第7章 平面图形的认识（二）（压轴题专练）（解析版）

第7章平面图形的认识（二）（压轴题专练）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一平行线中含一个拐点问题】 1【题型二平行线中含两个拐点问题】 6【题型三平行线中含多个拐点问题】 9【题型四平行线中与平移的综合问题】 13【题型五三角形中与角平分线有关的综合问题】 20【题型六三角形中与折叠的综合问题】 27【题型七与三角形有关的新定义型综合问题】 32【题型一平行线中含一个拐点问题】例题：如图，，若，，则∠E=______．【答案】##66度【详解】解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【变式训练】1．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．【答案】【详解】如下图所示，过点C作，∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），∵，，∴，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∴，∴在原图中，故答案为：．2．已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）图（6）(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：(2)请选择其中一个图形进行说明理由．【详解】（1）解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1）∠B+∠F=∠C图（2）∠F-∠B=∠C图（3）∠B-∠F=∠C图（4）∠B+∠F+∠C=360°图（5）∠B-∠F=∠C图（6）∠F-∠B=∠C（2）解：图（1）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；图（2）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；图（3）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（4）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG+∠B=180°，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF+∠F=180°，∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，∴∠B+∠F+∠BCF=360°；图（5）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG-∠GCF=∠B-∠F，∴∠B-∠F=∠BCF；图（6）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，∴∠F-∠B=∠BCF；【题型二平行线中含两个拐点问题】例题：如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【变式训练】1．如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．2．（1）如图①，如果，求证：．（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．【详解】（1）证明：过P作，如图，

∴，∵（已知），∴，∴，∵，∴；（2）如图，过点P作，过点Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案为：；

（3）过点P作，过点Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，即，∴，故答案为：．

【题型三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线，则的度数为___________°．【答案】360【详解】过E作EF∥CD，过G作GH∥CD，过M作MN∥CD，如图所示：∵CD∥AB，∴EF∥GH∥MN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEF，∠GEF+∠EGH=180°，∠HGM+∠GMN=180°，∠NMC=∠5，∵∠2=∠BEF+∠GEF，∠3=∠EGH+∠HGM，∠4=∠GMN+∠NMC，∴．故答案为：360．【变式训练】1.如图：(1)如图1，，若，计算并直接写出的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线变成折线，证明：(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线变成折现．请你写出一条关于、的数量关系（无需证明直接写出）【详解】（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵，∴∴∠1=∠APC，∠QPC=∠PQD，∠DQM=∠EMQ，∠EMB=∠5，∴∠2=∠1+∠PQD，∠4=∠5+∠DQM，∴∠2+∠4=∠1+∠PQD+∠5+∠DQM=∠1+∠3+∠5，∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．2．猜想说理：（1）如图，，分别就图1、图2、图3写出，，的关系，并任选其中一个图形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若，则度；（3）在图5中，若，请你用含n的代数式表示的度数．【详解】解：（1）如图1：，如图2：，如图3：，如图1说明理由如下：∵，∴，∴，即；（2）如下图：过F作，∴，又∵，∴，∴，∴，即；故答案为：；（3）如下图：，过E作，过F作，∵，∴，∴，，，∴，即；综上所述：由当平行线AB与CD间没有点的时候，，当A、C之间加一个折点F时，；当A、C之间加二个折点E、F时，则；以此类推，如图5，，当、之间加三个折点时，则；…当、之间加n个折点时，则，即的度数是．【题型四平行线中与平移的综合问题】例题：（2023下·全国·八年级假期作业）如图，线段AB，BC被直线AC所截，D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，．将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【详解】解：（1）证明：，．，，．（2）如图，过点D作DF∥AE交AB于点F，则．∵，由平移的性质，得，，．，，，，【变式训练】1．（2023下·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，将沿的方向平移得到．

(1)若，求的度数；(2)若，求平移的距离．【答案】(1)(2)1cm【分析】（1）根据平移的性质，得到对应角相等，即可得解；（2）根据，求出的长，即为平移的距离【详解】（1）解：将沿的方向平移得到，∴；（2）解：∵，∴，即：平移的距离为1cm．【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．2．（2023下·江西南昌·七年级统考期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．

(1)如图1，当点D与点B重合时．判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空）(2)如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)=(2)或，见解析【分析】（1）根据平移的性质得出结论；（2）根据点D的位置可分为点D在点左边和点在点右边两种情形，利用平行线的性质得出结果．【详解】（1）解：，理由如下：∵三角形是由三角形平移得到，∴，∴；（2）解：根据点D的位置可分为两种情形，①若点D在点左边，如图．

由平移的性质可得：，，，∵，∴，∴．②

若点在点右边，如图：

由平移的性质可得：，，，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键.3．（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．

(1)求的度数；(2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接．①如图2，当时，求的度数；②如图3，当时，求的度数；③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②；③存在，或【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案；（2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案；②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解；③分两种情形：图2，图3分别求解即可．【详解】（1）∵，∴．∵，∴，∴；（2）①如图2，过点D作，∴，∴．∵，，∴，∴；②如图3，过点D作，∴，∴．∵，∴，∴；③存在，或．如图2，当时，由①知，，，∴；如图3，当时，由②知，，，∴

【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题．4．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．

(1)求证：；(2)点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且．①设，求的度数（用含的代数式表示）；②证明：．【答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【分析】（1）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质可知；（2）①根据平行线的性质及对称的性质可知，进而可知；②根据对称的性质可知的面积与的面积相等，再利用等面积法可知．【详解】（1）证明：将线段平移得到，使与对应，与对应，∴由平移性质知，，∴，，∴；（2）①解：∵由（1）知，∴，∵，∴，∵，，∴，由对称性质知，，∴，∴，∴，∵，，∴；

②证明：过作于，于，并连接，∴由对称性质知，的面积与的面积相等，，∵，，∴，∵，∴，过点作于点，则，∴，

．【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称的性质是解题的关键．【题型五三角形中与角平分线有关的综合问题】例题：（2023上·山东临沂·八年级校考期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，．(1)如图①若，求的度数；(2)如图①求证：大于；(3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)125°(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解；（2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角定理可得，，即可求证；（3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和，即可解答．【详解】（1）解：∵．∴，∵点P是与的平分线的交点，∴；（2）解：延长交于D，如图所示：∵是的一个外角，是的一个外角，∴，，∴；（3）解：，理由如下：∵外角，的角平分线交于点Q，∴，∴；【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定义，三角形的外角定理，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．【变式训练】1．（2023上·天津津南·八年级校联考期中）在中，(1)如下图所示，如果，和的平分线相交于点P，那么__________；(2)如下图所示，和的平分线相交于点P，试说明；(3)如下图所示，和的平分线相交于点P，猜想与的关系，直接写出答案，不用证明．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义，（1）根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和定理有，问题随之得解；（2）根据角平分线的定义可得，，根据三角形外角的定义与性质有：，，问题随之得解；（3）结合三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，角平分线的定义，按照（1）、（2）方法即可作答．【详解】（1）是的角平分线，．又是的平分线，，，，，；；（2）是的角平分线，．又是的平分线，，，，；（3）是的角平分线，．又是的平分线，，，，，，，，，．2．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)如果，求的度数；(2)如图①，猜想和的关系，并证明；(3)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系．(4)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．【答案】(1)；(2)，理由见详解；(3)；(4)或或；【分析】（1）根据得到，结合角平分线得到，即可得到答案；（2）根据角平分线及三角形内角和定理得到、与的关系即可的得到答案；（3）根据三角形内角和定理得到与的关系，再根据三角形内外角角平分线、邻补角及三角形内角和得到与的关系即可得到答案；（4）根据角平分线得到，，得到，结合（2）（3）结论分类讨论2倍角结合三角形内角和关系列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵，∴，∵与的平分线相交于点P，∴，∴；（2）解：，理由如下，∵，与的平分线相交于点P，∴，∴，∴；（3）解：∵外角，的角平分线交于点Q，∴，∴，∵，∴；（4）解：∵，分别是，，的角平分线，，分别是，，的角平分线，∴，，∴，∴，由（2）（3）得，，，∵中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，，∴①当时，，解得：，②当时，，解得：，③当时，，解得：，综上所述的度数为：或或；【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线的相关计算，解题的关键是根据内外角角平分线关系得到角．3．（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）【初步认识】（1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______；【继续探索】（2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系；【拓展应用】（3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．【答案】（1），；（2）；（3）或或【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可；（2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可；（3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可．【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分，∴，∵，∴；如图②，∵平分，平分外角，∴，∵，，∴，整理得，，故答案为：；．（2）解：∵平分外角，平分外角，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：由题意知，，，，∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解：①当时，；②当时，，则；③当时，，解得，；④当时，，解得，；综上所述，的度数为或或．【题型六三角形中与折叠的综合问题】例题：（2023上·福建厦门·八年级校联考期中）如图，是一个三角形的纸片，点D，E分别是边，上的两点．(1)如图（1），如果沿直线折叠，且，则与的关系是．(2)如图（2），如果沿直线折叠后A落在四边形内部，探究，和的关系，并说明理由．(3)如果折成图（3）的形状，探究，和的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析；(3)，理由见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是，也考查了折叠的性质、三角形外角性质．（1）先根据折叠性质得，然后根据三角形外角性质易得；（2）连接，先根据三角形外角性质得，，则，所以；（3）由折叠性质得，，，再根据三角形内角和得，接着利用平角定理得到，然后整理得到.【详解】（1）解：，理由：∵沿直线折叠，且，∴A点落在上，如图（1），∴，∴；故答案为：；（2）解：，理由：连接，如图，∵，，∴，又∵，∴；（3）解：．理由：如图（3），由翻折可得：，，，∵，，∴，∴，∴．【变式训练】1．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）探究：(1)如图①与有什么关系？为什么？(2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）．(3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______．猜想三个角存在的等量关系为______．【答案】(1)，理由如下(2)(3)，【分析】（1）由题意知，，进而可得；（2）由题意知，，进而可得；（3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系．【详解】（1）解：，理由如下：由题意知，，∴；（2）解：由题意知，，∴，故答案为：；（3）解：∵，，∴，由折叠与平角的性质，可知，，∴，故答案为：；由题意知，，∴三个角存在的等量关系为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．2．（2023上·甘肃平凉·八年级校联考期中）问题如图，一张三角形纸片，点分别是边上两点．研究（）：如果沿直线折叠，使点落在上的点，则与的数量关系是________；研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系是________；研究（）：如果折成图的形状，猜想和数量关系，并说明理由；猜想：________；理由：研究（）：将问题推广，如图所示，将四边形沿折叠，使点落在四边形的内部，与之间的数量关系是________．【答案】（）；（）；（），见解析；（）【分析】（）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论；（）连接，根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论；（）根据三角形的外角的性质与轴对称的性质即可得到结论；（）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可得到答案；本题考查了轴对称的性质，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的外角的性质与四边形的内角和定理是解题的关键．【详解】研究（）：根据折叠的性质可知，∴，故答案为：；研究（）：连接，则，∴；故答案为：；研究（）：猜想：理由：由图形的折叠性质可知，∵∴，得∴研究（）：由根据折叠的性质可知，，∴即，∴，故答案为：．【题型七与三角形有关的新定义型综合问题】例题：（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．(1)若是“准互余三角形”，，则的度数是_______；(2)若△ABC是直角三角形，．①如图，若是的平分线，请判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是_____．【答案】(1)；(2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或．【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是；（2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答，②由题意可得，所以分两种情况，，．【详解】（1）解：是“准互余三角形”，，，，，故答案为：；（2）解：①是“准互余三角形”，理由：是的平分线，，，，，是“准互余三角形”，②是“准互余三角形”或，，或，当，时，，当，时，，，或．故答案为：或．【变式训练】1．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．(1)的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形；(2)若，求证：为“智慧三角形”；(3)当为“智慧三角形”时，求的度数．【答案】(1)30；是(2)见解析(3)的度数为或或或或或【分析】本题属于几何综合题，考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点在线段和线段的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）解：∵，∴，∴的度数为∴，∴为直角三角形，是“智慧三角形”，故答案为：30；是；（2）∵，∴，∴为“智慧三角形”；（3）∵为“智慧三角形”①当点在线段上时，∵，∴，I、当时，，∴，II、当时，∴∴此种情况不存在，III、当时，∴，∴，∴，IV、当时，∴，∴，∴(舍去)，V、当时，∴，∴(舍去)，VI、当时，∴，∴，∴此种情况不存在，②当点在线段的延长线上时，∵，∴，∴，1．当时，∴，∴，∴，II、当时，，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．2．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）新定义：在中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为“n倍角三角形”．例如，在中，若∠，则，因为最大