2025年高考数学复习新题速递之平面向量及其应用（2025年4月）

第29页（共29页）2025年高考数学复习新题速递之平面向量及其应用（2025年4月）一．选择题（共8小题）1．（2025•湖南模拟）已知平面向量a→=(-3A．1 B．3 C．-3 D．﹣2．（2025•昌黎县校级模拟）设P（4，﹣2），AB为圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的直径，则PA→A．4 B．21 C．25 D．293．（2025•昌黎县校级模拟）已知平面向量a→=（1，0），b→=（2，x），若b→A．﹣1 B．0 C．1 D．24．（2025•河南校级二模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→A．-12 B．12 C．2 5．（2025•海东市模拟）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（2，x）．若a→∥bA．23 B．25 C．42 6．（2025•海南模拟）已知a→，b→是单位向量，若A．22 B．263 C．8 7．（2025•昌黎县校级模拟）已知△ABC的面积为63，A＝60°，AB＝3，B的内角平分线交边AC于点D，则ADA．125 B．72 C．285 8．（2025春•耒阳市月考）AB→A．0→ B．2AD→ C．2AB二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•辽宁二模）在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AB→•AD→=-1，E为CD的中点，AFA．cos∠DAB=-1C．|BF→|=2153（多选）10．（2025春•耒阳市月考）已知向量m→和a→，b→A．a→=(1，3)，C．a→=(-3，2)（多选）11．（2025春•广河县月考）下列说法中不正确的是（）A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．零向量是最小的向量 C．若AB→+BC→+CA→=D．单位向量都相等（多选）12．（2024秋•朝阳期末）下列关于平面向量的说法错误的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→三．填空题（共4小题）13．（2025•河北区一模）如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝2，点P，Q分别在边BC，CD上．若BP→=PC→，CQ→=2QD→，则用AB→和AD→表示PQ→=14．（2025•浦东新区模拟）如图，某建筑物OP垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为45°，已知A、B相距100米，∠AOB＝60°，则该建筑物OP高度约为米．（保留一位小数）15．（2025春•福州校级月考）在ΔABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝3，则△ABC外接圆面积为．16．（2025•新疆模拟）在△ABC中，|BA→+BC→|=4，|AC→+四．解答题（共4小题）17．（2025•临汾二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝t+1，b＝2t﹣1，c＝2t+1．（1）若4sinB＝5sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数t，使得△ABC为锐角三角形？若存在，求出t的最小值；若不存在，说明理由．18．（2025•海南模拟）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面积为43，D为AC①求△ABC的周长；②求BD的长．19．（2025•宁波校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C=（1）若△ABC的面积等于3，求△ABC的周长；（2）若sinB＝2sinA，求cos（B﹣A）．20．（2025•宁波校级模拟）设a→，b（1）若OA→=4a→-2b（2）若4a→+12

2025年高考数学复习新题速递之平面向量及其应用（2025年4月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DBBCBBAB二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDACBCDACD一．选择题（共8小题）1．（2025•湖南模拟）已知平面向量a→=(-3A．1 B．3 C．-3 D．﹣【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】D【分析】利用数量积的坐标运算即可求得．【解答】解：平面向量a→则(a故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．2．（2025•昌黎县校级模拟）设P（4，﹣2），AB为圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的直径，则PA→A．4 B．21 C．25 D．29【考点】平面向量数量积的坐标运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用向量的线性运算将数量积转化成|PC|与|CA|的长度关系再求解．【解答】解：根据题意知C（1，2），半径为2，PA→∴PA→⋅PB→=PC故选：B．【点评】本题考查了向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量的数量积运算，是基础题．3．（2025•昌黎县校级模拟）已知平面向量a→=（1，0），b→=（2，x），若b→A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】先求a→【解答】解：由平面向量a→=（1，0），b→=（2，由b→∥（a→-b→），得﹣x＝﹣2x故选：B．【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．4．（2025•河南校级二模）已知向量a→=（1，m），b→=（2，﹣1），且a→A．-12 B．12 C．2 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】对应思想；转化法；平面向量及应用．【答案】C【分析】直接由平面向量数量积的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：a→=（1，m），b→=（若a→⊥b→，则2﹣m＝0，解得：m＝故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，是基础的计算题．5．（2025•海东市模拟）已知向量a→=（﹣1，2），b→=（2，x）．若a→∥bA．23 B．25 C．42 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．【解答】解：向量a→=（﹣1，2），b→=（2，x）．则﹣x＝4，解得x＝﹣4，故|b故选：B．【点评】本题主要考查向量共线的性质，以及向量模公式，属于基础题．6．（2025•海南模拟）已知a→，b→是单位向量，若A．22 B．263 C．8 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据a→⊥(a→+3【解答】解：a→⊥(a→+3∴a→⋅b故选：B．【点评】本题主要考查向量数量积的运算，向量模的运算，考查运算求解能力，属于基础题．7．（2025•昌黎县校级模拟）已知△ABC的面积为63，A＝60°，AB＝3，B的内角平分线交边AC于点D，则ADA．125 B．72 C．285 【考点】解三角形．【专题】整体思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】A【分析】由三角形的面积公式求出AC，再由余弦定理求出BC，得到两三角形的面积比S△ABDS△【解答】解：因为△ABC的面积为63，A＝60°，AB＝3S△ABC=12AB×ACsinA=12×3×AC×32由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB×ACcos∠A＝9+64﹣2×3×8cos60°＝49，得BC＝7，因为BD平分∠ABC，所以由角平分线的性质可得ADCD即ADAC-AD=ABBC故选：A．【点评】本题考查余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．8．（2025春•耒阳市月考）AB→A．0→ B．2AD→ C．2AB【考点】平面向量的加法．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据平面向量的加法运算及数乘运算可得结果．【解答】解：由向量的加法运算法则可知，AB→故选：B．【点评】本题主要考查向量的运算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•辽宁二模）在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AB→•AD→=-1，E为CD的中点，AFA．cos∠DAB=-1C．|BF→|=2153【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】利用给定条件，利用向量的基底表示及数量积的运算律逐项求解判断．【解答】解：对于A，cos∠DAB=对于B，AF→=23AE对于C，|BF→|=对于D，AF=2则AF⊥BF，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查向量的线性运算，属于中档题．（多选）10．（2025春•耒阳市月考）已知向量m→和a→，b→A．a→=(1，3)，C．a→=(-3，2)【考点】平面向量数乘和线性运算的坐标运算．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】AC【分析】根据条件可得a→，【解答】解：向量m→和a→，则a→，A．∵1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，∴a→，b→B．∵a→=(2，-4)，bC．∵﹣3×2﹣2×3＝﹣12≠0，∴a→，b→D．∵a→=(0，2)，b→故选：AC．【点评】本题主要考查向量共线的性质，是基础题．（多选）11．（2025春•广河县月考）下列说法中不正确的是（）A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．零向量是最小的向量 C．若AB→+BC→+CA→=D．单位向量都相等【考点】平面向量的相等与共线；平面向量的概念与几何表示．【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】根据共线向量，零向量，单位向量的定义即可求解．【解答】解：方向相反的向量一定共线，A正确，向量没有大小，零向量是模长最小的向量，故B错误，AB→+BC→+CA→=0→，则A，B，由单位向量的定义可知，单位向量是长度为1的向量，但方向不一定相同，故D错误．故选：BCD．【点评】本题主要考查向量的概念，属于基础题．（多选）12．（2024秋•朝阳期末）下列关于平面向量的说法错误的是（）A．若a→，bB．若a→=bC．若a→≠b→D．若a→∥b→【考点】平面向量的平行向量（共线向量）．【专题】对应思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ACD【分析】根据相等向量与共线向量的概念可判定A、B、C；由向量共线定理可判定D．【解答】解：若a→，b→是共线的单位向量，则a→两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；若a→≠b此时a→，b若a→∥b→，如则不存在实数λ，使得a→=λ故选：ACD．【点评】本题考查平行向量与相等向量的概念，属基础题．三．填空题（共4小题）13．（2025•河北区一模）如图，已知矩形ABCD的边AB＝3，AD＝2，点P，Q分别在边BC，CD上．若BP→=PC→，CQ→=2QD→，则用AB→和AD→表示PQ→=-2【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】-23AB【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用AB→和AD→表示PQ→，若∠BAP＝θ∈（0，φ]且tanφ=23，【解答】解：由BP→=PC→，CQ→由PQ→若∠BAP＝θ∈（0，π]且tanφ=23则∠DAQ=π4-所以AP=6而2θ+π4∈(所以AP→⋅AQ故答案为：-23AB【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．14．（2025•浦东新区模拟）如图，某建筑物OP垂直于地面，从地面点A处测得建筑物顶部P的仰角为30°，从地面点B处测得建筑物顶部P的仰角为45°，已知A、B相距100米，∠AOB＝60°，则该建筑物OP高度约为66.4米．（保留一位小数）【考点】解三角形．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．【答案】66.4．【分析】先在Rt△AOP和Rt△BOP中，根据仰角分别用建筑物高度OP表示出OA和OB，然后在△AOB中利用余弦定理建立关于OP的方程，最后求解方程得到OP的值．【解答】解：由题意可得，在Rt△AOP中，∠PAO＝30°，因为tan∠PAO=在Rt△BOP中，∠PBO＝45°，因为tan∠PBO=OPOB，且tan45°＝1在△AOB中，AB＝100米，∠AOB＝60°，根据余弦定理AB2＝OA2+OB2﹣2•OA•OB•cos∠AOB，1002=(可得OP则OP=故答案为：66.4．【点评】本题主要考查了锐角三角函数定义，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．15．（2025春•福州校级月考）在ΔABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝3，则△ABC外接圆面积为7π3【考点】正弦定理与三角形的外接圆．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】73【分析】先根据余弦定理求出BC的长度，再利用正弦定理求出△ABC外接圆半径R，最后根据圆的面积公式求出外接圆面积．【解答】解：由题可得：BC因为BC为三角形的边长，所以BC=由正弦定理可得：2R=7根据圆的面积公式，将R=213故答案为：7π【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．16．（2025•新疆模拟）在△ABC中，|BA→+BC→|=4，|AC→+【考点】三角形中的几何计算．【专题】数形结合；转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】43【分析】先把向量转化成三角形的有关性质，再求三角形面积的最大值．【解答】解：如图：取BC、AC的中点E、D，连接BD、AE，交于点G．则BA→+BC因为|BA→+BC→|=4，|AC→+又G为△ABC的重心，所以GAGE设四边形ABED的面积为S，则S△ABC-设∠AGB＝θ，则S=12⋅AE⋅BD⋅sinθ此时△ABC的面积也取得最大值43故答案为：43【点评】本题考查了平面向量的线性运算及三角形的面积计算，考查了转化思想及数形结合思想，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2025•临汾二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝t+1，b＝2t﹣1，c＝2t+1．（1）若4sinB＝5sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数t，使得△ABC为锐角三角形？若存在，求出t的最小值；若不存在，说明理由．【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）46（2）存在，6．【分析】（1）根据正弦定理边角互化得4b＝5a，即可求解a＝4，b＝5，c＝7，根据余弦定理求解cosB=（2）根据余弦定理即可求解．【解答】解：（1）由4sinB＝5sinA，由正弦定理得：4b＝5a，又因为a＝t+1，b＝2t﹣1，所以4（2t﹣1）＝5（t+1），解得t＝3，所以a＝4，b＝5，c＝7，由余弦定理得：cosC=a由于C∈（0，π），所以sinC=1-所以S△ABC=12absinC=12×4×5×sinC=12（2）由t＞0，a＝t+1，b＝2t﹣1，c＝2t+1可知，c＞b＞a，要使得△ABC为锐角三角形，则使角C为锐角即可，即cosC＞0，由三角形的性质可得a+b＞c，即t+1+2t﹣1＞2t+1，即t＞1，由余弦定理得cosC=则t2﹣6t+1＞0，解得t＞3+22结合t＞1，故t＞因为t为正整数，所以t的最小值为6．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．18．（2025•海南模拟）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面积为43，D为AC①求△ABC的周长；②求BD的长．【考点】解三角形．【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角B；（2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得a＝c＝4，可得△ABC为等边三角形，进而求得周长；②根据余弦定理求BD．【解答】解：（1）由bcosC+根据正弦定理得，sinBcosC+则sinBcosC+则sinBcosC+则3sinBsinC因为C∈（0，π），所以sinC≠0，则3sinB-cosB即sin(B-π6)=12则B-π6（2）①因为S△ABC=12由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2accosB，则16＝a2+c2﹣ac，即a2+c2＝32，所以a＝c＝4，即△ABC为等边三角形，则△ABC的周长为a+b+c＝12；②由AC→=3AD在△ABD中，由余弦定理得，BD所以BD=【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．19．（2025•宁波校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c＝2，C=（1）若△ABC的面积等于3，求△ABC的周长；（2）若sinB＝2sinA，求cos（B﹣A）．【考点】解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．【答案】（1）6；（2）12【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式求得a+b，结合已知条件即可求得三角形周长；（2）根据已知条件求得b＝2a，结合余弦定理求得a，b，再根据正弦定理求得A，进而解得B，再求cos（B﹣A）即可．【解答】解：（1）c＝2，C=由余弦定理得：cosC=a整理得：a2+b2﹣ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC=3，得则（a+b）2﹣3×4＝4，解得a+b＝﹣4（舍去）或a+b＝4，所以△ABC的周长为a+b+c＝4+2＝6；（2）因为sinB＝2sinA，由正弦定理得：b＝2a，联立方程组a2+b2-ab=4解得a=-2则b=由正弦定理可得asinA=c又因为a＜c，所以A＜C，即A∈(0，π3cos（B﹣A）=cos【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．20．（2025•宁波校级模拟）设a→，b（1）若OA→=4a→-2b（2）若4a→+12【考点】平面向量的相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可；（2）由共线性质求出参数即可．【解答】（1）证明：由OA→得AB→=OB则BC→=-2AB→，所以所以A，B，C三点共线；（2）解：由题意，4a→+则存在实数λ，使得4a即(4-又a→，b因此4-12λk=0故实数k的值是±4．【点评】本题考查平面向量的线性运算及向量共线定理，属基础题．

考点卡片1．平面向量的概念与几何表示【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|【解题方法点拨】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示．【命题方向】﹣向量的几何表示：考查如何用有向线段表示向量．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？解：如图所示，由题意得，AD→=MNAM→=MBAN→=MCBN→=MDAB→=DC→，故相等向量有再加上它们的方向相反的向量也有12对，所以总共有24对．故答案为：24．2．平面向量的相等与共线【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．3．平面向量的平行向量（共线向量）【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE→解：平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，所以图中与AE→平行的向量有EB→，DF→，FC4．平面向量的加法【知识点的认识】向量的加法运算求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量叫做a特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）（3）向量的加法性质①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）5．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=ab即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．6．平面向量数乘和线性运算的坐标运算【知识点的认识】﹣数乘：对向量a→=(a1，﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．【解题方法点拨】﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果．﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题．【命题方向】﹣向量运算的应用：考查如何使用数乘和线性运算解决实际问题，如图形变换等．﹣线性运算技巧：掌握数乘和线性运算的技巧，提高计算效率．已知平面向量a→，b→，a→=（1，2），b→=（0，1），求解：a→∴|a7．平面向量数量积的坐标运算【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→⋅b→=|a→||b→|cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为注意：①a→⋅b→②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|cos（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b8．平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的认识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x19．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1【解题方法点拨】例：与向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵(-35，45)•（3，﹣4）=对于B：∵(-35，45)•（﹣4，3对于C：∵(-35，45)•（4，3对于D：∵(-35，45)•（4，﹣3故选：C．点评：分别求出向量(-35，45)和A，B，C【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．10．正弦定理与三角形的外接圆【知识点的认识】1．正弦定理定理正弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角﹣【解题方法点拨】asinA=（R是△ABC外接圆半径）【命题方向】﹣外接圆的计算：考查如何利用正弦定理计算外接圆的半径．﹣几何性质应用：在几何问题中应用正弦定理分析外接圆的相关性质．在△ABC中，若a＝3，cosA=32，则△ABC解：由于cosA=3且0＜A＜π，故A=π利用正弦定理2R解得R＝3．11．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S=12a•ha（ha表示边②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面