第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组（知识归纳+题型突破）（原卷版）（北师大版）

第2章一元一次不等式和一元一次不等式组（知识归纳+题型突破）1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．要点：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标.求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标.求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.目录：题型一不等式的定义题型二不等式的基本性质题型三不等式的解集题型四一元一次不等式（组）的解法题型五一元一次不等式（组）的解法题型六一元一次不等式（组）的应用（整数解、求参数等）题型七一元一次不等式与一次函数题型八一元一次不等式（组）的实际应用题型九一元一次不等式（组）解答题综合题题型一不等式的定义【例题】1．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5巩固训练：2．如图所示，表示三人体重，，的大小关系正确的是（

）

A． B． C． D．3．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克B．每100克内含钙不低于150毫克C．每100克内含钙高于150毫克D．每100克内含钙不超过150毫克题型二不等式的基本性质【例题】4．由m＞n，可得（

）A．mc2＞nc2 B．m2＞n2C． D．m－2021＜n－2021巩固训练：5．下列说法正确的是（

）A．若ac＞bc，则a＞bB．若a＞b，则a（m－n）＞b（m－n）C．若，则a＞bD．若a＞0，b＞0，且，则a＞b6．如果，那么下列结论一定正确的是（

）．A． B． C． D．7．已知x＞y，xy＜0，a为任意有理数，下列式子一定正确的是（

）A．－x＞－y B．a2x＞a2yC．－x＋a＜－y＋a D．x＞－y题型三不等式的解集【例题】下列解集中，包括2的是（

）A． B． C． D．巩固训练：9．如果关于的不等式的解集为，则的值是（

）A． B． C． D．10．下列说法错误的是（

）A．不等式的解是3 B．3是不等式的解C．不等式的解集是 D．是不等式的解集11．下列说法中，正确的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个题型四一元一次不等式（组）的解法【例题】．12．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个巩固训练：13．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝．14．下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（

）①；②；③；④；⑤A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个题型五一元一次不等式（组）的解法【例题】．不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集：(1)的与5的和大于6；(2)的3倍与2的差不小于4．巩固训练：17．解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)；(2)．18．解不等式组下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：解：解不等式①，得

第1步合并同类项，得

第2步两边都除以，得

第3步任务一：该同学的解答过程中第步出现了错误，这一步的依据是，不等式①的正确解是．任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．19．解下列一元一次不等式（组）：(1)(2)．20．解下列不等式组：(1)(2)题型六一元一次不等式（组）的应用（整数解、求参数等）【例题】．21．已知关于x的不等式x＞的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为．巩固训练：22．若关于x的不等式仅有的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是．23．不等式的正整数解是．24．已知不等式组的解集中共有3个整数，则的取值范围是：．25．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为负整数，则点的坐标为．26．已知关于x、y的方程组的解满足，求m的取值范围．27．一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为．题型七一元一次不等式与一次函数【例题】．28．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为．巩固训练：29．如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集为．30．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（）A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同C．不等式组的解集是 D．方程组的解是题型八一元一次不等式（组）的实际应用【例题】．31．2022年某地区空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到，如果2023年（365天）这样的比值要超过，那么2023年空气质量良好的天数比去年至少要增加的天数是（

）A．34 B．35 C．36 D．37巩固训练：32．小明要从甲地到乙地，两地相距．已知他步行的平均速度为，跑步的平均速度为．若他要在不超过的时间内从甲地到达乙地，则至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步，则列出的不等式为（

）A． B．C． D．33．疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为：．34．小明沿着某公园的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示，当小明跑了2圈时，他的运动里程数（填“”“＝”或“”）；如果小明跑到时恰好回到起点，那么此时小明总共跑的圈数为．

题型九一元一次不等式（组）解答题综合题【例题】．35．根据下列数量关系列出不等式：(1)x的6倍减去2是负数．(2)的与的和不大于0．(3)正数与2的和的算术平方根大于等于1．巩固训练：36．解下列不等式（组）：(1)；(2)；(3)．37．已知关于x的不等式组的解集为，求的值．38．近年来国家教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，蓝山县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个某种篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．(1)篮球、足球的单价各是多少元；(2)根据学校的实