分式方程的应用七年级数学下册举一反三（沪科版）

专题9.4分式方程的应用【八大题型】

【沪科版】

【题型1行程问题】.............................................................................1

【题型2工程问题】............................................................................4

【题型3销售利润问题】........................................................................7

【题型4航行问题】...........................................................................11

【题型5和、差、倍、分问题】.................................................................14

【题型6数字问题】...........................................................................17

【题型7图形问题】...........................................................................19

【题型8方案问题】...........................................................................22

。。*十一及三

【题型1行程问题】

【例1】（2022•河南许昌,八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家

分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是

2:3,结果小丽比小颖晚4min到达剧院.

（1）求两人的速度.

（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高m/min.

【答案］（1）小丽和小颖的速度分别为50m/min和75tn/mim（2）6.25.

【分析】（1）设小丽和小颖的速度分别为而和缄加加%,根据题意，小丽所用时间

-小颖苏勇时间=4分钟，列出分式方程，解答即可.

（2）设小丽速度需要提高根据题意，小丽所用时间=小颖所用时间，列出分式方

程，解答即可.

【详解】解:（1）设小丽和小颖的速度分别为2x,恤加和3x皿也加,根据题意，得：

18002400

------------------=4

2x3x

解得：x=25

经检验x=25是原分式方程的解，

则2A'=2x25=50（m/min）,3x=3x25=75（m/min）

答：小丽和小颖的速度分别为50ni/min和75"力"加

（2）设小丽速度需要提高4"，"而?，根据题意，得：

1800_2400

50+a75

解得：Q=6.25

经检验a=6.25是原分式方程的解

答：小丽速度需要提高6.25m/min.

故答案为6.25

【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题干，找到等量关系是解题关键.

【变式（2022・重庆・四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿

平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿

原路跑回家.已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银

行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟.

⑴求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？

（2）小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一

条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行.已知上坡的平均速度是平路

上跑步的平均速度的今下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的I且上坡路程是下坡路

程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？

【答案】⑴280米/分钟

（2）2100米

【分析】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平均

速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返时间共用50分钟，列方程丝些+等=50,解

X4X

得x=70,检验后求出4%二280,回答问题；

（2）设这段坡路的下坡路程是），米，根据小伟上坡的平均速度是280x,=20（）,下坡的平

均速度是280xJ=350,上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用时9分钟，列方程黑+

春=9,解得y=700,挂出这段坡路的总路程是700+2X700=2100.

【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，

根据题意得，竺竺+答=50,

X4X

解得，x=70,

经检验，％=70是所列方程的解，且符合题意，

04x=280,

答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟；

（2）设这段坡路的下坡路程是），米，

回上坡的平均速度是，280x：=200,下坡的平均速度是280x：=350,

74

回根据题意得，2+1=9,

解得，y=700,

0700+2x700=2100,

答：这段坡路的总路程是2100米.

【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用一一行程问题，解决问题的关键是

熟练掌握路程和速度与时间的关系，列代数式列方程解答，解分式方程注意检验，应用题注

意设未知数和回答问题.

【变式1-2]（2022•全国•八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演,

走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家

取票，随后骑车赶往科技馆.已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑

车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟.

（1）小明步行的速度是每分钟多少米?

（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由.

【答案】（1）小明步行的速度为76米/分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由

见详解.

【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时

间=路程+速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分

式方程，解之经检验后即可得出结论;

（2）利用时间=路程+速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到

达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论.

【详解】解：（1）设小明步行的速度为x米/分钟，则小明骑车的速度为5x米/分钟.根据题意,

^-x--5x=20,

解得：x=76.

经检验，x=76是原分式方程的解.

答：小明步行的速度为76米/分钟.

/、1900-X1900

(2)―5X76+^--7--6---+4=21.5<23,

所以小明能在表演开始前赶到科技馆.

【点睛】本题考有了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关犍.

【变式1-3]（2022•湖北襄阳•八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大

道进行跑步锻炼.

（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500

米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明

和小强的速度分别是多少米/分?

（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的加倍,

（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日

的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车

每天工作时间为6小时）？

（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，

同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作.2018年6

月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工

人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人

参与直接清扫？

【答案】（1）1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）派

出5辆道路清扫车参与工作；（3）2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.

【分析】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和），千米，由题意

可得徽;沈影进行求解即可；

（2）设派出6辆道路清扫车参与工作,则（50x0.6+8〃?）x6=420,进行求解即可；

（3）设2018年5月环卫处增加了〃名环卫工人参与直接清扫，由题意写出分式方程进行求

解即可.

【详解】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和），千米，

由题意可得，解得

答：1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；

（2）设派出〃?辆道路清扫车参与工作，

则（50x0.6+8m）x6=420,解得m=5,

答：派出5辆道路清扫车参与工作：

（3）设2018年5月环卫处增加了〃名环卫工人参与直接清扫，由题意得

420420+60Anza..

-；—；—=------:-----；解得:"=10.

0.6（50+71）+6x80.6（50+n+20j+6x8

答：2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用.综合性

强，有一定难度.关键是理解题文，列出方程求解.这里涉及到工作效率问题以及合作问题，

要求学生对这类模型比较熟练.

【变式2・1】（2022•黑龙江・哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一-批零件，由一

名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后漕加5名工人与他们一起做8小时,

完成这项工作的］假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？

4

【答案】应该先安排2名工人工作.

【分析】设安排x人先做2h,然后根据先后两个时段完成这项工作的：，可列方程求解.

4

【详解】解：设应该先安排X名工人工作,

由题意得：各端H

解得％=2,

经检验无=2是原方程的解且符合题意，

回应该先安排2名工人工作，

答：应该先安排2名工人工作.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于准确理解题意列出方程求解.

【变式2-2］（2022•辽宁•大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民

工程"，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等

公共设施进行全面更新改造.该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5

倍，若甲队先做10天，剩下两队合作30天完成.

（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预

算费用为500万兀，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若小够用，需

追加预算多少万元？请说明理由.

【答案】（1）甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天：（2）

工程预算的施T费用不够用，需追加预算4万元.

【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各

自的工作效率.根据工作量=工作效率X工作时间列方程求解；

（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断.

【详解】（1）设此工程甲队单独完成需x天，则乙队单独完成这项工程需1.5八•天.由题意:

10+3030

-x-+1.5%~1

解得:x=60.

经检验，尸60是原方程的解，且适合题意.

1.5x=1.5x60=90.

答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天.

（2）因为需耍缩短工期并高效完成工程，所以需两队合作完成，设两队合作这项工程需

y天，根据题意得：

上+2=1

6090

解得：产36.

所以需要施工费用36X（8.4+5.6）=504（万元）.

因为504>500,所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，涉及方案决策问题，综合性较强.

【变式2-3]（2022•广西贵港•八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派

遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程.当一号施工队施工10天后，由于实

际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工

队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程

⑴如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？

⑵如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？

【答案】⑴》=45

（2）若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天

【分析】（1）设二号施工队单独施工需要汇天，根据题意列出分式方程进行求解即可；

（2）直接列算式求解即可.

【详解】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天，

根据题意得：甯+竺土

30X

解得：X=45,

经检验，％=45是原分式方程的解.

答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天.

（2）根据题意得：1+©+（）=18（天），

答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天.

【点睛】本题考查分式方程的应用.根据题意正确的列出分式方程是解题的关键.注意脸根.

【题型3销售利润问题】

【例3】（2022•重庆巴蜀中学九年级阶段练习）飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强

的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱.某商家购进了海绵和橡胶两种

飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费

4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍.

⑴求一个海绵飞盘的进价是多少元；

⑵商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个,

但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%,而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基

础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最

多可购买多少个橡胶£盘？

【答案】（1）50元，：

（2）11.

【分析】（1）设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题

意；购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，旦购买海绵飞盘的数量是购

买橡胶飞盘数量的2倍.列出分式方程，解方程即可；

（2）设此次可购买。个橡胶飞盘，则购买（80-a）个海绵飞盘，由题意：海绵飞盘的进价比

第一次购买时提高了16%,而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，商家此

次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

（1）

解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（A+30）元，

解得：x=50,

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意,

答：一个海绵飞盘的进价为50元；

（2）

设此次可购买。个橡胶飞盘，则购买（80-a）个海绵飞盘，

由题意得：

50x（14-16%）（80-a）+80x0.9a<4800

解得：a<ll^

加是整数，

回。最大值为11,

答：此次最多可购买11个橡胶飞盘.

【点睛】此题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关

系与不等关系，正确列出分式方程和一元一次不等式.

【变式3-1］（2022•四川南充•八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元

的单价试销.销售良好，超市又安排4500元补货.补货进价比上次每千克少0.5元，数量

是上次的2倍.

（1）求两次进货的单价分别是多少元.

（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利.

【答案】（1）第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元；（2）4600

【分析】（1）设第一次讲货的单价是f元，则第二次讲货的单价是-0.5）元，根据撅意，

列方程求解即可；（2）求出两次的购进数量，根据毛利=收入-成本，可求出结果.

【详解】解：（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是0.5）元，根据

题意，得

25004500

-------X2=———

xx—0.5

解得％=5

经检验：*=5是原方程的解

第二次进货的单价是:5-0.5=4.5（元）.

答：第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元.

（2）两次销售苹果的毛利：

（衅2+竿—200）x8+200x8x0.75-2500-4500=4600（元）

答：两次俏售苹果的毛利为4600元.

【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹

果的数量是上次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后总千克数，根据毛利公式，从而

求出解.

【变式3-2］（2022•湖南・邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫〃战略中，三峡

库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多〃组建了某土特产专卖店，专门将进货自

本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地.2020年10月份，该专卖店第一次购进A

商品40件，4商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，3商品30件，进

价合计6900元.

（1）求该专卖店10月份A、8两款商品进货单价分别为多少兀？

（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出.由于季节原因，8商品缺货，该

专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月吩上

涨了，〃元，进价合计49000元；12月份的进货单价乂比11月份上涨了0.5〃?元，进价合计

61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍.为了尽快回笼资金，A商品在

11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店

把剩下的50件4商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销

售总金额为多少元？

【答案】（1）该店4、8两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在4商品

进货单价上涨后的销售总金额为163500元.

【分析】（1）设每件A和商品的进价为x元，每件B和商品的进价为y元，根据“若购进A

种商品40件，B种商品63件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需

要6900元〃，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销

售这两批A商品的销售总金额.

【详解】（1）设10月份A商品的进货单价为“元，8商品的进货单价为），元，由题意得：

（40x+60y=8400

（50x+30y=6900'

解得，好黑；，

答：该店4、8两款商品进货单价分别为90元和80元；

（2）由题意可得，

12^x1,2=61200

90+m•90+m+0.5m*

解得，〃?=8，

经检验，机=8是原分式方程的解，

故11月份购进的A商品数量为舞=500（件），

90+8

12月份购进的A商品数量为500x1.2=600（件）,

（500+600-50）xl50+150x0.8x50=163500（元）.

答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，

列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验.

【变式3-3]（2022•浙江•八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和

40000购两批口罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上潴20元，且数最是7月份购进数量

的2倍.

（1）求7月份购进了口罩多少盒？

（2）该药店在7,8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每

盒口罩的标价为150元.已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折

出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果

利润与甲店相同.

①用含b的代数式表示a.

②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售几箱后，剩余口罩全部捐献给医院.若至少捐

赠96盒口罩，且预计乙店7,8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,4几

所有可能的值.

【答案】（1）200盒；（2）①Q=100-2b；②〃=100,/?=0,〃=100或a=90,b=5,^=102

或。=80,b=10,/?=104

【分析】（1）设7月份购进了口罩工盒，根据8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元列

出方程，解之即可；

（2）①根据7月份乙店利润与甲店相同列出关于“，〃的方程，化简即可；

②首先求出两个月乙店的利润，根据总利润为2000元列出方程，得到72=100I2；,再根

据至少捐赠96盒口罩，求出〃的范围，得到匕的范围，再求整数解即可.

【详解】解：（1）设7月份购进了口罩x盒，

由题意可得：竺9竺+20=竺吧，

X2X

解得：x=200,

国月份购进了口罩200盒；

（2）①由（1）可得7月份口罩每盒甯=80元，

由题意可得:(100-0)(150x80%-80)=4(150X90%-80)+(100-a-6)(150x

70%-80),

整理得：a=100-2b：

②由题意可得：8月份购进了口罩400盒，8月份口罩进价为每盒100元，

7月份乙店获得的利润为：

a(150-80)+6(150x90%-80)+(100-a-6)(150x70%-80)

=45a+30b+2500

8月份乙店获得的利润为：(150-100)n-100(200-n)=150n-20000,

045a+30b+2500+150n-20000=2000,HP3a+2b+lOn=1300,

0a=100—2b,

03(100-2b)4-2b4-lOn=1300,即5n—2b=500,即n=100+?,

团至少捐赠96盒口罩，

0200—n>96,

On<104,

町00+募W104,解得：b<10,

助可以取0,5,10,

当"0时，a=100,〃=100；

当b=5时,a=90,n=102；

当〃=10时，a=80,n=104.

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，列代数式，二元一次方程的解以及不等式，解体

的关键是理清题意，本题条件较多，一定要仔细读题.

【题型4航行问题】

【例4】(2022•福建省福州教育学院附属中学模拟预测)已知4B两港之间的距离为150千

米，水流速度为5千米/时.

⑴若•轮船从A港顺流航行到8港所用的时间是从8港逆流航行到A港所用时间的j求该

轮船在静水中的航行速度；

⑵记某船从入港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返I可到入港所用的时间为若该船

从A港航行到8港再返回到A港均为静水航行，所用时间为匕，请比较与£2的大小，并说

明理由.

【答案】⑴轮船在静水中的航行速度为25千米/时

(2)^>t2,理由见解析

【分析】(1)设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，故可知顺流速度为(x+5)千米/时,

逆流速度为。-5）千米/时，列分式方程晏乂|=翳，求解即可.

（2）设船在静水中的航行速度为“千米/时，由题意可知口=覆+氏，4=^x2,比较

与。的大小.

（1）

解：设轮船在静水中的航行速度为-

则顺流速度为a+5）千米/时，逆流速度为a-5）千米/时;

.2150

x-=—

解得无=25

经检验得x=25是原方程的解

因该轮船在静水中的航行速度为25千米/时.

（2）

解：设船在静水中的航行速度为uT・米/时

由题意知口=学+=

xv+5v-S

150

t=-----x2

2v

150150150

ti-t=-----z-H-----------------X2

2v+5v-5v

150r,

=心+5)(吁5)[心-5)+心+5)-2(v+5)(吁5)]

150

=-----——-------x50>0

v(v+5)(v-5)

•••tx-t2>0

£]＞《2♦

【点睛】本题考查了分式方程与异分母分式的加减.解题的关键在于正确的列分式方程与分

式的比较大小.

【变式4-1】（2022•新疆•吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大

航速为40千米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行30

千米所用时间相等.求江水的流速为多少千米/时.

【答案】16千米/时

【分析】设江水的流速为%千米/时，根据题意列出方程，解方程即可求解.

【详解】设江水的流速为xl■•米/时，根据题意得，

7030

x+4040-X

解得％=16,

经检验，x=16是原方程的解，

答：江水的流速为16千米/时.

【点睛】本题考行了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.

【变式4-2】(2022•吉林四平•七年级期末)两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水,

乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h,水流速度是akm/h.

(1)2h后两船相距多远？

(2)2h后甲船比乙船多航行多少千米？

(3)一•艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则

小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是.

【答案】(1)2h后两船相距200千米(2)2h后甲船比乙船多航行4a千米；(3)v=2a

【分析】(1)分别求得甲乙两船行驶的路程，即可求解：

(2)用甲船行驶的路程减去乙船行驶的路程，即可求解；

(3)由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为s,列方程求解即

可.

【详解】解：(l)2h后，甲船行驶的路程为2x(50+a)(km),乙船行驶的路程为2X(50-

a)(km)

两船相距为2x(50+a)+2x(50-a)=200(km)

答：2h后两船相距200千米

(2)由(1)得2h后，甲船行驶的路程为2x(50+a)(km),乙船行驶的路程为2x(50-

a)(km)

甲船比乙船多航行2x(50+a)-2x(50-a)=4a(km)

答：2h后甲船比乙船多航行4a千米

(3)由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为s

则去程时间为tl=返程时间为£2=

由题意可得£1=3匕，即氏二3高，解得U=2Q

快艇在静水中的速度，与水流速度a的关系是为u=2a

故答案为u=2a

【点睛】此题考查了列代数式，以及分式的应用，解题的关键是掌握船顺流航行和逆流航行

的速度公式是解题的关键.

【变式4-3](2022•全国•八年级单元测试)一小船由4港到B港顺流航行需6小时，由B港

到4港逆流航行需8小时.小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生阖在途中掉落水中，

立即返航，2小时后找到救生圈.

问：(1)小船由A港漂流到B港需要多少小时？

(2)救生圈是何时掉入水中的？

【答案】(1)48：(2)10时.

【分析】(1)先设小船找水流速度由A港漂流到B港需要x小时,根据题目中的等量关系

列出方程，求出X的值，在进行检验即可；

（2）先设救生圈是在x点钟落下水中的，则救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的9

，根据小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，得出它在中午12点钟到达B港，根据

救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12-x）小时，在这段时间里，每小时

船行驶全程的g救生圈沿着航行方向漂流全程的白，船勺救生圈同向而行，距离拉大，船

o4o

到B港后立刻掉头去找救圈，2小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已

拉开的距离缩短为U,列出力程，求出力程的解即可

【详解】（1）设船由4港漂流到B港需要％小时，

依题意得，:一二=：+△,解得％=48.

6x8x

经检验，％=48是原方程的解，且有意义.

（2）设救生圈在工时落入水中，由（1）知水的速度为总则（6+6-）=*+》x2,

解得x=10.

经检验，％=10是原方程的解，且符合实际意义.

【点睛】此题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程

【题型5和、差、倍、分问题】

【例5】（2022•江苏淮安•八年级期末）第5代移动通信技术简称5G,某地己开通5G业务,

经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部6CO兆

的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？

【答案】60兆

【分析】设该地4G的下载速度是每秒人兆，则该地5G的下载速度是每秒15八兆，根据“小

明比小强所用的时间快140秒〃列出方程求解即可.

【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆

由题意得：—--=140

x15x

解得：x=4,

经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，

15x4=60,

答：该地5G的下载速度是每秒60兆.

【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关

系，设出未知数列出方程.

【变式5-1］（2022•江苏•仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）某生态示范村种植基地

计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤.为了满足市场需求，现决定改良葡萄品

种.改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少

了20亩，则改良后平均每亩产量是多少万斤？

【答案】改良后平均每亩产量是0.5万斤

【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数一改良后种植的亩数=20亩，根据等量

关系列出方程即可.

【详解】解：设原计划每亩产量x万斤，改良后每亩产量1.5%万斤，

「八

丁363市6+8二20,

解得，%=%

经检验，X=；是原分式方程的解，

**•1.5%—0.5,

答：改良后平均每亩产量是0.5万斤.

【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的

关键.

【变式5-2］（2022•北京八中八年级期中）“绿色环保，健康出行〃新能源汽车越来越占领汽

车市场，以“北汽”和“北汽新能源EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的

电费均为300元，而续航里程之比则为104.经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/

公里.

（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；

（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用

电费.以新能源EV500为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并

求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比.

【答案】（1）燃油车08新能源汽车02（2）8.25%

【分析】（1）设新能源汽车续航单价为X元/公里.，则燃油车续航单价为（X+0.6）元/公里，

根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4团1,列出方程，解之即可.

（2）根据总价=单价x数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用+总公里数即可

得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数

可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用+燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.

【详解】解：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/

公里，依题可得：

，

-30-0：-3-0-0+-0-.-6=4:1»4

XX

解得：x=0.2,

团燃油车续航单价为:x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），

答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.

（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：

0.48x55=26.4（元），

团新能源汽车每公里所需电电费为：

26.44-400=0.066（元/公里），

依题可得燃油汽车400公里所需费用为：

400x0.8=320（元），

回新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：

26.44-320=0.0825=8.25%.

答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费

用（油电）百分比为8.25%.

【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的

关键.

【变式5-3］（2022•浙江舟山•七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布

了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检

测阴性证明.根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排

校医甲和教师乙进行核酸采集培训.经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍•，且甲采集52

人用时比乙采集30人用时少2分钟.

⑴求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？

（2）该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班机人，8八年级有6

个班，每班〃人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求加

和〃的值；

⑶该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪

费情况下，有哪几种分装方案？

【答案】（1）甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人：

⑶有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；

②3个10人试管，2个20人试管；

③1个10人试管，3个20人试管；

④7个10人试管，。个20人试管.

【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2工人，根据所用的时间可列出方程,

解方程即可：

（2）根据题意列出关于小〃的二元一次方程组，解方程组即可；

（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20v=70,根据x与y都是正整数,

从而可求解.

(1)

解：设乙速度为平均每分钟采集工人，则甲为每分钟采集2%人，

依题意得：募+2=争

解得A-2,

2x2=4人，

经检验：x=2是方程的解且符合题意，

答：甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；

(2)

解:依题意得:7m+76n=87x(2+4),

解峨溶

(3)

解：设10人试管有“个，20人试管有)，个，依题意得：

10,v+20>=70,即x=7-2.y,

则有:k;端:域:;或丁,

有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；

②3个10人试管，2个20人试管；

③1个10人试管，3个20人试管；

④7个10人试管，。个20人试管.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题

意找到等量关系.

【题型6数字问题】

【例6】(2022•贵州•铜仁市第十一中学八年级期中)一个两位数的十位数字是6,如果把十

位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是点原来得两位数是

【答案】63

【分析】设这个两位数个位上的数为x,,再根据等量关系列出方程，最后检验并作答.

【详解】解：设这个两位数个位上的数为X,

则可列方程：兰鲁=：，

6X10+X7

整理得66匕=198,

解得x=3,

经检验x=3是原方程的解，则60+K=63,

故答案为：63.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是热练掌握列分式方程解应用题的一般

步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答.注意：分

式方程的解必须检验.

【变式6-1］（2022•全国•八年级课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1,

这个两位数被个位数字除时，商是8,余数是2,求这个两位数.

【答案】34

【分析】设十位上的数字为刈则个位上的数字为工+1,两位数是10%+%+1,利用两位数

减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可.

【详解】解：设十位上的数字为％,则个位上的数字为x+1,

则：1。心+1）-2=8,

解方程得：x=3,

经检验：无=3是原方程的根，

所以个位上的数字为：x+l=3+l=4,

所以这个两位数是：3x104-4=34.

答：这个两位数是34.

【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是

抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程.

【变式6-2］（2022•山东潍坊•八年级期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12,

如果交换H立数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作

为分母，所得的分数约分为点则这个二位数是.

【答案】84

【分析】设这个二位数的十位数字为-则个位数字为（12■外，根据“如果交换十位数字

与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分

数约分为；”，即可得出关Fx的分式方程，经检验后即可得出结论.

【详解】设这个二位数的十位数字为X,则个位数字为（12-x）,

()

根据题意得:1012-X4-X_4

1OX+(12-X)7'

解得：x=8,

经检验，x=8是所列分式方程的解，且符合题意,

012-x=4.

故答案为84.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，壬确列出分式方程是解题的关键.

【变式6-3］（2022•全国•八年级专题练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4,用

个位上的数去除这个两位数商是3,求这个两位数.

【答案】15.

【分析】设十位上的数字为x,则个位上的数字为x+4,这个两位数为：10x+(x+4),根据

用个位上的数去除这个两位数商是3,列出分式方程，求解即可得出答案.

【详解】解：*鬻=3,

解得：x=l,

经检验，x=l是分式方程的解,

10x+（X+4）=10x1+1+4=15.

答：这个两位数为15.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用，利用个位与十位的关系列出方程是解题的关铤.在

解答本题的过程中根据条件从而得到本题的结果.

【题型7图形问题】

【例7】(2022•全国•七年级单元测试)已知一个长方形的长是40,宽是30,现要把它的长

和宽减少相同的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7：5,减少的长度是.

【答案】5

【分析】设减少的长度是X,根据题意列出方程，解方程，检验即可.

【详解】解：设减少的长,度是，由题意，得

40-x_7

30-x=5

去分母得：5(40-X)=7(30-X)

去括号得：200-5%=210-7%

移项得：7x-5x=210-200

合并同类项得：2==10

系数化为1得：x=5

经检验，x=5是该方程的解

故填：5.

【点睛】本题考查分式方程的应用.能根据题意列出方程是解决此题的关键，还需注意对方

程的解要进行检验.

【变式7-1](2022•福建省泉州第一中学八年级期末)如图，“丰收1号〃小麦的试验田是边

长为am(a>I)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小

麦的试验田是边长为(a-l)m的正方形，两块试验田的小麦都收获/500kg.

（1）“丰收1号〃单位面积产量为kg/m2,“丰收2号〃单位面积产量为kg/m2（结

果用含a的式子表示）；

⑵若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的1.5倍，求a的值.

【答案】（1岩：岛

（2）5

【分析】⑴分别求出“丰收1号〃、“丰收2号〃的面积，再用500除以面积即可;

（2）根据题意列出关于Q等式求解即可，注意需要验根.

⑴

解：“丰收1号〃的面积为：a2-l,

单位面积产量为：辞?

“丰收2号"的面积为：（a-I）2,

单位面积产量为:500

(a-1)2

故答案为:500500

a2-l'(a-1)2

⑵

解：由题意，可得嗯x1.5=谷,

a2-l（a-1）2

解得a=5,

经检验，a=5是原分式方程的解，

回。的值为5.

【点睛】本题考查了列代数式，分式方程，解题的关键是根据题意列出相应的分式方程.

【变式7-2］（2022・浙江•七年级阶段练习）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面

铺瓷砖，如图，现有A和4两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与3款长方形瓷砖

的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若4款瓷砖

的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为米，宽为

米.

9

---------------------------------_7

_____宽：：：：：：

□山

A款正方形瓷砖B款长方形谎转IIIIIII,_

【答案】13或*

【分析】设A款瓷砖边长为a米，3款瓷砖长为a米、宽为力米，则2x乙x昌=2（汽+1）x

a2a+b2a+n'

；-14,解得a=l,由题意知蜉是正整数，设芸=k"为正整数），解得b=瞪，将"为

正整数代入即可得出结果.

【详解】解：设A款瓷砖边长为a米，3款瓷砖长为a米、宽为b米，

则2x-x9:=2（片I1）x714,

a2a+bv2a+b'a

解得：Q=1,

经检验，a=l是原方程的解，

由题意得：点是正整数，

2+b

设衿=k（k为正整数），

C十。

解得一=鬻,

当*=1时，b=L（L>Xt舍去）；

当k=2时，b=!（|>1,舍去）；

当k=3时，b=-；

4

当k=4时，b=1.

故答案为：1,：或，.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组

是解题的关键.

【变式7-3］（2022•浙江杭州•七年级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所

示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2

所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱.（加工时接缝材料不计）

模式

图1图2

（1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板.问竖式和横式纸箱各加工

多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？

（2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加

工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？

【答案】（1）加工竖式纸盒200个