2024年2月乌江新高考协作体高二数学入学联考试卷附答案解析

2024年2月乌江新高考协作体高二数学入学联考试卷

2024.02

（分数：150分，时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知直线,过A。/）、网一1，3）两点，则直线/的斜率为（）

A.-2B.2C.-1D.I

2.抛物线2/=），的焦点到准线的距离为（）

_L11I

A.16B.8c.4D.2

3.已知点A。"）为抛物线C：/=加（">°）上一点，〃为抛物线的焦点，则朋=（）

3^336365

A.8B.8c.16D.16

4.已知抛物线9=2*（/>0）的准线过双曲线5一’」的一个焦点，则〃=（）

A.1B.2C.4D.8

5.已知A,"是抛物线上两点，当线段AB的中点到）'轴的距离为3时，的最大值为（）

A.5B.5夜C.10D.10&

6.两圆的半径分别是方程f-"+12=0的两个根，圆心距为3,则两圆的位置关系是（）

A.相交B.外离C.内含D.外切

7.在楂长为I的正方体-中，已知E为线段绰7的中点，点F和点p分别满足。尸=,

RP="D、B其中"内网,则下列说法不正确的是（）

2=1

A.当2时，三棱锥尸-EFQ的体积为定侑

19"

//=-..

B.当2时，四棱锥的外接球的表面积是4

5石

C.庄+班的最小值为了

D.存在唯一的实数对（无〃），使得砂上平面PDF

C:-r+>b>0)若离心率归用，则

8.已知椭圆a~b~的左、右焦点分别为吊尸2,点尸在椭圆C上,

椭圆C的离心率的取值范围为（）

A.（曲）B.1吟）」制D.4

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.

9.下列方程能够表示圆的是（）

A.丁+/=1B./-丁=2

Qx2+y2+2x=1口x2+y2+^-1=0

10.下列结论正确的是（）

A.平面内与两个定点F1,好的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.

B,椭圆的离心率。越大，椭圆就越圆.

C,方程，—+〃）'2=1（〃?>0,心0,〃冲〃）表示的曲线是桶圆.

4+4=i4+-=i

D.b-（a>b>0）与右b-（a>6>。）的焦距相同.

11.在棱长为2的正方体A8CQ-A4CQ中，点Q为正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的有（）

41

A.当尸为棱C；2的中点时，则四棱锥产一的外接球的表面积为W

B.使直线a与平面A8C0所成的角为45。的点的轨迹长度为兀+4夜

C.若尸是A片的中点，当P在底面A8CQ上运动，且满足尸尸〃平面片CR时，尸产长度的最小值是石

D.点G是线段A。的中点，当点P在平面48。内，且R4+PG=2时，点尸的轨迹为一个圆

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知圆C的方程为f十产_2办_2疯0,+3/=0,则圆C的半径为

13.已知椭圆的一个焦点尸，若椭圆上存在一点满足以椭圆短半釉为半径的圆与线段尸尸相切于该

线段的中点，则该椭圆的离心率

22

K.如图，已知椭圆/十立—"">","）,其焦距为4,过椭圆长轴上一动点尸（与，°）作直线交椭圆于〃、

N,直线4"、3N交于点°（马，）'。），己知工内。=5,则椭|员的离心率为

2

匹、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一

C2

cos9=一

条北偏东为°的笔直公路，其中7.摩天轮近似为一个圆，其半径为35m,圆心。到地面的距离为

4。《明其最高点为％，八点正下方的地面。点与公路的距禽为70m.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计

算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）

⑴如图所示，甲位于摩天轮的A点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？

⑵当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？

16.直线/经过抛物线）'2=4x的焦点尸，且与抛物线交于A8两点（其中点A在x轴上方）.

⑴若|阳=4,求直线/的倾斜角;

V2

⑵若原点。到直线/的距离为工"，求以线段A8为直径的圆的方程.

17.在图1所示的平面多边形中，四边形A8co为菱形，=2,/区40=6°右28。与.鸟。>均为等

达三角形.分别将△《人"△6%必48,例人。沿着48BGCD,DA翻折，使得不多小巴四点

恰好重合于点P,得到四棱锥P-ABCD,PM=%必（0<%<1）.

修P

3

故选:c

【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角.

2.C

【分析】先将抛物线方程变为标准方程：再写出焦点坐标及准线方程即可求解.

2_1

【详解】由抛物线2/二），可得”~2y,

贝!抛物线的焦点坐标为I8人准线方程为.8.

1-L1L1

所以抛物线2/2=丁的焦点到准线的距离为8I8J4.

故选：C.

3.D

【分析】利用点在抛物线上及抛物线的定义即可求解.

【详解】将A。*）代入），=♦,得々=4,

x1=—■yrfo,-1y=―--

所以抛物线C：4-,焦点I16人准线方程为16,

故选：D.

4.C

oc---V"=1

【分析】求出抛物线,'一二2px的准线方程和双曲线3的焦点坐标，由条件列方程求L

,=-P-

【详解】抛物线V=2庶（〃>0）的准线方程为A--2,

Y2_]

双曲线7一’一的左焦点的坐标为（一2，°）,右焦点的坐标为（2，°）,

x2、

、---=1

因为抛物线）'=2内的准线过双曲线3的一个焦点，

J

所以2,

所以〃=4,

故选：C.

5.C

【分析】如图，画出点AA，M到准线的距离，利用抛物线的定义可知

5

陷4阴+|阳=罔+即=2|例,求I明的最大值.

【详解】设抛物线V=8.1的焦点为/，准线为/,线段AB的口点为M.如图，分别过点A,B,"作

准线/的垂线，垂足分别为0,D,N,连接4"BF.因为线段48的中点到》轴的距离为3,抛物线

),2=8x的准线/：x=-2,所以|MN|=5,因为|AB|<|A目+忸F|=|AC|+|8q=2|MM=10,当且仅当A,

B,尸三点共线时取等号，所以恒w2=1°.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解抛物线的定义，并能应用三点共线解决最值问题.

6.C

【分析】由题意，解方程，求半径之和与半径之差，根据圆的位置关系，可得答案.

【详解】•・•方程x2-8x+12=0,・'.可转化为(x-2)(x-6)=0,解得xl=2,x2=6.

•・•两圆半径之和为8,两圆半径之差为4：

•・•圆心距d=3,6-2>3；・•・两圆内含.

故选：C.

7.C

【分析】由线面平行的判定可知〃平面即。，知三棱锥P-瓦曾底面积和高均为定值，A正确；根据

正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R的方程，求得R后知B正确；将C中问题转化为在平面

ABCIR内求解庄+尸产的最小值，作E关于线段BR的对称点耳，将问题转化为片”长度的求解，根据

角度和长度关系可确定C正确；以。为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得

儿〃，可知D正确.

2=1

【详解】对于A,当一2时，F为GA中点，又E为片C中点，,,EF"BD\,

6

£“u平面E/7).BRa平面EFD.BD"/平面EFD.

虹当产在线段3上移动时，其到平面EFD的距离不变，

•••三棱锥七㈤的体积为定值，A正确；

对于B,当“一2时，取AC"。交点°,连接尸°,则四棱锥尸-48co为正四棱锥,

.•.PO_L平面ABCD,

设四棱锥P-A8CO的外接球的球心为。'，半径为R,则O'在直线夕。上,

-oc=—OO'=--R-+=R2

2,2r2

2,2:.OC+OO=OC1即212),

R=—S=4nR:=—

解得：4,.•.四棱锥P-ABCD的外接球的表面积4,B正确;

对于c,将问题转化为在平面ABGA内求解小+刊7的最小值，

作E关于线段町的对称点4,过目作HG//4.,交CR,AB于H,G,如下图所示,

PE=PE、，；,PE+PF=PE、+PFNE、H(当且仅当「与“重合时取等号)，

7

•.ZE,BA=/ABD「ZD,BE=4ABD「ZD,8G

sinNgBA=sin(/ABD「NDg)=［用-付）

夜

Efi=B[E-sin3BA=BE・sinZE,BA，3=员答平

~6

5&

即PE+P尸的最小值为了，故C错误;

对于D,以/）为坐标原点，"为x»，z轴建立如图所示空间直角坐标系,

则力（0.0,0）%，叼,尸（。41）,P（〃川一〃）

玖=[〃一于《一"J,OP=(〃.〃J_〃)，Ob=((M,1)

EP1DP

若研工平面尸£尸，则但尸，。尸,

EPO尸=〃(〃一；,+〃(〃一1)+=0

£PDF=2(//-l)+f1-x/>=0

解得:（舍）

‘--13-6、

26

.存在唯一的实数对I,使得石尸工平面包尸，故D正确.

故选：C.

8

8.D

e=-------Ipc'I_'

【分析】由题意可知归周，结合椭圆的定义解得2"^+1,再由5C引PKK"+C求解.

【详解】因为附I,所以附占出周，

由椭圆的定义得：俨用+1叫=2〃，解得仍用一7TT,

因为…工附区a+c,所以a*如…,

两边同除以a得e+l,解得

因为0<6><1,所以拉-14e<l,

所以该离心率。的取值范围是［&-"）

故选：D.

9.AC

【分析】依次判断各个选项中的方程所表示的曲线即可得到结果.

【详解】对于A,/+）舱=1表示圆心为（。，0）,半径为1的圆，A正确;

对于B,一一）'2=2不符合圆的方程，B错误；

对于C,由/+炉+2%=1得：a+l）'+V=2,则其表示圆心为（TO）,半径为祀的圆，c正确;

对于D,/+）"+孙T=°含个项，不符合圆的方程，D错误.

故选：AC.

10.CD

【分析】根据椭圆的标准方程、定义、性质即可得到答案.

【详解】对A,要使“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”,

还需要这个常数大于两个定点的距离，所以A错误.

对B,离心率-越小，这时人就越接近于“，椭圆就越圆，故B错误:

+=，

2,Tf

对C,方程‘九一+江=1（〃2〉0,〃>0,加¥〃）可化为机n

—+^-=1

1I11I1

—>—>0M—>—>A0

且由根〃>（）,〃-〃有机〃或，？m,即加〃是焦点在x轴或焦点在）'轴的椭圆的

标准方程，

故方程〃二十町'=1（机〉0,”>。，机工〃）表示的曲线是椭圆，选项C正确;

9

对D,由题意得两个椭圆的焦距均为24^牙，故D正确；

故选：CD.

11.ABD

【分析】分别确定四边形与三角形片的外接圆圆心，进而确定外接球球心与半径,

A84A可判断A

选项，由线面夹角为45。，可知/尸e=45。，进而确定点p轨迹长度，建立空间直角坐标系,利用坐标

ARC\PM?=—

法确定点夕的轨迹，进而判断C选项，由4G_L平面设垂足为可确定点I48,即可确定

轨迹.

【详解】A选项：由正方体可知平面平面A8&A,

又正方形A网A的中心为。I,所以球心。满足°Q,平面4网4,

..〃DR_A尸+线尸一A4?_34

在AA8/中，AP=B\P=ECOSZA,-2APBF_5s,nZA™!=~^

o、p=.4黑——=-

所以外接圆半径2S1I1/AP用4,且°。2_1平面人而。oo2=\

R=《OO；+O、p2=i总

所以四楂锥外接球半径4

„._41兀

S=4兀R2=-----

所以外接球表面积4,A选项正确;

B选项：由直线”与平面4BQ）所成的角为45。，且朋,平面48CQ,则‘2必=45。

可知点尸在以A顶点，AA为轴.2夜为母线长的圆锥表面，

所以当点「在平面A85同时，点Q的轨迹为线段人身，长度为2夜，

同理当点2在平面.ORA时，点2的轨迹为线段'R,长度为2夜,

兰点P在平面A4GA时，由他1AP,所以AP=AA=2,

I1

4——x4n=it

点。的轨迹为以4为圆心，2为半径的4圆上，长度为4

1()

点P在其他平面时不成立，综上所述，点P的轨迹长度为2拒+2应+兀=4应+兀，B选项正确;

C选项：如图所示，建立空间直角坐标系，设P（XK°）,0<x<2,0<^<2,

又用(2,0,2),C(2,2,0),0(022),尸(1,0,2),则勺。=(。2-2)BR=(-2,2,0)PP=(1,-)，,2)

2y「24=0

设平面SCR的法向量为"=（不）"）,则［-2%+2y=0,令耳=1,则”=。』」）,

又P尸〃平面BCR,贝［jPF-〃=］_%_.v+2=0,gyy=3-xf则］VxV2,

efiHPF=(l-x,x-3,2)|P+J(l-x)2+(x-3)，22=缶、8工+14W+6

//ItA，

所以当*=2时，PH取最小值为布，C选项错误；

D选项：由正方体可知平面A"。"平面BCR,所以平面A®。的法向量为〃=(i，i，i),

且AGJL平面AB。,又偿=(0,0,2)G4,=(T-1,1),

...AA,-n2x/3GA,n6

AM=-p：—=-----GM=-pr—=——

所以点A与G到平面A6°的距离分别为制3,制3,

AP2=AM2+PM2=-+PM2PG?=GM?+PM?=-+PM2

所以3,3

yliAP1-PG2=(AP+PG)(AP-PG)=2(AP-PG)=\

AP-PG=-AP=-PG=-PM2=—PM=-

则2,所以4,4,所以48,12

II

乂由正方体可知==即ABO为正三角形，且M为“产°中心,

人加叵/旦＞叵二PM

所以点M到三角形三边的距离为6312

氐

所以点尸在以M为圆心，12为半径的圆上，D选项正确;

故选：ABD.

【点睛】(1)求直线与平面所戊的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成：

②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.

(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足

作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

12.H

【分析】将一般式转化为标准式即可求解半径.

［详解］由/+),2_2"_2后0，+3/=0可得(尸。)2+()，-岛『=/,

所以半径为同，

故答案为：H

更

13.3

【解析】由中位线定理以及勾股定理求出P”,PF,再结合椭圆的定义以及离心率公式得出答案.

【详解】设切点为M,右焦点为6

由题意可知°/=c,0M=%则尸尸=2后-/

因为忆。分别是咪的中点、，所以班=2。*2b

由椭圆的定义可知-y+勿=2々,即42一尸=a—b

12

两边平方得“-5

屏

V5

故答案为：3.

a=­b

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由椭圆的定义得出2,进而得出离心率.

2后

R.5

2）

【分析】根据椭圆方程可证：对于椭圆不+铲—上任一点仇右

均有

设以丫：.3冲+再,.加（小,）不仇》）,联立方程利用韦达定理

可证

2

_b（xP-a）

八AMaAV_2/\2__4

“（与+与，进而根据直线的交点整理可得.二//=\即可求离心率.

,0

［详解】对于椭圆/+F一®>">°）上任一点“（刈%），）'。*0,

A今1可得"等«-/）,

贝!

可知A（—〃,0）,6（。，0）,

2

^AD'^BD九为a

所以%+Q~CCXQ-Q"

由题意可知：直线MN的斜率不为o,但可以不存在,

13

设M?V:%=/^y+A>,M(%,y),N(孙％),

x=tny+xf>

'x2y2_,,

联立方程〔/+〃「，消去x得9L)y-+如*y+从芍-犷2=0,

.八2b2mxpb2xl-a2b2

△>o,+y=；—京，y戊=T―五丁

则2cr+m-b-cr+in'b',

k.=^!-.^2__>J_________h_

KAMRkAN,=,

可得k+ax2+afnyi+xp+amy2+xp+a

b2j(p-a2b-

=______________ZI22_______________=_________________"+〃丁

"-%+〃?(/+，)()%+%)+(•%+〃『-嗖[N叱+(4+/

cr+ni~h2'7a"+m~b~''

_lr[xp-a)

1

a(xp+a)

及

AN:y=*(x-a)=一一-(x-a)

可知直线AM：y=心”（x+a）直线a%

)'Q=如“(q+〃)

Qa*AN°',消去NQ可得(%+a)=-6(4-a),

联立方程

7^^+a）=-，

贝!（小+。）,整理得"~=々%=5,即。=有,

又因为焦距为4,可得。=2,

x~।yz＞八0）

【点睛】关键点睛：i.根据椭圆方程可证：对于椭圆/‘"一"''।上任一点0（天，）'。）』产°,均

14

2

2,设取+与,加（/））2（”2）,联立方程利用韦达定理可证4"八"a（xP+a）

15

15.⑴14

14+71?[

⑵24

tanZADB=

【分析】（1）设公路所在直线为/，过3点作/的垂线，垂直为D,由得答案；

（2）设甲位于圆°上的农点处，直线"垂直于°斗且交圆。于小点，射线OR可以看成是射线。尸绕着

°点按逆时针方向旋转。角度得到.过火点正下方的地面7点向/作垂线，垂足为S.tanNRST取得最大值

88

r------sintz------sina

=777______

时，NRS7即为从乙看甲的最大仰角，tan/RST27-coscr淇中，7-cosa表示点（。。皿，9。）和

点I7J构成的直线。的斜率，根据直线与圆的位置关系即可求解.

【详解】（1）如图所示，设公路所在直线为，，过8点作/的垂线，垂直为。，3O=70m.

区为圆的半径为35m,圆心°到地面的距离为40m,所以八3=75^

/…AB7515

tanZ.ADB=----=—=—

从甲看乙的最大俯角与一4。8相等，由题意得A8_L8。，则AD7014.

（2）如图所示，设甲位于圆。上的R点处，直线。尸垂直于04且交圆。于尸点，射线可以看成是射

线O/绕着。点按逆时针方向旋转a角度得到.

过R点正下方的地面丁点向,作星线，垂足为S.

当tanNRST取得最大值时，4S7即为从乙看甲的最大仰角.

15

35sina+4088

tanZ.RST=--------------sina+-(----sina

70-35cosax-=----------=——7

题意得:727-cosa27-cosa

8

其中，7—cosa表示点（80。，心。）和点（’构成的直线口的斜率,

当直线a的斜率取得最小值时，tanNRS7取最大值.

因为点（c^dsina）在单位圆/+）,2=］上，

所以当直线。与单位圆相切时.，斜率取得最大值或最小值.

v+1=^(x-7)

设过点I’7）的直线方程为:

第一冈T、T4土洞

由相切可得7.+犬，解得—84

_i4_>/r?T14+Vi?T

见直线。的斜率最小值为―84一,代入可得tanZRST取最大值是一24一.

【点睛】方法点睛：

〃、一sinx+4

求—8SX+匕的最值时，可转化为求点（c°s及sinx）与（一仇-。）连线斜率的最值，

设出过点（一"'一〃）的直线方程，由点（c°sx，sinx）在单位圆上，根据直线与圆相切即可求解.

7T

16.⑴弓

⑵飙3）。（），+2）2=16或（-3『+（），-2）2=16

【分析】（1）由抛物线定义求出人尸的坐标，结合斜率与倾斜角的关系即可得解.

（2）设直线/的方程为“"〃"+乂'〃'。），联立抛物线方程结合韦达定理、抛物线定义得以线段AB为直

旦

径的圆的圆心、半径，结合原点。到直线,的距离为2得参数”即可得解.

【详解】（1）由题意得抛物线F=4x的焦点，准线分别为"=

所以由抛物线定义可知何同=4=/+1,又），；二4勺，

所以解得％力=26（负值舍去），

勤=」一=述=石

直线/的斜率为"XA-XF2,

16

n

所以直线/的倾斜角为3.

（2）由题意直线/的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在则原点。到直线/的距离为1,矛盾），

所以设直线/的方程为'町

联立抛物线方程）'?=4x,化简得）尸一4〃?），-4=0,显然4>0,

22

y+%=4〃z,X[+七="，（y+y2）4-2=4m+2,\AB\=（xt+1）+（x,4-1）=4（z??4-1）=2r

所以以线段AB为直径的圆的圆心、半径分别为A2=+L2m）/=2（病+1）,

正

区为原点。到直线,的距离为2,

,1V2

d--===——

所以x/l+nr2,解得〃?=±1,

所以圆心、半径分别为。（二拉卜"支

（>3）2+（），+2）2=]6或（1-3）2+（）-2）2=16

17.（1）证明见解析

A=-

⑵4

A=-

【分析】（1）当2时，可得/为期的中点，然后利用线面垂直证明幺,平面也加，从而证明

PA工MN,乂&MNMPC,从而可求证以

（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面MCO和平面4coi向法向量，然后由二面角CO-A的余

在

弦值为3,从而可求解工

2=-

【详解】（1）证明：因为2,所以“为E4的中点.

由题可知，人8=人。=尸9=叨，所以尸

又BMcDM=M,平面所以Q4_L平面8DM.

取BO1AC=N,如图，则MM7PC.由平面4/加，可得则PA1PC.

17

（2）连接AC,易证得8。/平面PAC,过点P作P01AC,垂足为°,则平面48co.

以。为坐标原点，0Aop所在直线分别为工轴、Z轴,建立如上图所示的空间直角A

由A8=2,得00=2,40=25/5,”=2\/?,

“旭QP巫爪。呼行生）,o）,。-^-,i,o）,c^—Y~,O»O

从而33,则1、J1J

PM=APA=[^-A,O,-^-z\

则J，3』

“nonow（64+）、2瓜）261

MD-PDPM-334，323CD：

=（ALO）

设平面MCD的一个法向量为机=（乂乃z）,

彼.毡4V+尹（亚人区*。，

MD/»=0,33）（33

V

贝!由[S〃]=O,得|岳+y=0,

,〃/『瓜与季]

人丫一12A—2

令不一1,得/H1）.

由图可知，平面ACO的一个法向量为〃=（°，°，1）,

在

因为二面角例-CO-A的余弦值为3,

丁+2必

\m-n\22-25/3

同网[卜5+2%3

所以如伽砌=V+[21-2）,角A=-

帛得4.

_1_

故九的值为I.

18

18.（1）［。"+同

⑵对于椭圆C上的任意点尸，都有理由见解析

【分析】（1）根据题意可得c=3、"6求出ib即可求出椭圆C的方程，进而求出“伴随圆”方程，

得出点A坐标，设8（〃?，〃），以〃7，-〃），（-右<，〃<8）,利用平面向量数量积的坐标表示可得

312）,结合二次函数的性质即可求解；

（2）设易知尸土。时口4成立;当时设直线/方程为yT=«-s）,联立椭圆方程,

消去y,由△=（）得GT'）公+2$伙+则//的斜率是方程的两个根，根据韦达定理计算化

简可得4&二-1,即可求解.

【详解】（1）由题意知。=&,由短轴的一个端点到焦点的距离为⑺,

知。=+，=G,则〃=J/2_c2=1,

X"

+'一）其“伴随圆”方程为f+丁=4

故椭圆C的方程为3

由题意,可设W肛/.（-6<m<我

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