《数系的扩充和复数的概念》名师课件

名师课件3.1数系的扩充和复数的概念名师：罗静知识回顾问题探究课堂小结随堂检测自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括：知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究一：数系的扩充重点知识★对于实系数一元二次方程

没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数●活动一回顾旧知，回顾数集的扩充过程知识回顾问题探究课堂小结随堂检测对于实系数一元二次方程没有实数根，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？最根本的问题是要解决－1的开平方问题.即一个什么样的数，它的平方会等于－1.我们引入一个新数i，它的平方等于－1.●活动二类比旧知，探究数系的扩充.我们说，实系数一元二次方程没有实数根.实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？知识回顾问题探究课堂小结随堂检测把实数和新引进的数i像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：①虚数单位i的平方等于-1，即；②i的周期性：，,,；③实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立.●活动三类比探究，研究新数i的运算性质有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事.这样，就可以解决前面提出的问题（-1可以开平方，而且-1的平方根是±i）.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测重点、难点知识★▲探究二：复数的概念

根据虚数单位i的第③条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加.由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi这样，数的范围又扩充了，出现了形如a＋bi(a，b∈R)的数，我们把它们叫做复数.复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，(其中a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部.当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=0且b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.●活动一理解概念，复数的代数形式怎样表示一个复数？对于复数a＋bi(a，b∈R):知识回顾问题探究课堂小结随堂检测复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？●活动二剖析概念不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部.a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？任意两个实数可以比较大小，复数呢？知识回顾问题探究课堂小结随堂检测复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的？纯虚数集复数集实数集虚数集复数z＝a＋bi，(其中a，b∈R)包括：●活动三完善知识体系知识回顾问题探究课堂小结随堂检测例1实数m取什么值时z=(m+1)+(m-1)i是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数?点拨：本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考查.因为m∈R,所以(m-1)∈R，(m+1)∈R，由z=a+bi是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m的值.(1)当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；●活动四复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用详解：(2)当m-1≠0即m≠1时，复数z是虚数；(3)当m+1=0，

m-1≠0即m=-1时，复数z是纯虚数.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测点拨：本题考查复数相等的充要条件.对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)当且仅当a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等.例2已知

＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值.详解：由复数相等的定义得

，解得：x＝3（负值舍），

所以x＝3为所求.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测∴z1＜z2时，实数m的取值为m＝1.点拨：本题考查对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小.例3设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1＜z2，求实数m的取值范围.详解：由于z1＜z2，m∈R，∴z1∈R且z2∈R，当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，∴当m＝1时，符合题意，此时z1＝2，z2＝6，满足z1＜z2.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测重点、难点知识★▲探究三：复数的几何意义这里面体现的是“数”、“形”互换的思想.任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定.因为有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b).●活动一类比实数的几何意义，探究复数的几何意义若把a,b看成有序实数对（a，b），则（a，b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）实数可以用数轴上的点来表示：知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动一类比实数的几何意义，探究复数的几何意义如图：复数z=a+bi可以用点Z（a,b）（复数的几何形式）来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.yxabz=a+biO

显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除了原点）都表示纯虚数.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测(2)由位于直线y=x上，得，即.例4实数m取什么值时，复平面内表示复数的点，(1)位于第四象限(2)位于y=x上？(1)由位于第四象限，得解得详解：点拨：本题考查复数的几何意义即复数z=a+bi与点Z（a,b）一一对应.复数z=a+bi表示的点坐标为，分别由条件求解即可得.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测复数的向量形式.以原点O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数.复平面内的点Z（a，b）一一对应复数z=a+bi●活动二类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数，还可以用什么表示复数？还可以用向量！设复平面内的点Z（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定.反之，也成立.因此，复数z=a+bi与也是一一对应的（实数0与零向量对应），这是复数的另一种几何意义.复数z，点Z(a,b)，三者关系如下：向量的模叫做复数的模,记作或.由模的定义知:利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：●活动三探究复数的模的几何意义例5已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围.详解：方法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|2＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴方法二：点拨：本题考查复数的几何意义即复数的模及考查数形结合思想.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测(1)方法一：|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.例6设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.详解：方法二：设z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测点拨：解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：1.|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；2.利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决例6设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2.详解：(2)不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.

如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测(4)复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝.(1)复数的分类：复数z=a＋bi，a，b∈R)(2)复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.(3)复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；②复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量OZ＝(a，b).重难点突破知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（2）对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别