是AC的中点，

：.DM=AM=CM,

JZE\D=NMDA,NMDC=ZMCD.

,:DC、DF美DE又寸称，

：.DF=DC,

:・/DFC=/DCF.

•:MF=ABAB=CD、DF=DC,

:.MF=FD.

・•・ZFMD=ZFDM.

•.*/DFC=NFMD十NFDM、

:./DFC=2/FMD.

ZDMC=/必。+NAOM,

：，ZDMC=2ZFAD.

设NE4O=x°,则NOFC=4x°,

/.ZMCD=ZMDC=4A°.

•/ZDMC+ZMCD+NMOC'=180°,

:.2X+4A-+4X=180.

•*»x=18.

故答案为：18.

三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17.（6分）以下是圆圆解不等式组+乃>一12的解答过程：

解：由①，得2+x>-I,

所以4>-3.

由②，得1-x>2,

所以・x>l,

所以-1.

所以原不等式细的解是-1.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.

【解答】解：圆圆的解答过程有错误，

正确过程如下：由①得2+2r>-1,

：.2x>-3,

・、3

-x>-2,

由②得1-A<2,

/.-x<\,

：,x>-1,

・•・不等式组的解集为心>-l.

18.（8分）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟

跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直

方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）.

某校某年级360名学生•分钟跳绳次数的频数表

组别（次）频数

100-13048

130〜16。96

160-190

190~22072

（1）求。的值；

（2）把频数直方图补充完整；

（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比.

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

•频数

144---------------------------------------------------

120-

96

96-

72

72-

48

48-

24-

190220跳绳次数（次）

【解答】解：（1）4=360・（48+96+72）=144：

（2）补全频数分布直方图如下:

某校某年级360名学生一分钟跳

绳次数的频数直方图

•频数

144.........

120-

96------------------产------------

72-------------------------------------------^-r-----

4…-------------------------------------------

24------------------------------------------------------------

0kMs金击忐,跳绳无数（次）

（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为

72

—xl00%=20%.

360

19.（8分）在①@ZABE=ZACD,③尸8=FC这三个条件中选择其中一个，补

充在下面的问题中，并完成问题的解答.

问题：如图，在△A4C中，NABC=NACB,点。在A4边上（不与点A,点8重合）,

点七在4。边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与CO相交于点F.若①

（②/A/E=/AC7?或③方6=/C）,求证：BE=CD.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

BC

【解答】证明：选择条件①的证明为:

:ZABC=NACB,

：.AB=AC,

在AABE和△ACO中，

AB=AC

乙4=Z-A,

UE=AD

(SAS),

:.BE=CD；

选择条件②的证明为：

,/ZABC=NACB,

：,AB=AC,

在△A8£和△ACO中，

(ZABE=ZACD

]AB=AC,

：,^ABE^AACD(ASA),

:・BE=CD；

选择条件③的证明为：

,/ZABC=ZACB,

*»AB—ACf

，：FB=FC,

：,NFBC=NFCB,

・•・ZABC-NFBC=NACB-NFCB,

即ZABE=NACO,

在AABE和△ACO中，

（^ABE=ZACD

\AB=AC,

VAA=44

.*.AABE^AACD（ASA）,

:・BE=CD.

故答案为①人O=AE（②NA8E=NACO或③/B=/C）

20.（10分）在直角坐标系中，设函数yi=§（ki是常数，片>0,x>0）与函数）堂=%”（女2

是常数，&220）的图象交于点4,点A关于y轴的对称点为点民

（1）若点B的坐标为（-1,2）,

①求A1，&2的值；

②当时，直接写出X的取值范围；

（2）若点B在函数”=§（心是常数，依羊（））的图象上，求心+总的值.

【解答】解.：（1）①出题意得，点A的坐标是（1,2）,

•・•函数）『单（曲是常数，卜>0,Q0）与函数”=切（后是常数，QW0）的图象交

人

于点A，

・・・2=牛，2=心，

:•ki=2,42=2；

②由图象可知，当），17）2时，X的取值范围是X>1；

（2）设点A的坐标是（xo，y），则点8的坐标是（-xo，y）,

,\k]=xo*y,k3=-xo*y»

"1+&3=0.

21.（10分