山东省滨州市2025-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

山东省滨州市2025-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题考试时间：90分钟 总分：150分 年级/班级：高三〔1〕班一、选择题〔每题5分，共20分〕要求：从四个选项中选出正确答案。1.设函数f(x)=ax^2+bx+c，假设f(x)在区间[-1,1]上单调递增，那么以下条件中正确的选项是〔〕A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c>02.假设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，S5=55，那么数列{an}的公差d为〔〕A.2B.3C.4D.53.知晓函数f(x)=x^3-3x+1，假设f'(x)=0，那么f(x)的极值点为〔〕A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-24.在等差数列{an}中，假设a1=1，d=2，那么数列{an}的通项公式为〔〕A.an=2n-1B.an=2n+1C.an=n^2D.an=n^35.知晓数列{an}满足an=3an-1-4an-2，且a1=2，a2=4，那么数列{an}的通项公式为〔〕A.an=3^n-1B.an=2*3^nC.an=3^n+1D.an=2*3^n-16.知晓函数f(x)=x^2-4x+3，假设函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，那么以下条件中正确的选项是〔〕A.a>0，b>0，c>0B.a>0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c>0D.a<0，b<0，c>0二、填空题〔每题5分，共20分〕要求：将正确答案填入空格中。1.假设函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在区间[-1,1]上单调递增，那么a、b、c、d之间的关系为__________。2.知晓等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a1=3，d=2，那么S10=__________。3.设函数f(x)=x^2+2x+1，假设f'(x)=0，那么f(x)的极值点为__________。4.在等差数列{an}中，假设a1=1，d=2，那么数列{an}的通项公式为__________。5.知晓数列{an}满足an=3an-1-4an-2，且a1=2，a2=4，那么数列{an}的通项公式为__________。6.知晓函数f(x)=x^2-4x+3，假设函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，那么以下条件中正确的选项是__________。三、解答题〔每题15分，共30分〕要求：解答以下各题。7.知晓函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的极值点和拐点。8.知晓等差数列{an}的前n项和为Sn，假设a1=5，d=3，求Sn的表达式。四、证明题〔每题15分，共30分〕要求：证明以下各题。9.证明：假设函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在区间[-1,1]上单调递增，那么a>0。10.证明：假设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，d=2，那么Sn=2n^2+n。五、计算题〔每题15分，共30分〕要求：准确计算以下各题。11.计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx$。12.计算极限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$。六、应用题〔每题15分，共30分〕要求：运用所学知识解决实际问题。13.一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，刹车后每秒减速2公里/小时，求汽车从开始刹车到停止所需的时间。14.某商品的原价为100元，经过两次折扣，第一次折扣率为20%，第二次折扣率为15%，求该商品最终的实际售价。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-1,1]上单调递增，那么导数f'(x)=2ax+b必须恒大于0，由于x^2的系数a为正，故a>0。由于在区间[-1,1]上导数恒大于0，所以b的取值不影响单调性，但为了保证f(x)在整个区间上单调递增，需要b<0，以保证在x=0时导数不为0，且c的取值不影响单调性。2.C解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，知晓a1=3，S5=55，代入公式得55=5(3+a5)/2，解得a5=7，由于等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3和a5=7，得d=2。3.A解析：求导得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得3x^2-3=0，解得x=±1。由于二次导数f''(x)=6x，在x=1时，f''(x)>0，所以x=1是极小值点；在x=-1时，f''(-1)<0，所以x=-1是极大值点。4.A解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=1和d=2，得an=2n-1。5.C解析：根据递推关系an=3an-1-4an-2，使用特征方程法解递推关系。特征方程为r^2-3r+4=0，解得r=2和r=2。因此通项公式为an=c1*2^n+c2*2^n，代入a1=2和a2=4，解得c1=2，c2=0，所以an=3^n+1。6.D解析：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，得x=2。在区间[0,2]上，当x<2时，f'(x)<0，所以f(x)在[0,2]上单调递减。二、填空题1.a>0，b≤0，c为任意实数。解析：函数在区间[-1,1]上单调递增，需要保证导数恒大于0，即2ax+b>0，由于a>0，所以b必须小于等于0，而c的取值不影响单调性。2.100解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3和d=2，得S10=10(3+2*9)/2=100。3.x=1解析：求导得f'(x)=2x+2，令f'(x)=0，得x=-1，这是极值点。4.an=2n-1解析：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=1和d=2，得an=2n-1。5.an=3^n+1解析：根据递推关系an=3an-1-4an-2，使用特征方程法解递推关系，得到通项公式an=3^n+1。6.a<0，b<0，c>0。解析：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，得x=2。在区间[0,2]上，当x<2时，f'(x)<0，所以f(x)在[0,2]上单调递减。三、解答题7.解析：求导得f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，得x=1和x=3。由于二次导数f''(x)=6x-12，在x=1时，f''(x)<0，所以x=1是极大值点；在x=3时，f''(3)>0，所以x=3是极小值点。计算f(1)=4和f(3)=-10，得到极大值为4，极小值为-10。8.解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，代入a1=5和d=3，得Sn=n(5+(5+3(n-1)))/2=3n^2+2n。四、证明题9.解析：由f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，求导得f'(x)=3ax^2+2bx+c。由于f(x)在区间[-1,1]上单调递增，f'(x)必须恒大于0。由于x^2的系数a为正，故a>0。10.解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，代入a1=1和d=2，得Sn=n(1+2n-1)/2=2n^2+n。五、计算题11.解析：直接计算定积分，得$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx=[x^4-x^3+2x^2]_0^1=1-1+2=2$。12.解析：由于$\lim_{x\to\infty}\sinx$不等于0，且$\lim_{x\to\infty}x=\infty$，根据极限的性质，$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。六、应用题13.解析：汽车减速至停止的时间为t秒，那么速度v(t)=60-2t。当v(t)=0时，得60-2t=0，解得t=30秒。汽车从开始刹车到停止所需的时间为30秒。14.解析：第一次折扣后的价格为100*0.8=80元，第二次折扣后的价格为80*0.85=68元，所以该商品最终的实际售价为68元。本次试卷答案如下：四、证明题9.解析：知晓函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在区间[-1,1]上单调递增，即f'(x)=3ax^2+2bx+c恒大于0。因为x^2的系数a为正，所以当x=0时，f'(x)=c必须大于0。考虑f'(x)的二次项，由于a>0，所以3ax^2在[-1,1]上恒大于0。因此，要使f'(x)恒大于0，线性项2bx也必须小于等于0〔否那么在x=0时，f'(x)将小于0〕。因此，a>0，b≤0，c为任意实数。10.解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，代入a1=1和d=2，得Sn=n(1+2n-1)/2=2n^2+n。这可以通过数学归纳法证明。首先，当n=1时，S1=1=2*1^2+1，命题成立。假设当n=k时命题成立，即Sk=2k^2+k，那么当n=k+1时，Sk+1=Sk+a(k+1)=2k^2+k+2(k+1)=2(k+1)^2+(k+1)，命题对n=k+1也成立。由归纳法，命题对所有正整数n成立。五、计算题11.解析：计算定积分$\int_0^1(2x^3-3x^2+4x)\,dx$，首先找到不定积分的原函数：$\int(2x^3-3x^2+4x)\,dx=\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2+C$。然后计算定积分的值：$\left[\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2\right]_0^1=\left(\frac{1}{2}-1+2\right)-(0-0+0)=\frac{3}{2}$。12.解析：计算极限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$，由于$\sinx$的值在-1和1之间波动，而x趋于无穷大，根据夹逼定理，$\frac{\sinx}{x}$的值将趋于0。因此，$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。六、应用题13.