【素养目标】5.3.1 几何图形问题 教案（表格式） 2024-2025学年北师大数学上册

3一元一次方程的应用第1课时几何图形问题教学目标课题第1课时几何图形问题授课人素养目标1.能根据几何图形问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想。2.通过对几何图形问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系。3.经历运用方程解决几何图形问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识。教学重点寻找几何图形问题中的等量关系，建立方程。教学难点抓住几何图形变化中的不变量，确定等量关系。教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图借助橡皮泥的变化，激发学生的学习兴趣，引导学生关注其中的数量关系，从而引出本节课的课题。【情境引入】如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱，请思考下列几个问题：（1）在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了？还有哪些量改变了？（2）在这个变化过程中，什么量没有变化呢？接下来这节课我们就来学习一元一次方程的应用。【教学建议】教师可事先准备一块橡皮泥作为演示道具，指定学生代表回答问题，并带学生回顾圆柱的体积公式，为后续学习做准备。活动二：问题引入，合作探究设计意图借助几何图形问题，通过分析的方式，培养学生从问题中找等量关系、抽象出方程模型、将实际问题转化为数学问题的能力，感受方程模型在解决实际问题中的作用，增强模型观念与应用意识。探究点利用一元一次方程解决几何图形问题1.图形的等积变化问题某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？（1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？圆柱形易拉罐改造前后的底面半径、高、容积。（2）设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？设新包装的高度为xcm。根据等量关系，列出方程：解这个方程，得x=14.52。因此，易拉罐的高度变为14.52cm。思考（1）根据问题列方程时的关键是什么？列方程时，关键是找出问题中的等量关系。（2）用方程解决实际问题的基本步骤是什么？理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答。2.图形的等长变化例（教材P147例1）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。（1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？（2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？（3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？分析提问：①本题涉及哪些量？铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积。②如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化？③题中有怎样的等量关系？等量关系：（长+宽）×2=周长（周长就是铁丝的长度）。④如图，结合（1）（2）问题意，若设长方形的宽为xm，则长方形的长可怎么表示？试用含x的代数式在下面图中表示出来。（1）（2）解：（1）设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+1.4）m。根据题意，得2（x+1.4）+2x=10。解这个方程，得x=1.8。1.8+1.4=3.2。此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m。（2）设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m。根据题意，得2（x+0.8）+2x=10。解这个方程，得x=2.1。2.1+0.8=2.9。此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09（m2），（1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76（m2）。此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大6.09-5.76=0.33（m2）。（3）设正方形的边长为xm。根据题意，得4x=10。解这个方程，得x=2.5。正方形的边长为2.5m，面积为2.5×2.5=6.25（m2），比（2）中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16（m2）。思考在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。所列方程的两边分别表示长方形的周长和铁丝的长度，列方程的思路是先设一边长为未知数，再用含未知数的代数式表示出周长，根据周长等于铁丝的长度10m这个等量关系列出方程。归纳总结：周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时（即为正方形时），长方形（正方形）的面积最大。周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时（即为正方形时），长方形（正方形）的面积最大。【对应训练】教材P149随堂练习。【教学建议】指定学生代表回答，教师可沿用活动一中的引入酌情说明，引导学生总结用方程解决实际问题的基本步骤。【教学建议】教学时可让学生先分组独立完成本例，然后请各组代表汇报三个小问题的解答情况，最后组织学生开展讨论：解这道题的关键是什么？从解这道题中你有哪些收获或体验？鼓励学生通过独立思考发现：围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”。指定学生代表回答分析提出的问题，鼓励学生用不同的方式列出方程。【教学建议】根据计算，教师引导学生发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也在发生变化，并引导学生尝试总结其中的规律。活动三：知识延伸，巩固升华设计意图通过例题与练习使学生进一步体会从问题中寻找隐含的等量关系，巩固提高利用方程解决实际问题的能力。例直径为30cm、高为50cm的圆柱形瓶里装满了饮料，现将饮料倒入底面直径为10cm的圆柱形水杯，刚好倒满30杯，则水杯的高度是多少？分析：等量关系是饮料的体积不变，设水杯高度为未知数列方程，求解即可。【对应训练】一个长方形的周长是40cm，若将长减少6cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则长方形的长、宽各为多少厘米？分析：等量关系是正方形的边长相等，可设长为未知数列方程求解。【教学建议】提醒学生：注意“装满”“倒满”的含义，倒饮料过程中饮料的体积没有发生变化，可据此等量关系列出方程，还要注意水杯数量。【教学建议】酌情提醒学生：正方形的边长相等是隐含的等量关系。鼓励学生用不同方式列方程，还可设宽为未知数列方程，或者设正方形的边长为未知数根据周长列方程。活动四：课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.本节课你有哪些收获？2.用方程解决实际问题的基本步骤是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P154～155习题5.3第1，3，4，5题。板书设计3一元一次方程的应用第1课时几何图形问题1.等积变化。2.等长变化。教学反思本节课以橡皮泥的变化作为引入，激发学生学习兴趣，再通过梳理分析问题中的各种量，将思考的过程用填空的形式呈现，让学生了解运用方程解决实际问题的思路和方法，最重要的是抓住等量关系，使学生体会方程模型对于解决实际问题的作用，加强模型观念。后续通过例题与练习，帮学生掌握用方程解决一般几何图形问题，对几何图形问题有大致的分类意识，知道如何找到等量关系列出方程，提高应用意识。解题大招一利用去分母解一元一次方程一般几何图形问题的大致类别解决方案等体积变形以体积为不变量，用不同方式表示出体积，据此等量关系列方程求解等面积变形以面积为不变量，用不同方式表示出面积，据此等量关系列方程求解等周长变形以周长为不变量，用不同方式表示出周长，据此等量关系列方程求解例（1）有一块边长为4cm的正方体形橡皮泥，要用它来捏一个长、宽分别为8cm，2cm的长方体橡皮泥，则它的高为4cm。（2）如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为144cm2。（3）用一根120cm长的铁丝围成一个长方形，使该长方形的长是宽的2倍，则这个长方形的长为40cm，宽为20cm。【解析】（1）设高为xcm，则43=8×2x。解这个方程，得x=4。故高为4cm。（2）设正方形的边长为xcm，则6x=8（x-6）。解这个方程，得x=24。6×24=144。故每一个长条的面积为144cm2。（3）设宽为xcm，则长为2xcm，2×2x+2x=120。解这个方程，得x=20。2×20=40。故长方形的长为40cm，宽为20cm。培优点利用一元一次方程解决拼接图形问题例如图，周长为68的长方形ABCD被分成7个相同的小长方形，则长方形ABC