北师大版 第08讲 整式的加减（5个知识点+4种题型+过关检测）（原卷版）

第08讲整式的加减（5个知识点+4种题型+过关检测）知识点1．同类项（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．（2）注意事项：①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②同类项与系数的大小无关；③同类项与它们所含的字母顺序无关；④所有常数项都是同类项．知识点2．合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．（3）合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．知识点3．去括号与添括号（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验．知识点4．整式的加减（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．（2）整式的加减实质上就是合并同类项．（3）整式加减的应用：①认真审题，弄清已知和未知的关系；②根据题意列出算式；③计算结果，根据结果解答实际问题．【规律方法】整式的加减步骤及注意问题1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．知识点5．整式的加减—化简求值给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．题型一、整式加减运算1．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（

）A． B． C． D．2．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，则．3．（2024七年级上·全国·专题练习）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？题型二、整式加减应用4．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）已知某个长方形相邻的两边长为和，那么这个长方形的周长为（

）A． B． C． D．5．（24-25七年级上·全国·单元测试）一列火车原有人，中途有一半人下车，又有若干人上车，现在车上有人，则上车的人数是．6．（24-25七年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表．(1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？(2)设中间数为a，如何用代数式表示十字框中五个数之和？(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？(4)十字框中的五个数之和能为2018吗？能为2025吗？题型三、整式的加减中的化简求值7．（2024·山东济南·二模）已知a是方程的解，则代数式的值为（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20268．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知，，则代数式的值是．9．（24-25七年级上·全国·课后作业）我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．(1)把看成一个整体，化简：；(2)已知，求（1）中整式的值；(3)先化简，再求值：，其中．题型四、整式加减中的无关问题10．（24-25七年级上·全国·单元测试）多项式与的差中不含项，则m的值为（

）A．9 B．3 C．1 D．11．（24-25七年级上·全国·课后作业）当关于x的多项式中不含二次项和一次项时，，．12．（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式：，其中、为常数，且表示为系数，然后让同学们给、赋予不同的数值进行计算．(1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是，；(2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式；(3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．一、单选题1．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．2．下列运算中正确的是（

）A． B． C． D．3．对多项式添括号，正确的是（

）A． B．C． D．4．下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．6．不改变代数式的值，把的二次项放在前面带有“+”号的括号里，把一次项放在前面带有“-”号的括号里，正确的是（

）A． B．C． D．7．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．8．设A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则的次数是（

）A．7 B．4 C．3 D．4或39．如图，六边形是由9个等边三角形拼成的，若中间的小等边三角形的周长为，那么六边形的周长为（

）．A． B． C． D．10．任意写下一个两位数，用它两个数位的数字和的10倍减去这个两位数，得差．然后对差重复这一运算程序……，以下结论正确的是（

）A．差是7的倍数 B．差是8的倍数 C．差是9的倍数 D．差是10的倍数二、填空题11．化简：．12．若a＜3，则|a﹣3|﹣（1﹣a）的值是．13．若关于x的多项式中不含二次项，则．14．若两个单项式与的和仍然是单项式，则和的次数为．15．当的值为时，与的和不含的一次项．16．已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，且，化简：的结果为．17．甲、乙、丙三名同学在课间玩卡牌互动游戏：首先三名同学手上有着相同数量的卡牌（假定每名同学手中的卡牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，甲同学拿出三张卡牌给乙同学；第二步，丙同学拿出五张卡牌给乙同学；第三步，甲同学手中此时有多少张卡牌，乙同学就拿出多少张卡牌给甲同学．请你确定，最终乙同学手中剩余的卡牌的张数为．18．对数轴上的点P按照如下方式进行操作：先把点P表示的数乘以3，再把表示得到的这个数的点沿数轴向右平移1个单位长度，得到点P′．这样的操作称为点P的“倍移”，数轴上的点A、B经过“倍移”后，得到的点分别为A′、B′，将点A′、B′，若A′B′＝2022，则AB＝．三、解答题19．小林到某纸箱厂参加社会实践，该厂计划用50张白板纸制作某种型号的长方体纸箱，如图，每张白板纸有三种剪裁方法，其中种裁法：裁成4个侧面；种裁法：裁成3个侧面与2个底面；种裁法：裁成2个侧面与4个底面．已知四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．设按种方法剪裁的白板纸有张，按种方法剪裁的白板纸有张．(1)按种方法剪裁的白板纸有______张．（用含的式子表示）(2)将50张白板纸剪裁完后，一共可以裁出多少个侧面与多少个底面？（用含的式子表示，结果要化简）20．小亮房间窗户的窗帘如图（1）所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）．(1)如图（1），请用代数式表示窗帘的面积：________；用代数式表示窗户能射进阳光的面积：__________；（结果保留π）(2)小亮又设计了如图（2）的窗帘（由一个半圆和两个四分之一圆组成，半径相同），请你用代数式表示窗户能射进阳光的面积：________；（结果保留π）(3)当米，米时，图（2）中窗户能射进阳光的面积与图（1）中窗户能射进阳光的面积的差为________（π取3）21．整式加减：(1)整式化简：．(2)先化简，再求值：，其中，．22．有一个三位数，其百位数字为，十位数字为，个位数字为．若这个三位数百位数字的4倍加上十位数字的2倍，再加上个位数字的和能被8整除，则称这个三位数是“航天数”．如：232，，故232是“航天数”．（1）请你写出最小的三位“航天数”______；并判断448是否是“航天数”；（2）请证明任何一个三位“航天数”能被8整除，23．我校七年级有象棋、足球、演讲、美术共四个社团，参加象棋社团的有x人，参加足球社团的人数比象棋社团的人数的两倍少y人，参加演讲社团的人数比足球社团人数的一半多1人，每个学生都限报一项，参加社团的学生共有人．(1)足球社团有________人，演讲社团有________人．（用含x，y的式子表示）(2)若，，求美术社团的人数．24．“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂酿蜂蜜”这两句话从左往右读和从右往左读，结果完全相同．文学上把这样的现象称为“回文”，数学上也有类似的“回文数”，比如252，7887，34143．小明在计算两位数减法的过程中意外地发现有些等式从左往右读的结果和从右往左读的结果一样，如：；；．数学上把这类等式叫做“减法回文等式”．(1)观察以上等式，请你再写出一个“减法回文等式”；(2)请归纳“减法回文等式”的被减数（十位数字为，个位数字为）与减数应满足的条件，并证明．25．如图：(1)在数轴上标出数、、、所对应的点、、、；(2)、两点间距离=______；、两点间距离=______；、两点间距离______；(3)设数轴上两点、，点对应的数为、点对应的数为，（点在点的左侧），那么、两点之间的距离______；(4)若动点、分别从点、同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，则秒后、两点之间的距离是______．(5)有理数，在数轴上对应的位置如图所示，试简化：．26．某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为（）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图为无盖的长方体纸盒，图为有盖的长方体纸盒），请你动手操作验证制作的可行性并解答问题．（纸板厚度及接缝处忽略不计）

【动手操作一】根据图方式制作一个无盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为（）的小正方形，再沿虚线折合起来．(1)该长方体纸盒的底面面积