第22单元01讲（原卷版）

第二十二单元二次函数考点1二次函数的概念1.二次函数的概念：一般的，形如(是常数，)的函数叫做二次函数．其中______是自变量，分别是函数解析式的_______、_________、常数项．（2）二次函数解析式考点2二次函数的图象及性质2.二次函数的图象是一条_________．当时，抛物线开口向____；当时，抛物线开口向_________．越大，抛物线的开口越______；越小，抛物线的开口越______．3.、、、、的图象及性质对称轴轴轴顶点时，顶点是最低点，此时y有最____值；时，顶点是最高点，此时y有最____值．最小值(或最大值)为0或或．增减性(或)时，随的增大而____；(或)时，随的增大而_________．即在对称轴的左边，随的增大而______；在对称轴的右边，随的增大而_______．(或)时，随的增大而______；(或)时，随的增大而_________．即在对称轴的左边，随的增大而_______；在对称轴的右边，随的增大而________．考点3二次函数的平移1．二次函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的规律．（1）二次函数的图象左右平移时，自变量加上（左移）或减去（右移）平移的单位，注意要加小括号；（2）二次函数的图象上下平移时，解析式的后面加上（上移）或减去（下移）平移的单位2．任意抛物线可以由抛物线经过平移得到，具体平移方法如下：考点4待定系数法求二次函数解析式1．选择恰当的解析式已知条件选择设定的解析式顶点坐标或对称轴顶点式：；与坐标轴的两个交点的横坐标交点式：；抛物线上任意三个点的坐标一般式：；2．把点的坐标代入建立方程，解方程，再写出二次函数的解析式；考点5二次函数与一元二次方程之间的关系4.对于二次函数（），如果其图象与轴有交点，那么交点的纵坐标等于零，于是交点的横坐标就是对应的一元二次方程的实数根．因此，二次函数的图象与轴的相交情况，可以转化为二次方程实数根的情况．而一元二次方程实数根的情况取决于根的判别式，故我们可以用根的判别式来判断二次函数的图象与轴的相交情况，具体如下：（1）当时，抛物线（）与轴有___________，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有________________的实数根；（2）当时，抛物线（）与轴_____，反过来亦成立，此时一元二次方程（）有_________的实数根；（3）当时，抛物线（）与轴_____交点，反过来亦成立，此时一元二次方程（）________实数根．因此，二次函数与轴有交点的条件是．考点6二次函数与不等式（组）1．二次函数(是常数，)与不等式的关系（1）函数值与某个数值之间的不等关系，一般要转化成关于的不等式，解不等式求得自变量的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．2．当时（1）当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；（2）当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．考点7二次函数的应用1．根据实际问题列二次函数关系式（1）根据实际问题确定二次函数关系式的关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．（1）描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．（2）函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．2．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）系数与图象的关系决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．（2）系数与图象的有关系的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”（3）系数与图象的有关系决定了抛物线与轴交点的位置系数与图象的关系系数字母的符号图象的特征开口向上开口向下对称轴为轴(与同号)对称轴在轴左侧(与异号)对称轴在轴右侧经过原点与轴正半轴相交与轴负半轴相交【例题】5.如图，已知二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A. B. C. D.6.函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B. C. D.7.某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（）①；②；③；④．A.个 B.个 C.个 D.个8.如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①．②．③．④．⑤．其中，结论正确的个数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【练经典】9.在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（）A. B. C. D.10.在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是()A. B. C. D.11.如图，抛物线的图象过点和，则的取值范围是（）A. B.C. D.12.二次函数的图象如图所示，则下列各式正确的是（）A. B. C. D.13.如图，直线是二次函数的图象的对称轴，则下列结论：；；；，正确的是（）A. B. C. D.14.抛物线与x轴交于点，对称轴为．下列结论：①②③，其中正确的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.0比较函数值的大小（1）计算法已知二次函数的解析式和点的横坐标（自变量），通过计算点的纵坐标（函数值）来比较大小；（2）性质法函数图象图象的性质时，y随x的增大而减小时，y随x的增大而增大时，y随x的增大而增大时，y随x的增大而减小横坐标（自变量）的大小纵坐标（函数值）的大小（3）对称法如果几个点没有在对称轴的同侧，可以利用抛物线的对称性，找出不在同侧的点的对称点，再利用同侧点的比较方法进行比较；也可以用离对称轴的距离的大小关系来比较；函数图象图象的性质到对称的距离越小，函数值也越小到对称的距离越小，函数值越大点到对称轴的距离的大小纵坐标（函数值）的大小【例题】15.抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.16.若二次函数的图象经过点，当自变量分别取时，对应的函数值分别为，则下列说法一定正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则17.若二次函数的解析式为．若函数图象过点和点，则q的取值范围是（）A. B. C. D.18.已知二次函数，点是其图象上两点，下列判断正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【练经典】19.已知，点都在函数的图象上，则()A. B. C. D.20.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.21.若二次函数的图象经过三个不同的点，，，则下列选项正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则22.在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）（1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）；（2）如果点，都在该抛物线上，且，求的取值范围．二次函数图象的变换（1）二次函数图象的平移顶点坐标函数解析式规律原函数向左平移个单位即左减向右平移个单位即右加向上平移个单位上加向下平移个单位下减斜向平移，先分解成水平方向和竖直方向的平移量，再按“上加下减，左减右加”的规律确定平移后的解析式．（2）二次函数图象的对称开口方向是否改变顶点坐标函数解析式规律原函数关于轴对称相反即不变，变为相反数关于轴对称相同即变为相反数，不变关于原点对称相反即变为相反数，变为相反数【例题】23.将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A. B.C. D.24.把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的解析式为______．25.抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是______________；26.将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是___________．27.将抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式是__________；【练经典】28.将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得图像的函数解析式是（）A. B.C. D.29.函数的图象可由函数的图象沿x轴向_______平移_______个单位，再沿y轴向_______平移_______个单位得到．30.抛物线沿直线斜向下平移个单位长度，得到新抛物线的解析式是_______________________；31.将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是___________；32.怎样平移抛物线，才能使它经过点和两点？二次函数的最值（1）当顶点的横坐标在自变量的取值范围之内时，函数的最值在顶点处取得：顶点坐标为，最值为，取得最值的条件为．（2）二次函数在给定区间上的最值．当顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，函数的最值并不在顶点处取得．对，（），时，当，则时，取得最小值；时，取得最大值当，则时，取得最大值；时，取得最小值当时，时，取得最小值，时，取最大值当时，，取得最小值，时，取得最大值时，同样进行分类讨论．【例题】33.已知点在二次函数的图象上，则的最小值为（）A.－8 B.8 C.－9 D.934.已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（）A.当时，函数的最大值是9． B.当时，函数的最大值是9．C.当时，函数的最小值是． D.当时，函数的最小值是．35.二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（）A. B. C. D.36.对于二次函数，已知，当时，有下列说法：①若y的最大值为，则；②若y的最小值为，则；③若，则y的最大值为．则上达说法（）A.只有①正确 B.只有②正确 C.只有③正确 D.均不正确【练经典】37.抛物线的最大值为（）A.4 B. C.5 D.38.当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（）A.或5 B.0或6 C.或6 D.0或539.已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法项正确的是（）A.若，函数有最大值5 B.若，函数有最小值5C.若，函数有最小值1 D.若，函数无最大值40.在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线于，两点，已知，且，则下列说法正确的是（）A.当且时，有最小值 B.当且时，有最大值C.当且时，有最小值 D.当且时，有最大值二次函数与方程和不等式的关系1．抛物线与轴交点情况与一元二次方程的根的关系判别式情况二次函数()与轴的交点一元二次方程的实数根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根2．利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．3．二次函数与不等式的关系不等式函数值的范围图象和解集轴上方的函数图象，这部分图象在轴上对应的范围就是不等式的解集轴下方的函数图象，这部分图象在轴上对应的范围就是不等式的解集【例题】41.根据下列表格的对应值，判断方程．（，、、为常数）一个解的范围是（）xA. B. C. D.42.关于x的二次函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为（）A.5 B.2 C.1 D.1或543.已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为()A. B. C.或 D.或44.方程有两实根，，且满足，那么k的取值范围是（）A. B. C. D.45.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是___________．46.已知二次函数（为常数，）．（1）求证：无论取任何实数时，函数与轴总有交点；（2）若为正整数，且函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数．①已知，是该函数图象上的两点，且，求实数的取值范围；②将抛物线向右平移个单位，与轴的两个交点分别为，，若，请结合图象直接写出的取值范围．【练经典】47.已知二次函数的部分与的值如下表：…124……0…根据表格可知，一元二次方程的解是（）A.， B.，C.， D.，48.已知点，，且，在抛物线：上，则抛物线与坐标轴的交点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.349.如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点．以下结论中错误的是（）A.B.关于的方程有两个解是C.若，则D.关于的不等式的解集是50.如果关于x的不等式组有解，且关于x的二次函数的图象与x轴有交点，那么满足条件的所有整数a的和为___________．51.如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为________．52.已知二次函数的图像顶点坐标是．（1）________，________；（2）点，点在函数图像上，且，比较与大小；（3）若该二次函数的图像与一次函数的图像有2个公共点，结合图像，直接写出的取值范围．二次函数的应用1．应用二次函数解决实际问题的一般思路理解题意→建立二次函数模型→解决题目提出的问题．2．主要的函数应用问题中的建模技巧应用类型建模技巧确定自变量确定函数确定关系营销问题价格（或数量）总利润总利润=单位利润×数量抛物线型问题横轴代表的量纵轴代表的量用待定系数法求解析式图形问题某一变化的线段图形的面积（或体积）面积公式或体积公式动点问题动点的横坐标与动点相关的线段的长或相关图形的周长与面积利用函数解析式表示动点的纵坐标，再用坐标表示变化的线段的长度，进而表示相关图形的周长和面积【例题】53.如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（）A. B.C. D.54.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（）A. B.8 C. D.55.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：01230则该运动员踢出的足球在第__________落地．56.有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）．（1）设天后每千克蟹市场价为元，写出关于的函数关系式．（2）如果放养天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为元，写出关于的函数关系式．（3）该经销商将这批㙰放养多少天后出售，可获最大利润？最大利润是多少？57.天桥中幡是第一批被正式列入非遗名录的杂技艺术，2023年的春晚舞台上，中幡杂技表演《龙跃神州》成为一大亮点，其中有一个环节，若干个杂技演员等距排成一列，由第一位杂技演员将中幡向后高高抛出，最后一位杂技演员用头部接住中幡，中幡底部在空中运动的路线可以看作是抛物线的一部分．以第一位杂技演员的立足点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，中幡从抛出到被接住的过程中，中幡底部的竖直高度y（单位：m）和水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．某次训练，中幡底部的水平距离x和竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m00.822.844.8p竖直高度y/m22.96383.963.62.962根据上述数据，回答下列问题：（1）表格中的______．（2）求满足条件的抛物线的解析式；（3）若这次训练相邻两位演员的间距都为，最后一位演员身高为，当中幡底部位于距头部水平距离小于等于0.6米，距头部竖直距离小于等于0.3米，可以成功接到中幡，若此次训练成功，则舞台上至少______位演员．58.2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．（1）设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当围成的施工区域面积为时，的长是多少？（3）该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．59.如图，在平面，在平面直角坐标系中，地物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；（3）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位，平移后的抛物线与y轴交于点E，点M为直线BC上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【练经典】60.如图1，在矩形（）中，动点Q从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，到达点A后停止运动，动点P从点B出发，沿以与点Q同样的速度做匀速运动，到达点A后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积是y，其中y关于x的函数图像如图2所示，则的值是（）A.1 B.1.5 C.2 D.2.561.某学校航模组设计制作的火箭升空高度与飞行时间满足函数关系式为，当火箭升空到最高点时，距离地面_________m．62.农经公司以30的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格（）3035404550日销售量（千克）6004503001500（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求值（直接写出答案）．63.郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．64.某开发商计划对某商业街一面米米的正方形墙面进行如图所示的设计装修．四周是由八个全等的矩形拼接而成，用甲类材料装修，每平方米550元；中心区是正方形，用乙类材料装修．每平方米500元．设小矩形的较短边的长为x米，装修材料的总费用为y元．（1）写出总费用y关于x的函数解析式；（2）开发商打算花费34400元全部用来购买甲、乙两类材料，求甲类材料中矩形的长和宽；（3）在（2）的花费前提下．设计中心区作为广告区域，其边长不小于2米时，开发商的费用是否足够？请结合函数增减性说明理由．65.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点为该抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点，之间的任意一点，连接，，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值；（3）设该抛物线沿射线方向平移个单位后得到的抛物线为