2024-2025新教材高中数学第八章成对数据的统计分析83列联表与独立性检验素养检测含解析新人教A版选择性必修第三册

十八列联表与独立性检验

强基础练

（20分钟45分）

一、选择题（每小题5分，共25分，多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得（）

分）

1.（多选题）在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上晕机的状况,如下表所示:

晕机

性另lj合计

晕机不晕机

男ab=15a+b

女c=6dc+d

合计a+c2846

则下列说法正确的是（）

2

n[/ad-bc)\

附:参考公式:----------;-------;---------,其中n=a+b+c+d

(a+c)Q+d)(a+b)gd)

独立性检验临界值表

a().10.050.01

X«L2.7063.8416.635

a6

A.------->-------

a+bc+d

B.x2<2,706

C.在犯错误的概率不大于0.1,推断恶劣气候飞行中，晕机跟男女性别有关

D.没有理由认为,在恶劣气候飞行中,晕机与否跟男女性别有关

【解析】选ABD.由列联表数据，知

B+6=Q+C

a=12

15+d=28

d=13

<Q+15=Q+b

<6+d=c+da+c=18,

a+b=27

a+c+28=46

c+d=19

a+b+c+d=46I

a12466

所以-------=->----=—,即A正确.

a+b279c+d19

晕机

性别

晕机不晕机

男121527

女61319

合计182846

46X(12X13-6X15)

所以x2=------------------------------------^0.775<2,706,即B正确，且没有理由认为，在恶劣气候飞行

18X28X19X27

中，晕机与否跟男女性别有关，即D正确.

2.支付宝和微信支付已经成为现如今流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民(男

女居民各50名)喜爰支付宝支付还是微信支付,得到如下的2X2列联表:

支付方式

性别合计

支付宝支付微信支付

男401050

女252550

合计6535100

n(ad-bc)

附表及公式：X-------；------；---------：一"T,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a1

).10.050.010.0050.001

10.82

Xat2.7063.8416.6357.879

8

则x?约为()

A.9.89B.8C.0.013D.0.099

【解析】选A.由2X2列联表得到a=40,b=10,c=25,d=25,则代入

2

2n(ad-bc)

x(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

100X(1000-250)2

得xJ---------------------------------49.89.

50X50X65X35

3.某高校为调查毕业学生的就业状况,抽查了100名学生毕业一个月能否就业的状况，得到

2X2列联表如下：

就业

性别合计

能就业不能就业

男生401050

女生302050

合计7030100

假如该高校认为毕业学生一个月能否找到工作与性别有关,那么犯错误的概率不会超过)

n(ad-bc)2

附:x?=-----------------------------------------

(alb)(c>d)加(b+d)

。).10.050.010.005D.001

10.82

XaL2.7063.8416.6357.879

8

A.0.1B.0.05C.0.005D.0.01

【解析】选B.由列联表数据可得:

100(40X20-10X30)

---------------------七4.762>3.841=xo.05,

S0X50X30X70

战犯错误的概率不会超过0.05.

4.在一次独立性检验中，得出列联表如下:

AA合计

B20080()1000

B180a180+a

合计380800+a1180+a

且最终发觉,两个分类变量A和B没有任何关系,则a的可能值是

A.200B.720C.100D.180

【解析】选B.由题意x2=

(1180+a)(200aT80X800)

380X(8001a)X(1801a)XlOOtf

(11804^200)(200X200-180X800)2

a=2O0时，x2=------------------------------------------------------------

380X(8001200)X(180^200)XI000

^130.37>3.841,此时两个分类变量A和B有关系，

(11804^720)(200X720180X800)2

a=720时，x2=-0,

380X(800+720)X(180♦720)XI000

此时两个分类变量A和B没有关系.

5.有甲、乙两个班级进行教学考试,依据大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成果,

得到如表所示的列联表：

成果

班级合计

优秀非优秀

甲班10b

乙班C30

合计105

2

已知在全部105人中随机抽取1人,成果优秀的概率为一,则下列说法正确的是()

7

n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附表：

a0.0500.0100.001

Xo3.8416.63510.828

A.列联表中c的值为30,b的值为35

B.列联表中c的值为15,b的值为50

C.依据列联表中的数据,若按犯错误的概率不大于0.05的要求,能认为“成果与班级有关系”

D.依据列联表中的数据,若犯错误的概率不大于0.05要求,不能认为“成果与班级有关系”

2

【解析】选C.由题意知，成果优秀的学生数是105X-=30,成果非优秀的学生数是105-30=75,

7

所以c=20,b=45,选项A,B错误；依据列联表中的数据，得到

105X(10X30-20X45)

%6.109>3.841=xm5,因此在犯错误的概率不大于0.05的要求

55X50X30X75

下，认为“成果与班级有关系”，选项C正确.

二、填空题(每小题5分，共10分)

6.某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有关，对成年人进行了一次随机抽样调查，调查结果如

表：

肝病

酗酒合计

患肝病未患肝病

酗酒30170200

不酗酒20280300

合计50450500

从直观上你能得到的结论是,依据最小概率值U=的独立性检验,认为患肝病

与酗酒有关.

aD.10.050.010.0050.001

10.82

Xa2.7063.8416.6357.879

8

【解析】由已知数据可求得

500X(30X280-20X170)?

x2―=9.26>7.879-Xo005,

S0X4S0X200X300

所以在犯错误的假率不大于0.005的前提下认为患肝病与酗酒有关系.

答案：患肝病与酗酒有关系0.005

7.为了探讨常常运用手机是否对数学学习成果有影响，某校高二数学探讨性学习小组进行了

调查,随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成果,并制成下面的2X2列联表：

&

手机合计

及格不及格

很少运用

20525

手机|

常常运用

101525

手机

合计3020150

依据小概率值a的独立性检验认为常常运用手机对数学学习成果有影响犯错误的概丞不大

于.

2

n(/ad-bc)\

参考公式：x-，其中n-a+b+c+d.

(a+b)(c+<O(a+c)(b+d)

a().10.050.010.0050.001

10.82

XaI2.7063.8416.6357.879

8

【解析】由题意，可得：

50X(20X15-10X5)25

x2=----------------------------------=-弋8.333>7.879=xaoo5,依据小概率值a=0.005的独立性检验,

30X20X25X253

认为常常运用手机对数学学习成果有第响犯错误的概率不大于0.005.

答案:0.005

三、解答题

8.(10分)为了推断中学二年级学生选读文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得如下

2X2列联表：

科类

性别合计

理科文科

男1124

女9

合计2850

完成该2X2列联表，试依据小概率值QR.05的独立性检验，分析选读文科与性别是否有关

系？

a0.10.050.010.0050.001

10.82

Xa2.7063.8416.6357.879

8

【解析】列联表如下

性别科类合计

理科文科

男131124

女91726

合计222850

依据表中数据，经计算得到:

50X(13X17-11X9)

2=--------------------^1.936<3.841=xo.

24X26X22X28

依据小概率值a=0.05的独立性检验，没有充分的证据推断％不成立，因此认为选读文科与性

别无关.

居提升练

（25分钟50分）

一、选择题（每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得（）

分）

1.在一个2X2列联表中，由其数据计算得到X2=13.097,临界值表为：

C0.100.050.0100.0050.()01

Xn2.7063.846.6357.87910.828

则认为两个变量间有关系犯错误的概率不大于（）

A.0.001B.0.05

C.0.1D.0

【解析】选A.因为X2=13.097>10.83=xo.ooi,

所以认为两个变量有关系犯错误的概率不大于0.001.

2.在一次调查中，依据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（）

A.两个分类变量关系较强

B.两个分类变量关系较弱

C.两个分类变量无关系

D.两个分类变量关系难以推断

【解析】选A.从等高条形图中可以看出，在x1中y?的比重明显大于X2中yz的比重，所以两个分

类变量的关系较强.

3.（多选题）某校安排在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜爱攀岩和性别是否有关，面对

学生开展了一次随机调查,其中参与调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（）

2

n(ad-bc)

参考公式：x?n---------------------------,n=a+b+c+d.

(a^b)(c>d)(a+c)(b+d)

a0.05koi

Xa3.8416.635

A.参与调查的学生中喜爱攀岩的男生人数比喜爱攀岩的女生人数多

B.参与调查的女生中喜爱攀岩的人数比不喜爱攀岩的人数多

C.若参与调查的男女生人数均为100人，则认为喜爱攀岩和性别有关犯错误的概率不大于0.01

D.无论参与调查的男女生人数为多少,认为喜爱攀岩和性别有关犯错误的概率都不大于D.01

【解析】选AC.由题意设参与调查的男女生人数均为川人,则

攀岩

性别合计

喜爱攀岩不喜爱攀岩

男生0.8m12mm

女生0.3m3.7mm

合计1.1m19m2m

所以参与调查的学生中喜爱攀岩的男生人数比喜爱攀岩的女生人数多，A对B错;

2m(0.56m2-0.06m2)50m

X2n匚.一■■一

1.Im•0.9m•mam99

,50m50x100

当m=100时，x2---------------、50.505>6.635,

9999

所以当参与调查的男女生人数均为100人，认为工爱新宗和性别有关，C对D错.

4.针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜爱抖音是否有关”作了一次调查，其中

被调查的男女生人数相同，男生喜爱抖音的人数占男生人数的3女生喜爱抖音的人数占女生

3

人数的一,若认为喜爱抖音和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则调查人数中男生可能有

S

人（）

C0.10.050.010.0050.001

x«2.7063.8416.6357.87910.828

,n(ad-bc)

附：X一二.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

A.25或45B.45

C.45或GOD.75或60

【解析】选C.设男生的人数为5n（MGN*）

依据题意列出2X2列联表如表所示:

性别

抖音合计

男生女生

喜爱抖音4n3n7n

不喜爱抖

n2n3n

音

合计5n5nlOn

210nX(4nX2n-3nXn)10n

则

5nx5nx7nx3n21

因为认为喜爱抖音和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则3.841Wx2<6.635,即

10n

3.841W----<6.635,得8.0661Wn<13.9335,

21

因为nGN；则n的可能取值有9,10,11,12,

因此，调查人数中男生人数的可能值为45或50或55或60.

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.在西非，“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威逼，为了考察某种埃博拉

病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表：

感染

疫苗合计

感染未感染

服用104050

未服JIJ203050

合计3070100

n(ad-bc)

(a+b)(c+d)加/c)(b+d)

QK).10.050.01

Xa|

2.7063.8416.635

依据上表，依据小概率值a=的独立性检验，认为“小动物是否感染与服用疫苗有

关”.

【解析】由题中数据可得：

n(ad-bc)2

X2=----------------------------------------------------

(a+b)(e+d)(a+c)(b+d)

100(10X30-40X20)2100

--^4.762>3.841=xo05,

50X50X30X7021

所以认为小动物是否感染与服用疫苗有关犯错误的概率不大于0.05.

答案：0.05

6.有两个分类变量X和Y,其中一组观测值为如下的2X2列联表:

Y

X合计

y172

Xia15~a15

X220-a30+a50

合计204565

其中a,15-a均为大于5的整数，则a=时,认为变量X与Y有关犯错误的概率不大于

0.01.

n(ad-bc)

附：xJ

(a+b)(c，d)(a+c)(b，d)

Q0.10.050.01D.005

2.7063.8416.6357.879

【解析】由题意知：X2>6.635,

则65[a(30+a)-(20-a)(15-a)J2

20X45X15X50

13(13a-6O)

---------635,

54C0

解得:aN8.65或aWO.58,

因为a>5且15-a>5,aez,

综上得：8.65Wa<10,a£Z,

所以：a=9.

答案：9

三、解答题(每小题1()分，共20分)

7.第十三届全国人大常委会第卜一次会议审议的固体废物污染环境防治法(修订草案)中，提

出推行生活垃圾分类制度,这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中.为了解某城市居民的垃

圾分类怠识与政府相关法规宣扬普及的关系，对某试点社区抽取50户居民进行调查，得到如下

的2X2列联表.

分类意识

试点合计

分类意识强分类意识弱

试点后5

试点前

合计50

已知在抽取的50户居民中殖机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58.

(1)请将上面的2X2列联表补充完整;

(2)依据小概率值a=0.005的独立性检验,分析试点后分类意识是否比试点前分类意识强.

n(ad-bc)2

参考公式：x-=----------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(cfd)(a>c)(b+d)

下面的临界值表仅供参考

0.010.00

a0.100.05D.001

05

2.703.846.637.8710.82

Xa

61598

【解析】(1)依据在抽取的50户居民中随机抽取1户，抽到分类意识强的概率为0.58,可得分

类意识强的居民有29户，故可得2X2列联表如下：

分类意识

试点口H

分类意识强分类意识弱

试出后20525

试点前91625

合计292150

50(20X165X9)6050

(2)xJ------------------=------机9.93427.879=XO.3O5,依据小概率值a=0.005的独立性

25X25X29X21609

检脸，没有充分证据推断《不成立，因此认为H。成立，即认为试点后分类意识比试点前分类意识

强.

8.(2024•新高考全国I卷改编)为加强环境爱护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质

量进行调研,随机抽查了1。0天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：Mg/m)得下表：

S02

PM2.5(50,(150,

[0,50]

150]175]

[0,35]32181

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估计事务”该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且S02浓度不超过150”的概率;

(2)依据所给数据,完成下面2X2列联表：

S02

PM2.5

[0,150](150,47

5]

[0,75]

(75,115]

(3)依据⑵中的列联表,依据小概率值a=0.01的独立•.性检验,分析该市一天空气中PM2.5浓

度与SO?浓度有关.

n(ad-bc)2

附：x::=---------------------------.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

【解析】(1)依据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150

的天数为32+18+6+8=64,因此，该市一大空气中PM2.5浓度不超过75,且S0?浓度不超过150的

64

稷率的估计值为——=0.64.

100

⑵依据抽查数据，可得2X2列联表：

so2

PM2.5(150,47

[0,150]

_______1_

[0,75]6416

(75,115]10|l0

(3)依据⑵的列联表得

100X(64X10-16X10)2

又J------------------------七7.484.

80X20X74X26

由于7.484>6.635,故依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析该市一天空气中PM2.5浓度与

S02浓度有