2025届河北省保定市高考二模数学试题及答案

2025年高三第二次模拟考试数学参考答案1.A【解析】本题考查基本不等式,考查数学运算的核心素养.当且仅当即时,等号成立,所以的最小值为6.2.B【解析】本题考查三角恒等变换,考查数学运算的核心素养.3.C【解析】本题考查复数的运算与共轭复数,考查数学运算的核心素养.4.C【解析】本题考查统计中的中位数,考查数据处理能力.将数据1,4,5,6,4,5,4按照从小到大的顺序排列为1,4,4,4,5,5,6,则原数据的中位数为4,若删除一个数后,所得数据的中位数不变,则被删除的数为5或6.5.C【解析】本题考查指数函数的单调性,考查逻辑推理的核心素养.当x∈[1,2]时,2x∈[2,4].当m∈(-∞,2]时,f(x)=2x-m,f(x)在[1,2]上单调递增;EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(m),2x)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up7(2x),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(x),x)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up7(1),lo)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up6(log2),g2m)当m∈[4,+∞)时,f(x)=m-2x,f(x)在[1,2]上单调递减.综上,m∈(-∞,2]∪[4,+∞).6.D【解析】本题考查集合、二次函数、抛物线的综合,考查直观想象的核心素养.设函数f(x)=(x-1)(x-5),则f(x)的图象经过点M(1,0),N(3,-4),P(5,0).当x=3时,抛物线y2=4x对应的纵坐标为±23>-4,作出f(x)的图象,如图所示,由图可知,f(x)的图象与抛物线y2=4x有4个不同的交点,则A∩B有4个元素,从而A∩B的真子集的个数为24-1=15.【解析】本题考查曲率与二面角,考查空间想象能力与推理论证能力.如图,设AC∩BD=O,连接SO,则SO⊥平面ABCD.取BC的中点M,连接OM,SM.在正四棱锥S-ABCD中,∠SMO为侧面与底面的夹角,则tan∠SMO==2.设OM=1,则SO=2,BM=BC=1,则SM=3,SB=2,所以正四棱锥S-ABCD的每个侧面均为正三角形,则顶点S的每个面角均为,故正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为8.A【解析】本题考查二项式定理,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.(x-1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和等于(x+1)n(n∈N*)的展开式各项系数之和,则(1+1)n=512,得n=9,则(x+1)8(x-1)n=(x2-1)8(x-1).因为(x2-1)8的展开式中没有x11的项,所以(x+1)8(x-1)n的展开式中x11的系数为(x2-1)8的展开式中x10的系数,即CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(3),8)(-1)3=-56.9.BC【解析】本题考查对数的运算与对数函数的性质,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.因为2)=-lgx+lg(2x2)=lg(2x)(x>0),所以f(x)为增函数,f(x)的值域为R,A错误,C正确.f(x)=1⇔lg(2x)=1⇔2x=10⇔x=5,B正确.f(x)<2⇔lg(2x)<2⇔0<2x<100⇔0<x<50,D错误.10.ACD【解析】本题考查二项分布、正态分布以及导数的应用,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),6)p)5,设函数f(p)=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(1),6)p(1-p)5(0<p<1),则f'(p)=6(1-p)4(1-6p),当0<p<p)>0,当<p<1时,f'(p)<0,所以5,D正确.11.ABD【解析】本题考查直线与椭圆的综合,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.由x2y+=y,得x2+=1或y=0,则C由椭圆x2+=1与直线y=0组成.易知F1(0,-2),F2(0,2)为椭圆x2+=1的两个焦点,所以|PF1|+|P|PF2确.将y=mx-3代入得(m2+5)x2-6mx+4=0,设该方程的两个根为x1,x2,则Δ=20m2 且由y=mx-3=0,得假设存在直线l:y=mx-3,使得l与C的所有交点的横坐标之和为,则+=,解得m2=10>4,D正确.当m>3时,介于x1,x2之间,假设存在直线l:y=mx-3,使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列,则x1x2=得5m2+45=0,显然该方程无实数解,C错误.12.【解析】本题考查正切函数的周期与对称性,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.T,由0<m<T,得0<2m<π,则2m,即m=.13.7【解析】本题考查直线与圆的位置关系以及导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为直线y=x+m与圆C:(x+1)2+y2=2相切,所以=2,解得m=3(负根舍去).设函数f(x)=-则由即a=4,故a+m=7.【解析】本题考查正四棱台的侧面展开图与余弦定理的综合,考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.如图1,设灯带经过侧棱BB1上的E点.如图2,连接A1B,将侧面ABB1A1和BCC1B展开到同一个平面,则A1E+CE≥A1C,当且仅当线段A1C与线段BB1有交点时,等号成立,即当灯带的长度取得最小值时,交点即为点E.因为四边形BCC1B1是等腰梯形,所以cos∠A由余弦定理可得 米,则所以即即线段A1C与线段BB1有交点可得而米,则所需灯带的长度的最小值为米.15.【解析】本题考查直线与双曲线,考查数学运算的核心素养.解:(1)(方法一)由题意可知分2解得2......................................................................................................................................4分故C的方程为x2-=1......................................................................................................................5分 ,a(方法二)设C的焦距为2 ,a44分故C的方程为1......................................................................................................................5分(2)由(1)可知C的左顶点为A(-1,0),.................................................................................................6分则点A到直线l的距离........................................................................................................7分联立得5x2-18x+13=0,....................................................................................................9分解得...............................................................................................................................10分则分故△APQ的面积为|PQ|d=........................................................................................................13分16.【解析】本题考查立体几何初步与空间向量的综合,考查直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)解:因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE=2,所以AB⊥AE,且BE=2,........................................1分因为四边形BCDE为正方形,所以AA1=BC=BE=22分所以该五棱柱的体积×2=103分⊥AB4分因为∠ABD=∠ABE+∠EBD×2,所以AB⊥BD,.............................................................................5分∩BD=B,所以AB⊥平面BDD1B1,............................................................................................6分又ABC平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面BDD1B17分(3)解:易证EB,ED,EE1两两垂直,以E为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,..................8分则B(2,0,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),E1(0,0,2),A1(1,-1,2),.............................................................................9分EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(→),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),1)即-x-y+2z=-x+y=0,.........................................................................................................................11分取x=1,得m=(1,1,1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),D)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up6(2),2)故直线B1D与平面A1BE1所成角的正弦值为..............................................................................15分17.【解析】本题考查随机变量的概率与数学期望,考查数据分析与数学运算的核心素养.解:(1)若甲以每箱优惠8%的价格成交,则成交的金额为500×(1-8%)×200=9.2万元;.............1分若甲以每箱优惠6%的价格成交,则成交的金额为500×(1-6%)×200=9.4万元;2分若甲以每箱优惠5%的价格成交,则成交的金额为500×(1-5%)×200=9.5万元3分故甲以低于9.5万元的金额购买这200箱零件的概率为0.3+0.4=0.74分(2)若乙选择方案一,则成交的金额为500×400-×12×500=18.8万元.........................5分若乙选择方案二,设成交的金额为X万元,则P=0.3,.................6分=0.4,............................................................................................7分=0.3,................................................................................................8分所以E(X)=18.4×0.3+18.8×0.4+19×0.3=18.74万元9分因为18.74<18.8,所以方案二更优惠..........................................................................................10分(3)设丙用方案一购买100n(3≤n≤9,n∈N)箱,则丙用方案一需要支付的金额为100n×500-.4n+1.2)×104元,..........11分方案二需要支付的金额的期望为×18.74×104=(44.976-4.685n)×104元,................12分所以丙购买的金额的期望为4.4n+1.2+44.976-4.685n=(46.176-0.285n)万元....................13分因为y=46.176-0.285n(3≤n≤9,n∈N)为减函数,所以n越大,y越小,故应该选择900箱使用方案一,60箱使用方案二,这样才能获得最多的优惠15分18.【解析】本题考查数列的递推公式、通项公式与求和,考查推理论证能力、运算求解能力以及利用给定新信息解决问题的能力.所以α+β=b,αβ=-c,......................................................................................................................1分n+B)......................................................2分3分(2)①解:由题意知an+2=7an+1+8an的一元二n+Bn.,64A+B=65,.........................................................................................................................所以8A-B=64A+B=65,.........................................................................................................................解得A=1,.......................................................................................................................................②解:由n(n+1)dn+2=7n(n+2)dn+1+8(n+1)(n+2)dn,得=+...............................................................................................................................9分因为=7,=65,所以由①知an=,.................................................................................................10分则dn=nan=n×8n+n×(-1)n..............................................................................................................11分2+则8Tn=82+2×83+3×84+…+n×8n+1,.................................................................................................12分则-7Tn=8+82+…+8n-n×8n+1..............................................................................................................13分 分所以........................................................................................................................15分当n为偶数时,Sn=Tn+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]=+;.....................................................16分当n为奇数时,Sn=Tn+[-1+2-3+4-…-(n-2)+(n-1)-n]=+-n=-.......17分19.【解析】本题考查新定义与导数的综合,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.(1)解:h(x)不是“金字塔函数”1分证明:因为所以g的图象关于直线x=1对称2分 .................................................................................................................3分因为n∈N*,(x-1)2+1>0,所以令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1,................................................4分所以g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则g(x)存在唯一的极值点1,故g(x)为“金字塔函数”5分(3)解:因为f(x)为“金字塔函数”,所以f(2-x)=f(x),所以e2-x+ex+a(2-x)2+b(2-x)-a=ex+e2-x+ax2+bx-a,整理得(2a+b)x=2a+b对x∈R恒成立,.............................................................................................6分则2a+b=0,得b=-2a7分所以f(x)=ex+e2-x+ax2-2ax-则f'(x)=ex-e2-x+2a(x-1),f'(x)的导数f″(x)=ex+e2-x+2a≥2e+2a...