江苏省扬州市梅岭教育集团2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题（解析版）

PAGE1初二素养体验活动数学学科（时间：120分钟）注意事项：1.本试卷共6页，三大题，满分150分，考试时间为120分钟．请用0.5mm黑色水笔做完整套试卷，画图必须用2B铅笔．2.请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置，填在试卷上无效．一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）1.下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是．【详解】解：A、该函数属于正比例函数，故本选项不合题意；B、该函数不属于反比例函数，故本选项不合题意；C、，该函数属于反比例函数，故本选项符合题意；D、函数属于正比例函数，故本选项不合题意；故选：C．2.下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的调价你，掌握二次根式被开方数大于等于0是解题关键．根据题意得出，即可求解．【详解】解：使二次根式在实数范围内有意义，即，解得：，只有D选项满足条件，故选：D3.下列计算结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A.根据同类二次根式定义解题；B.根据二次根式的乘法法则解题；C.根据同类二次根式定义解题；D.根据二次根式的除法法则解题．【详解】A.与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B.，故B错误；C.，故C错误；D.，故D正确，故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．5.如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可．【详解】解：∵，，∴．故A正确；∵，，∴．故B正确；∵，，∴．故D正确；没有条件可证，故C错误．故选：C6.把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件及二次根式的乘除，正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于，含分母的分母不为．根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【详解】解：成立，，即，原式，故选：D．7.反比例函数的图象经过点，则当时，函数值y的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数的图象上点的横纵坐标之积为常数；当时，图象分布在第一、第三象限，在每一象限，随的增大而减小；当时，图象分布在第二、第四象限，在每一象限，随的增大而增大．把代入反比例函数可得，而当时，，根据反比例图象分布在第二、第四象限，在每一象限，随的增大而增大，结合图象可知当时，．【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点，∴有，∴，∴反比例函数解析式为：，当时，，由图象可知：当时，，故选：B．8.如图，平行四边形的顶点在函数的图像上，边与轴交于点，轴于点．若的面积为8，则的值为（）A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】【分析】连接，先根据反比例函数系数的几何意义得到，再根据平行四边形的性质得到，利用三角形面积公式得到，然后利用得到．【详解】解：连接，，轴于点，，，四边形为平行四边形，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，也考查了平行四边形的性质．二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置．）9.在比例尺是1:20000的地图上，若某条道路长约为，则它的实际长度约为______．【答案】【解析】【分析】本题考查比例线段问题．解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．【详解】解：设它的实际长度约为，依题意得：，解得：，经检验：是原方程的解且符合题意，∵，∴它的实际长度约为．故答案为：．10.若反比例函数的图象在第一、三象限，则的值为__．【答案】4【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得的值是解题的关键．由题意得即可求解．【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限，，解得：或，，，．故答案为：4．11.若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为______．【答案】12【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程．根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为，确定，即可得出最短边长．【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7，∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7，设这个三角形三边为，∵与它相似的三角形的最长边为，∴，则，最短边长为，故答案为：12．12.已知m是的小数部分，则____．【答案】．【解析】【分析】先确定在哪两个整数之间，减去小的那个即可得到m的值，进而代入求解即可．【详解】∵23，∴m，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查无理数大小估计、实数混合运算，正确确定无理数的小数部分是解题关键．13.若点，是双曲线上的点，则__（填“”，“”或“”）．【答案】【解析】【分析】先判断出此函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可进行判断．【详解】解：双曲线中，此函数图象在一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，点、是此双曲线上的点，，、两点在第一象限，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．14.如果与的值互为相反数，那么的值为__________．【答案】##【解析】【分析】根据相反数的性质可得，根据二次根式的非负性可得，，代入所求代数式，利用二次根式的性质计算即可．【详解】解：与的值互为相反数，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查相反数、二次根式的非负性、二次根式的混合运算等，解题的关键是根据二次根式的非负性求出a，b的值．15.如图，在平面直角坐标系中，函数（）与的图像交于点，则代数式的值为______．【答案】【解析】【详解】解：∵函数（）与的图像交于点，∴，，∴，，∴，故答案为：16.在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是_________．【答案】或【解析】【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．【详解】根据题意：OA=2，OB=1，AB=，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作∵△ABC∽△OBA，

AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶，解得BC=5，∴OC=4，∴C点坐标为(4，0)，当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA，=，=5，此时C点坐标为(3，2)，综上所述，C点坐标为(4，0)或(3，2)，故答案为：（4，0）或（3，2）．【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．17.对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据的含义可得，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵，且a和b为两个连续正整数，，∴，∴．故答案为．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、立方根、实数的运算等知识点，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．18.如图，在x轴的上方作正方形，其对角线交点在第一象限，双曲线经过点P和点C，则的值是______．【答案】4【解析】【分析】过点A作轴于点D，于点E，于点F，由正方形的性质易证，得出，，，从而可证，得出，，进而可证为等腰直角三角形，得出，即得出，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出，整理即可求解．【详解】解：过点A作轴于点D，于点E，于点F，∴．∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，，．∵，∴，即．∵，∴，∴，．∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴，∴．∵双曲线经过点P和点C，∴，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题为反比例函数综合题，考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形等知识．正确作出辅助线是解题关键．三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置．）19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先计算零指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左往右依次计算，即可得到答案；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并即可得到答案．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．20.已知，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求：（1）与的函数关系式；（2）当时，的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与成正比例，与成反比例，设，当时，；当时，，分别代入解析式，解答即可．（2）根据函数值的定义，代入求解即可．本题考查了待定系数法，求函数值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【小问1详解】根据与成正比例，与成反比例，设，当时，；当时，，分别代入解析式，得，解得，故函数解析式为．【小问2详解】根据，当时，．21.已知，求：（1）的值；（2）的值．【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则求出ab，根据二次根式的减法法则求出，根据提公因式法把原式变形，代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案．【小问1详解】解：，，，，则；小问2详解】【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键．22.图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中的边上确定一点E，连接，使；（2）在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：（1）作于E，一个公共角以及另一组对应角为，即可作答；（2）作出，的中点，即可．【小问1详解】解：如图所示，点即为所求；【小问2详解】解：如图所示，点，点即为所求．23.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．（1）若，求与的值；（2）关于的不等式的解集为______；（3）连接，，若的面积为12，则的值为______．【答案】（1），（2）或（3）9【解析】【分析】（1）将代入即可得出结果；（2）根据函数图象得出结论；（3）先求出，再得到，运用等面积的方法便可求出的值.小问1详解】解：当时，将代入得，解得，∴反比例函数的表达式为．将代入得．∴，.【小问2详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，∴由图象可知，或，∴关于的不等式的解集为或.【小问3详解】解：∵点，在比例函数上，∴，即，∴，又∵点，在一次函数上，∴，解得，∴一次函数的解析式为，设一次函数与轴交于点，∴在中，当时，，∴，即∵的面积为12，∴，∴，∴，解得，∴，【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的知识，掌握性质是解题的关键.24.已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”.（1）与________________是关于1的一组“关联数”；（2）与______________是关于3的一组“关联数”；（3）若，，判断与是否为关于某整数的一组“关联数”，如果是，请说明理由，并求出这个整数．【答案】（1）4（2）（3）与是关于整数3的一组“关联数”；理由见解析【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，对新概念的理解，理解新概念是关键．（1）根据“关联数”的意义列式，即可求解；（2）根据“关联数”的意义列式，即可求解；（3）根据“关联数”的意义判断即可；【小问1详解】解：∵，∴，∴当时，，故答案：4；【小问2详解】解：∵，∴，∴当时，，故答案为：；【小问3详解】解：与是关于整数3的一组“关联数”；理由如下：∵，∴与是关于整数3的一组“关联数”．25.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．（1）求图中点A坐标；（2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．【答案】（1）20（2）能，理由见解析【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．【小问1详解】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，解得，反比例函数的解析式为，当时，，，，即对应的指标值为20；【小问2详解】解：设当时，的解析式为，将、代入得：，解得，的解析式为，当时，，解得，由（1）得反比例函数的解析式为，当时，，解得，时，注意力指标都不低于36，而，张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式．26.【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题：（1）初步思考：自变量的取值范围是；（2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第象限；（3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2．请仿照上述过程，求当时，的最大值．【答案】（1）（2）一、三（3）【解析】【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，判断反比例函数图象所过象限，以及配方法在最值问题中的应用．（1）根据函数解析式分母不为0即可求解；（2）根据当时，；当时，和象限坐标特点判断，即可解题；（3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解．【小问1详解】解：函数自变量的取值范围是，故答案为：．【小问2详解】解：当时，；当时，．该函数图像在第一、三象限．故答案为：一、三．【小问3详解】解：当时，，于是，当时，即时，的最大值是．27.阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．例如：化简．解：将分子、分母同乘以得：．类比应用：（1）化简：；（2）化简：．拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．（1）黄金矩形ABCD的长BC=；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）【解析】【分析】类比应用：（1）仿照题干中的过程进行计算；（2）仿照题干中的过程进行计算；拓展延伸：（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可；（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.【详解】解：类比应用：（1）根据题意可得：=；（2）根据题意可得：====2；拓展延伸：（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，若黄金矩形ABCD的宽AB=1，则黄金矩形ABCD的长BC===；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，∴FD=EC=AD-AF==，∴=，故矩形DCEF为黄金矩形；（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，∵AB=EF=1，AD=，∴AE=，在△AED中，S△AED=，即，则，解得DG=，∴点D到线段AE的距离为.【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识．28.《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探