三年级奥数-周期问题（剖析版）

第09讲周期问题

教学目标篌

引学会对一个周期问题进行分析、推理；

/利用我们的规律来解决一些较简单的问题；

a通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、

勇于探索的意志品质。

知识梳理

一

一、周期问题

在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏

秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中曾碰到的有一定周期的问题，我们称为

简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。

二、解题策略

在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就

是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。

典例分析“

考点一：一般周期问题

例1、小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列

（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？

••C•••••：•••……

【解析】从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周

期。324-6=5（组）……2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是

重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。

例2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是

什么。

（1）……

（2）..........

【解析】第（1）题排列规律是“口△”两个图形重复出现，204-2=10,即“口△”重复出现

10次，所以第20个图形是第（2）题的排列规律是“口△△”三个图形重复出现，20-

3=6-2,即“口△△”重复出现6次后又出现了两个图形“口△”，所以第20个图形是

例3、100个3相乘，积的个位数字是几？

【解析】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积的

个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的

个位数字是3……可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积

的个位数字为一周期。100+4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中

的最后一个，即是1。

例4、有一列数按M432791864327918643279186……”排列,那么前54个数字之和是多少?

【解析】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。

要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”.

544-8=6（组）6（个）

因此，前6组数字和是（4+3+2+7+9+1+8+6）X6=240,余下6个数字之和是4+

3+2+7+9+1=26。所以，这列数中前54个数字之和是240+26=266。

例5、小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页

文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页？

【解析】已知这本童话书3页插图前后各有1页文字，也就是说这本书是按“1页文字3页

插图”的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期，128页中含有128+（1+

3）=32个周期，所以这本童话书共有插图3X32=96页。

考点二：较复杂周期问题

例1、有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？

【解析】（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排

列,那么一个循环就是4个数,则129+4=32—1,可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。

所以第129个数是5o（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17,所以，这129个数相加的和是

17X32+5=549。

例2、假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字

母下面？

ABCD

1234

5678

9・・・

【解析】从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们可以根据这

些数除以4所得的余数来分析。

39+4=9…388+4=22

所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母

D下面。

例3、1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）

1994年1月1日是星期几？

【解析】（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算

尾不算头”的方法。（22—1）4-7=3,没有余数，该月22日仍是星期二；（28—1）・7二3…

6,从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。

（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日至I]1994年1月1日共1096

天，1096+7=156…4,从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。

例4、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代

表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年属鸡

年，那么公元2001年属什么年？

【解析】一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、

牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001年共经历了

2000年（算头不算尾），2000・12=166…8,从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年。

【解析】每3个人循环一次，依次按照女生，男生，男生的顺序循环排列，36+3=12,

所以36人一共有12个循环周期；一共有男生：12X2=24（人）。

7、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代

表年号。

（1）如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？

（2）如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？

（3）公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？

【解析】（1）龙年；（2）2000是龙年，第一个虎年是2010年；（3）狗年。

8、有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），22、59、

2001各在哪一条线上？

【解析】用22,59,2001,分别除3,22除3余1,所以和1在一条线上,59余2所以和2在一条

线上,2001刚好除尽,所以和3在一条线上,所以是a,b,co

＞课后反击

1、把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗?

PPP冲冲冲冲……

【解析】27+2=29。

2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112

只呢？

【解析】9个一组，一共7组。所以第63个是蓝色的。

3、2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？

【解析】2001年6月1日到9月1日有92天，92除以7余数是1,9月1日是星期六。

4、50个7相乘，积的个位数字是几？

【解析】7的一次方尾数是7,二次方尾数是9,三次方尾数是3,四次方是1,五次方是7,

然后再是9,

依次循环50个7相乘，应该是7的50次方，个位数字应该是9

5、有一列数“7231652316523165……”，请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第

2个与第25个数字）所有数字的和是多少？

【解析】7231652316523165,2+3+1+6+5=17,17X5=85从左起第2个数字到第25个数字

之间所有数字的和是85-5=80。第二个数是2,第25个数是6。

6、一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。

花埔周围共插了多少面黄旗？

【解析】30・3X2=10X2=20（面）。

7、河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下

去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？

【解析】1+2+3=6,每6棵一轮回,96共可有16个回次，100-96=4,余下的是1+2+1,就是1棵蟠

桃,2棵水蜜桃，1棵大青桃，16+1=17,16X2+2=34,16X3+1=49,有17棵蟠桃,34棵水蜜桃,49

棵大青桃,第100棵是大青桃

8、2001个学生按下列方法编号排成五列:

一二二四五

12345

9876

10111213

17161514

问：最后一个学生应该排在第几列？

【解析】根据给出的排列方式找出一下规律：1.奇数行的最后一个数字是（该奇数*4+1）得到；

2.偶数行的第一个数字是（该偶数*4+1）得到；而2001=500*4+1。500为偶数，根据规律就可

以得到2001是在第500行的第一列

直击赛场

A

1、・表示实心圆，O表示空心圆，若干个实心圆与空心圆