2025年湖北省新高考信息卷（三）数学试题及答题

因为AO₁//平面C₁BD,所以动点P的轨迹在双曲线上.故选D.【解析】甲的众数=20>乙的众数=9,求和计算知甲的平均数=20>乙的平均数=16,甲按大小顺序排列为10,13,18,19,20,20,21,22,27,30;乙按大小顺序排列为3,9,9,10,13,17,20,24,27,28,甲的60百分位数=20.5>乙的60百分位数=18.5.,C正确.),D正确.【解析】对于A,若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13¹³;对于B,若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13!;对于C,若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12¹²;对于D,若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率.故选BD.2(舍去)于是所以a=-1.故概率2025年新高考数学信息卷参考答案第15页(共26页)2025年新高考数学信息卷参考答案第16页(共26页)结合B=π—(A+C),所以C),因为C∈(0,π),sinC≠0,所以,结合A∈(0,π),所以.…………(6分)(2)由(1)可知,所以A=√3,故bc=4.………(8分)又由余弦定理a²=b²+c²—2bccosA,故4=b²+c²—bc,解得b=c=2.从而△ABC的周长为6.…………………………(13分)16.【解析】(1)如图1,取PB的中点M,连接MF,MA,图1又四边形ABCD为菱形，且E为AD的中点，所以AE//BC,且所以MF//AE,且MF=AE,所以四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM,又AMC平面PAB,EFC平面PAB,所以EF//平面PAB.…………………(7分)(2)如图2,连接AC,BD,交于点O.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD,且O为AC,BD的中点，所以BD⊥平面PAC.因为BDC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAC,所以AC是直线PA在平面ABCD内的射影，则∠PAO为直线PA与平面ABCD所成的角的平面角，∠PAO=60°.所以AC=2√3,BD=2,PA=√3,∠POA=60°,如图2,以O为原点，直线OB,OC所在直线分别为x,y轴，过点O垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0)……………(10分)2025年新高考数学信息卷参考答案第17页(共26页)取平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z),则则设二面角P-BC-D平面角为θ,则…………………(15分)所以S-1+n—1=2a-1(n≥2),②由①一②,得aₙ+1=2a—2a-1,于是a+1=2(an-1+1)(n≥2).又因为S₁+1=2a₁,所以a₁=1,所以a₁+1=2,因此，数列{a+1}是首项为2,公比为2的等比数列.所以…………(4分)(2)因为bn+1=2b„—2n+3,所以b+1—(2n+1)=2[b—(2n—1)]=…=2”(b₁—1)=0,所以数列{b„—(2n—1)}是各项均为0的常数数列，所以b=2n—1,所以数列{b}是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为a₁=1,a₂=3,a₃=7,a₄=15,a₅=31,a₆=63,b₃2=63,b₃₆=71,(3)假设存在不同的m,n∈N*,不妨假设m<n使得am,a₃,an成等差数列，则2“—1+2”—1=2×(2³—1),即2”+2”=2⁴,两边除以16,得2m-⁴+2”⁻⁴=1.因为m<n,所以2“-⁴<2”一4,所以2m—4+1<1,所以m<3.所以不存在不同的m,n∈N*使得am,a₃,an成等差数列.…………(15分)因为f(x)有两个极值点，所以方程x²—4x+a=0有两个不相等的正根，所以解得0<a<4.所以f(x)在(0,2—√4-a)上单调递增，在(2—√4-a,2+√4-a)上单调递减，2025年新高考数学信息卷参考答案第18页(共26页)所以实数a的取值范围为(0,4).………………………(7分)所以f(x₁)+f(x₂)=÷(z}+z)—4(x₁+x₂)+alnx₁x₂2=aln所以f(x₁)+f(x2)+10—lna=(a—1)Ina-a+2.所以g'(x)在(0,4)上单调递增.因为g'(1)=-1<0,所以函数g'(x)存在唯一零点xo∈(1,2),即因为xo∈(1,2),所以,所以g(x)min>0,所以f(x₁)+f(x2)+10>ln所以椭圆C的标准方程………………(4分)(2)对任意k∈N*,即由于点P。和点I在x轴的同一侧，故y₁,yk同号，故……………(8分)(3)由(2)可知,因为|y|≤4,所以对任意k∈N*,在△P₆F₁F₂中，设⊙I与x轴的相切于点D。,则DF₁|-|D.F₂|=(ak+3)—(3—ak又,取等条件为2025年新高考数学信息卷参考答案第19页(共26页)故点I只能在椭|的上、下顶点位置.…………………(10分)当n=2024时，表示点I中恰有1012个在上顶点，恰有1012个在下顶点，故总的情况有对任意k∈{1,2,…,n}都有表明，任意前k个点中，上顶点个数不少于下顶点个数.将前k个点中上顶点的个数减去下顶点的个数记作t,将所有的点(k,te)连接起来，形成一条折线l,因为tk每次要么减少1,要么增加1,所以折线l相当于从(0,0)出发，每次沿向量(1,1)向右上方移动，或者沿向量(1,—1)向右下方移动，最终到(2024,0)结束.目标事件为折线l始终落在x轴及x轴上方，其对立事件为折线l与y=-1有公共点.考虑对立事件，若折线l与y=-1有公共点，记第一个公共点为A,则点A左侧的折线均在y=-