2024年高考数学二轮复习高频考点4-1 等差、等比数列的性质及应用（12种题型）解析版

专题验收评价

专题4-1等差、等比数列的性质及应用

内容概览

A•常考题不丢分

一.数列的概念及简单表示法（共3小题）

二.数列的函数特性（共3小题）

三.等差数列的性质（共6小题）

四.等比数列的性质（共6小题'）

五.等比数列的前n项和（共1小题）

六.数列的应用（共3小题）

七.数列递推式（共8小题）

八.数列与函数的综合（共2小题）

九.数列与不等式的综合（共2小题）

十.等差数列与等比数列的综合（共6小题）

十一.数列与三角函数的综合（共3小题）

十二.数列与解析几何的综合（共2小题）

B•拓展培优拿高分（压轴题）（13题）

C•挑战真题争满分（10题）

A•常考题不丢分

一.数列的概念及简单表示法（共3小题）

1.（2023•市中区校级模拟）已知数列1,x/3,石，4，3,VH,...»42^....则7是这个数列

的（）

A.第4项B.笫12项C.第17项D.第25项

【分析】由题意利用等差数列的通项公式，得出结论.

【解答】解：•.■数列1,百，石，V7,3,"7,…，,2〃-1,

而7二5/49»

令2〃-1=49,求得〃=25,

.•.7是这个数列的第25项.

故选：D.

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题.

2.（2023•秦安县校级一模）数列2,5,11,20,x,47,…中的x值为（）

A.28B.32C.33D.27

【分析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，

再进行求解.

【解答】解：由题意知，数列2,5,11,20,x,47,

/.5-2=3,11-5=6,20-11=9,

则工-20=12,解得x=32,

故选：B.

【点评】本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问

题的能力.

3.（2023•丰城市模拟）已知数列｛七｝的前4项为1,0,1,2,写出数列｛凡｝的一个通项公式，可=

1;,7=1

u-2,n..2—

【分析】令数列首项为L后3项为首项为0,公差为1的等差数列即可.

【解答】解：由题意得q=l,注意到数列从第二项起，后一项与前一项的差为1,又出=。・

则〃..2时，alt=a2+n-2=n-2>

1,7=1

故数列的一个通项公式为：/=<

1n=1

故答案为：/='"（答案不唯一）.

2,〃…2

【点评】本题主要考查了数列的通项公式的求解，适合基础题.

二.数列的函数特性（共3小题）

4.（2023•秦安县校级一模）若数列｛/｝的前〃项和则/=（）

A.7B.8C.9D.17

【分析】由a,,=S”-Si，能求出结果.

【解答】解：••・数夕IJ｛凡｝的前〃项和S'=〃2一],

/.（74=S4-S3=（16-1）-（9-1）=7.

故选：A.

【点评】本题考查数列的第4项的求法，解题时要认真审题，是基础题.

5.（2023•东宝区校级模拟）已知数列｛4｝的前8项1,I,2,3,5,10,13,21,令/（x）=—《了，

4=1

则/（X）的最小俏点X=7.

【分析】将函数/（X）展开可得二次函数，再求最小值即可.

【解答】解：/（K）=Z（X-q）2=8/-2（%+。2+...++%2+...+。：，

结合二次函数可得当X=……=,1+1+2+3+5+10+13+21=些=7时，f（x）取得最小值，

888

即/（口的最小值点x=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查了数列的函数特征，二次函数的最小值点，是基础题.

6.（2023•丰台区一模）设数列｛%｝的前〃项和为邑,则“对任意〃wN*,M>0”是“数列｛SJ为递增

数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件

【分析】根据题意，分别判断充分性和必要性是否成立即可.

【解答】解：数列｛%｝中,对任意〃eN*,>0，则S"=S,1+%>S“_[,n..2;

所以数列｛S,J是递增数列，充分性成立；

当数列｛S,｝为递增数列时，几.2；

即Sz+a“>S,i，所以%>0,

如数列-I,2,2,2,...；不满足题意，必要性不成立；

所以“对任意〃cN*,勺>0"是“数列｛SJ为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题利用数列的前〃项和考查了充分与必要条件的应用问题，是基础题.

三.等差数列的性质（共6小题）

7.（2024•乐山模拟）设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若§3=9,56=36,则%+仆+〃9=1）

A.63B.45C.36D.27

【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得.

【解答】解：由等差数列性质知S3、S.S-Sg工成等差数列，即9,27,Sq$6成等差，」.S9SG・45

/.%+仆+/=45

故选：B.

【点评】本题考查等差数列的性质.

8.（2024•郑州一模）已知数列｛an｝为等差数列,q+%+%=7，a7+a8+a9=13»则a”+/4+%=（）

A.19B.22C.25D.27

【分析】依题意由等差数列性质得%4，％=?利用等差中项得心若，可求出生+%+/=3阳=19.

【解答】解：,数列｛a,J为等差数列，+a2+ay=7»o7+a84-=13,

3a,x=7,o34=13,

713

•••%=屋^s=y*

c19

•••42+64=24，ai4

%+a14+a15=3au=19.

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

9.（2024•甘肃模拟）在等差数列｛〃4｝中，的,仆是方程x?+〃?1-8=0的两根，若%+。6=。；+1，则〃，的

值为（）

A.-6B.2C.2D.6

【分析】根据韦达定理求出%+。8=-机，4%=-8,根据等差数列的性质得到方程，求出出=1，从而得

到m=-2.

【解答】解：•.・巴，%是方程/+必-8=0的两根，

二.4+6=2ax=-8,A=m2+32>0.

在等差数列（以力中,%十4=%+4=2%，又%+。6—云十1，

所以2a5=a]+\所以%=1,

所以a=4+%=2as=2，所以加=一2.

故选：B.

【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题.

10,（2024•秦都区校级四模）已知等差数列以,｝,他｝的前〃项和分别为S“，且2=包二1,则”二

7；4〃+3b6

17

47­,

【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前〃项和公式计算即得.

【解答】解：等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为S”，且&=即二

T〃4〃+3

11(q+4)

所以生=="|+%=2=区=2,U-5_22..

b62b64+4।1@+4i)7]14x11+347

故答案为：—.

47

【点评】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.

11.(2024•新疆一模)记S”为数列｛牝｝的前〃项和，设甲：｛q｝为等差数列，乙：25“=⑷+”“)〃(其中〃wM),

则下列说法正确的是()

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【分析】根据题意，由等差数列前〃项和公式可得甲是乙的充分条件；再利用数列前”项和与通项的关系

分析可得甲是乙的必要条件；综合可得答案、

【解答】解：根据题意，当｛凡｝为等差数列时，则(“+；)〃,

变形可得2S”=0+4)〃，即甲是乙的充分条件；

反之，若2S”=(q+勺)〃①,

则有2sM=(q+%”)(〃-1)(〃...2)②，

①-②可得：2aa=q+〃。”一(〃一1)%,变形可得q+(〃-2)°a=0③，

同理可得:q+(n-3)a0_]一(〃-2)an_2=0(n..3)④，

③-④可得：an_2+an-2《一|(〃..3)，

则数列｛勺｝为等差数列，

故甲是乙的必要条件，

综合可得：甲是乙的充分必要条件.

故选：C.

【点评】本题考查等差数列的性质，涉及充分条件和必要条件的定义，属于中档题.

12.（2024,东莞市校级一模）己知等差数列｛《｝与等差数列｛2｝的前"项和分别为S.与7；,且也」=包9

QT4〃一2

+詈*=()

29C58

A.c.—

21-7T21

【分析】由等差数列性质可得巧■一色~=也，由等差数列前〃项和公式可得牝=&、如=4■，即可令〃=11

M,九1121

代入计算即可得.

【解答】解•：因为数列｛4｝、色｝都是等差数列，所以&+&=生口=也,

Uibn*b、i

又L=幽浮="%&=*迎=2%,

=Z,即有二+&=%L=%x1,

-配-------90h11

1121h]}h]],H弓

在25〃+3中，令〃=]],得&="，

—4〃-2心21

422958

故❷+&=%=--X--=--0

Ui加b”112111

故选：D.

【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题.

四,等比数列的性质（共6小题）

13.（2023•贺兰县校级四模）设等比数列｛%｝中，前〃项和为S”，已知S,=8,$6=7,则的+/+4等

于.（）

A.iB-4c-TD-T

【分析】由题意可知星，56-53,59-邑构成等比数列，即（S6-S3）2=S/（Sg-S6）,从而代入数值可求

出Sg-$6=%+6+。9的值•

【解答】解：•.•｛%｝是等比数列,

：£，S「S、，Sg-S。构成等比数列,

所以($6-S3)2=S「(S9—S6),即(7—8)2=8X(SL久)，故$9-56=：，

O

所以%+%+%=S9-=一.

8

故选：A.

【点评】本题考查等比数列的性质，考查学生归纳推理与运算求解的能力，属于基础题.

14.（2024•扬州模拟）已知函数/（力=加+及+5若b是人与c的等比中项,则/（x）的零点个数为（

)

A.0B.0或1C.2D.0或1或2

【分析】根据给定条件，确定判别式的正负即可得解.

【解答】解：由〃是。与c的等比中项，得awO,b*O,ac=b2,

方程ax2+队+c=0的判别式△=〃一4ac=-3b1<0,因此方程ad+bx+c=O无实根，

所以/（外的零点个数为0.

故选：A.

【点评】本题主要考查了等比数列的性质，还考查了函数零点的求解，属于基础题.

15.（2024•青秀区校级一模）在数列｛凡｝中,q=l.若命题勺=2川+2"命题夕:a-2"｝是等

比数列，则.是夕的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【分析】根据充分性和必要性分别考虑即可.

【解答】解:充分性:若小。/+勺=2向+2",得/”一2"+|=-（凡一2"）,

则数列也-2"｝是以％-2:7为首项,-1为公比的等比数列，则夕能推出夕;

必要性:若q:｛a”-2"｝是等比数列,则"“一’=t,则。-2”），

/-2

则/为不为0的常数，故夕不能推出〃，必要性不成立，

所以〃是夕的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题.

16.（2024•浑南区校级模拟）已知等比数列｛%｝的公比为式g>0）,前〃项积为7>若7；>[>7；,则（）

A.0<<7<1B.q>1C.q>1>2D.7；4>1>7J5

【分析】由己知结合等比数列的性质分析各选项即可判断.

【解答】解：因为等比数列｛&｝的公比为9>0,

则%>1,0v4v1，0v%•4v1,

所以0<夕<1,/正确，8错误；

q=q吗2q3=%”>1，彳4=4吗34<]，C正确，D错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题.

17.（2024•株洲模拟）设（石+2产句（〃wM）的整数部分为%，小数部分为，则卜列说法中止确的是（

）

A.数列应+"｝是等比数列B.数列也｝是递增数列

C.。（%+，）=1D.（1-2）（4+/,）=1

【分析】根据题意，利用二项式展开式算出%=（指+2严J（店-2严I,4=（百-2严I由此对各项依

次验证，可得答案.

【解答】解：由+2产”=储”“（&产”十《向（6产2+…+C媚2?向,

回2尸=回向一心（"产"+…一七：严,

得（后+2严J石-2产7=2［。；用（⑹"2+。:（6产22+…+。然；-22fl+,］

=2（以•夕•2+C%•5川•23+…+G：：：.221）,

根据C；向•5"•2+C*•51•23+.•・+C烯,22B+,是整数，且0〈（石-2严।<1,

可知（石+2）2川的整数部分即为（石+2）2川-（君-2严।,小数部分即为（石-2严I

即勺=（0+2产川-（6-2严|,"=（0-2产+，

对于月，％+4=（石+2产“是以（石+2了为首项，（石+2/为公比的等比数列，可知4项正确;

对于月，由.4的分析，可知%+，是等比数列，首项大于64,公比大于16,

故%+”的整数单调递增，即数列｛可｝是递增数列，故8项正确；

对于C,"（%+”）=（万一2）27・（6+2）21=［（6-2）（5+2）产+|=（5-4）27=1，故。项正确；

对于。，（1-＞）（勺+3）=口-（#-2）2叫（6+2）2向=（石+2）2川-1+1,故。项不正确.

故选：ABC.

【点评】本题主要考杳等比数列的定义及其性质、数列的单调性、二项式定理的应用等知识，考杳了计算

能力、逻辑推理能力，属于中档题.

18.（2024•昌乐县校级模拟）设等比数列｛%｝的公比为g,其前〃项和为S“，前〃项积为7；,并满足条件

%＞1，牝0N。202。＞1，色空二、0,下列结论正确的是（）

“2020T

A，$2019＜,^2020B。Sa。］9s2020-1＜。

C.4。2。是数列｛「｝中的最大值D.数列｛7；｝无最大值

【分析】根据题意，由等比数列的性质分析公比g的范围，由此分析选项可得答案.

【酢答】解：根据题意，等比数列｛叫中，内“必020>1，则有%^汹网土生。.）％〉］，必有夕>。，

又由林山_1<0,即3。9一l）（“，c，o-1）<°，必有a，o,o<1V。，019,必有o<q<1，

“2021）—1

由比分析选项：

对于“，$2020一,^2019="2020>。，故*^2019<1^2020,彳.正确；

对于8,等比数列｛%｝中，勺>1，0VgV1,则S202l>S刈9>1,则s2019s2021>1,即S2019s2021T>0，8错

误：

对于C,“2020<1<生019，则GB，是数列区｝中的最大项，C错误;

对于。，由。的结论，。错误；

故选：A.

【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的应用，属于中档题.

五.等比数列的前n项和（共1小题）

19.（2024•凉山州模拟）S”为等比数列｛4｝的前〃项和，若£=2,54=4,则£=6.

【分析】由等比数列的性质可得S?,S「S『S6-S4成等比数列，代入数据解关于$6的方程即可.

【解答】解：由等比数列的性质可得S］,S4-S2，成等比数列，

2

所以（S4-邑）2=S2（56-S4）,代入数据可得2=2（56-4）,

解得§6=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查等比数列的性质，利用邑，邑-与，S6-S4也成等比数列是解决问题的关键，是基础

题.

六.数列的应用（共3小题）

20.（2023•大理市二模）《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠

对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺,

有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍：小老

鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢（

）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据题意，分析可得大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打进

的长度是首项为1，公比为，的等比数列，由等比数列的前〃项和公式可得S“+7；=（2。-1）+（2-一］）...16,

22

分析可得〃的取值范围，即可得答案.

【解答】解：根据题意，大老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为2的等比数列，设该数列为伍.｝,前〃

项和为S.，

小老鼠每天打进的长度是首项为1，公比为;的等比数列，设该数列为也,｝,前〃项和为7；,

1x（1-2"）I'。一前）1

则S“=（）=2"—1,Tfi=--------^-=2--

"1-2,12

1----

2

若1+7；=（2”-1）+（2-击）...16,即2"-击）…15，

又由〃...1且〃wZ，必有ii.A，

故选：B.

【点评】本题考查等比数列的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题.

21.（2023•海淀区校级三模）已知数列｛4｝满足：对任意的总存在使得S“=4,则称缶“｝

为“回旋数列”.以下结论中正确的个数是（）

①若a“=2023〃，则｛%｝为“回旋数列”：

②设｛4｝为等比数列，且公比g为有理数，则｛%｝为“回旋数列”；

③设｛q｝为等差数列，当q=1，d<0时，若｛%｝为“回旋数列"，则d=T；

④若｛%｝为“回旋数列”，则对任意〃wN"总存在mcM,使得/=>.

A.1B.2C.3D.4

【分析】由题意，利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合所给“回旋数列”的定义，对每

项进行分析验证，进而可解.

【解答】解：对于①：若4=2023〃，

可得S“=2023（l+2+3+・..+〃）=2023x〃（"+D,

2

由2=%，

可得2023X“（〃十1）=2023m，

2

取〃?=迪里2即可，

2

此时｛%｝为“回旋数列"，故①正确；

对于②：已知｛”.｝为等比数列，且公比夕为有理数，

当夕=1时，Sn=,ani=ax>

由S〃=u,

可得"q-“I’

所以当〃=2时，〃%=%明显不成立，

故｛4｝不是“回旋数列"，故②错误：

对于③：因为｛《,｝是等差数列，

所以％=1+5~l)d,Sn=n+”"；l)d»

因为数列加”｝是“回旋数列”，

所以1+(m-1)J=n+I)d♦

整理得〃?=纥1+迎二12+1,

d2

因为迎a为非负整数，

2

所以要保证占恒为整数，

d

故”为所有非负整数的公约数，且4<0,所以d=-1,故③正确；

对于④：由①可得当%=2023〃时，｛/｝为“回旋数列”，

可得。2=2023x2,S,”=2023x”,

显然不存在加，使得鼠=%=2023x2,故④错误.

综上得结论正确的有①③.

故选：B.

【点评】本题考查等差数列和等比数列性质的应用，考查了逻辑推理和分析问题解决问题的能力.

22.(2023•德阳模拟)德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，

计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将

原计划派遣的各批次人数看成数列｛%｝,保持数列｛%｝中各项先后顺序不变的情况下，在,与a.k=I,

2,…)之间插入2A，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列也,｝,若按照新数列也，｝的各项依次派遣

学生，则前2U批次共派遣学生的人数为()

A.2091B.2101C.2110D.2112

【分析】先得到｛4｝的通项公式，再分组求和即可.

【解答】解：由题意得，当〃=24-1时，=I+(k-1)xI=k,

当〃=2«时，砥=2/，

故“+/),■!---卜晨=1+2■!----1-10=M)x"+"))=55,

2_

b>+b4+・••+b)o=2+2,+,・・+210=---------=2046,

1—2

故前20批次共派遣学生的人数为55+2046=2101.

故选：B.

【点评】本题考查数列通项的求解和前〃项和的求解，属于中档题.

七.数列递推式(共8小题)

23.(2024•凉山州模拟)已知数列｛/｝的前〃项和5=〃2+3，则q+&=()

A.9B.10C.11D.12

C〃=1

【分析】根据/=:■r求出q和外,得到答案.

[S0-S...2

【解答】解：当〃=1时，4=『+"，

2

解得％=2,

当.2时，禺=S"-S,I=〃2+4一(〃—1)2-系=2〃—1,

故生=10-1=9,

故q+%=2+9=11.

故选：C.

【点评】本题主要考查了数列的递推式，属于基础题.

24.(2024•永寿县校级模拟)已如数列｛%｝的前〃项和为S”，4=1,a2=2,且对于任意以.2,“+

S»i+Si=2(S“+l)恒成立，则()

A.｛凡｝是等差数列B.｛(｝是等比数列C.5.=81D.So=91

【分析】推导出见.1-%=2(〃…2),可判断力8选项；求出数列｛4｝的通项公式，利用等差数列的求和公式

可判断C。选项.

【解答】解:•.•对于任意儿2,满足Sz+S,i=2(S.+l),

•••S"|—S"=S“—S,i+2,即%+]-口=2,且%-4=1，

二数列｛%｝不是等差数列，也不是等比数列，力错4错；

当儿.2时，an=a2+2(n-2)=2+2(〃-2)=2〃-2,

1,〃=1

"a,,=[2n-2,n..2,

$9=1+(2+4+6+…+16)=1+”⑹=73,。错；

S“I《0-73i18-91,。对.

故选：

【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、转化方法，考查了推理能力与计算

能力，属于中档题.

25.（2024•黑龙江模拟）已知数列｛〃“｝的前〃项和为S”，若4=%=3，且D〃..2,“eM都有

4⑸,则（）

3,”=1,

A.⑸-2S._1｝是等比数列B.a,

3,”=1,

C.ciD.S$=48

2"—1/...2

［分析］由已知变形得递推关系5川-2S”=2⑸-2SQ几.2,再计算出S2-2S,=0,因此得HS„=2sz

n.2,结合S可得，=3乂2小，然后由S”求出通项巴，再利用明计算出邑.从而可判断各选项.

【解答】解.：依题意，4（S.-Se）-S..】0,

即S…2sL2S,「4SI=20-2sl），丸2，

又S-2sl=（4]+%）-2x3=0,

Sn=2Sn_t,n..2>又S[=q=3,

二数列｛S.｝是以3为首项，2为公比的等比数歹h

S,=3X2”T,

2

〃=1时，q=S=3,.2时，an=Sn-Sn_{=3x2"~,

3,/?=l,一

,5=。|+a,+%+%+&=3+3+6+12+24=48.

3->-2r”-2,1.2r'5।2345

故选：D.

【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

26.（2023•青浦区二模）已知数列㈤｝满足q=（-3",存在正偶数〃使得4-2）（—+%）＞（）,

且对任意正奇数〃有（（-2）（。e+/1）＜0,则实数4的取值范围是（）

29

A.B.（f,-]]U（l，+8）

C.D.

4343

分析利用累加法可得

1-（一!）”21

__2_=£[i_（_lr],分类讨论

1-得）32

〃为偶数，〃为奇数，结合题意，即可得出答案.

【解答】解：氏+1-=（一g）"，

二当〃..2时，an-an_,=（-

上也争-十，

%=。|+（a2一。l）+（%-4）+…+（%-。”4）=1+（-？+（一寸一+•♦•+（-

J（-5）

.•.当〃=2〃_1时，％=1口+（；）”]

7

当〃=2〃时，r/=-[1-

”3

.•.当〃为奇数时，句单调递减；当〃为偶数时，/单调递增,

.•・当〃为正偶数时，存在正偶数年使得（4-4）（­+为>0,即（1+止）（/1一%）<0,解得-<%<%<%,

2

-a<2<j,即一

343

又当〃为正奇数时,对任意正奇数〃有（勺-2）（fln+l+2）<0,即（%+4）（2-%）>0，解得或九>an

恒成立,

2、

二.入--或Z>6Z.=1,

3'

综上所述，实数义的取值范围是-3〈人

43

故选：D.

【点评】本题考杳数列递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考杳逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

3

27.（2023•顺庆区校级模拟）已知数列俗”｝满足：为=—,凡一册，3"，4+6—%⑼S”，则外。23=（）

8-

A,空+』3202）332023

B.C.D.

228282

【分析】由0/2—%，3"可得/6—%，913，结合%-勺得1,3”,即a-913"，从而得到

%一%=3"，利用累加法可得%加=%+3+33++…+利用等比数列求和公式即可得出答案.

【酢答】解：•♦•[=]，/+2一〃『3",

O

%.6—%=&+6-。e)+伍田—。2)+伍”+2—3田+3*2+3"=3"(34+乎+1)=91・3"，

又见+6一3⑼凸"，故。"+6一q=913,

4=3"4+4一凡+2=3"-4+6

3

...%一《二3,生一%二31...,。“+2一*=3"，a=-

{0

故%一%=02”+1-a2M+a2n-\-曲”-3+…+%-。3+9_/=3+33+35+…+3?”I

则叫=%+3+3'+3$+…+32"',,

3c,3^202133（1-9血1）32始

/.1加八=—F3+3+3+・・・+3*=—I-------------=------,

3881-98

故选：C.

【点评】本题考有数列的递推式，考查转化思想，考直逻辑推理能力却运算能力，属于中档题.

28.（2023•渭南模拟）设数列｛4｝的前〃项积为①不是常数数列；②&&：③写出一个同

时具有性质①②③的数列的通项公式为a,,=_*"「〃GN*（答案不唯一）.

【分析】由三个条件可知，数列｛凡｝单调递减，前10项的积是前〃项积的最大值，不是常数列，故选择一

个符合条件的等比数列即可.

【解答】解：由性质①③可知：数列｛%｝单调递减，

故可设数列也｝为等比数列，且%>0,0%<1,

由性质②可知，数列｛氏｝的前10项积是前〃项积的最大值，

故司时具有性质①②③的数列｛4｝的通项公式可以是a“=2'j,nwN*.

故答案为：2回"，〃eN*（答案不唯一）.

【点评】本题考查用函数性质研究数列问题，属中档题.

29.（2023•朝阳区一模）已知项数为机左eV）的等差数列｛叫满足q=1,%1<<（〃=2,3.…，幻.若

可+“2+…+q=8，则々的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

【分析】设等差数列｛%｝的公差为4，根据卬=1，<%（〃=2,3,…，k）,利用通项公式可得d>上一，

43k-2

根据q+生+—+4=8,利用求和公式可得上+幺展2[=8,把d代入即可得出A•的范围.

【解答】解.：设等差数列｛%｝的公差为，/,

%=1,<%(〃=2，3，…，k),

.•.1+(〃-2)八4[1+(〃-])"],

，•％+%+•••+4=8，

H处士=8,

2

解得4=匕二至，

kd)

16—22—3

"k(k-l)>3k-2'

化为女2-4%+32<0,

4Q7017

令/(幻=3--49k+32=3(k-y)2-,

A...9时,函数/(幻单调递增，

而/(15)=-28<0,/(16)=16>0,

则片的最大值是15.

故选：B.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式、不等式的解法、数列的单调性、转化方法，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

30.（2024•北京模拟）已知数列仅"｝和｛0｝满足sina“+i=sina"+cos“，cos6„+l=cos6,t-sinax.

222

(I)证明：$/‘〃&+]+cosbn^=2(sinan+coshn)；

（2）是否存在q,b\,使得数列｛S/q+cos/｝是等比数列？说明理由.

【分析】（1）两式平方相加，由同角三角函数平方关系可得；

（2）假设存在，等比数列各项均不为0,则由通项公式与三角函数有界性可推出矛盾.

222

【解答】解：（1）证明：由题意得，sinan^=sinan+cosbn+2s\natlcosbn,

22

8cbe=cosbn+sinan-2sinancos”,

222

两式相加得，sW%+cosb“.i=2（sinan+cos"）,得证.

2

（2）证明：若sinay+cos飞=0,则数列+cos?"｝不是等比数歹U；

若shra[+cos飞=z/z>0,

假设存在q,h，使得数列⑶力2%+c0s%,j是等比数列.

zz2222

由(1)结论得，sinan^+cosbn_｛=2(sinan+cosbn),sinan+cosbn>0，

则叫e"吟八=2,故数歹U｛s疗q+cos\］是公比为2的等比数列，

sin~an+cos~bn

2/,-1

则sinalt+cos~bn=m-2,

I2

222,QglW1m

但当〃>2-log,m时>sinan+cosbn>ni-2"_=w*2***=2,

由［5由a",,1,|8$“|”1,则S加%“+CO/〃，2,产生矛盾，

故不存在q,b,,数列"加2a“+cos2”｝是等比数列.

【点评】本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题.

八.数列与函数的综合(共2小题)

31.(2023•内江一模)已知数列｛%｝满足：q=1024,点(〃,《)在函数y=a(；W)的图象上.则《。=(

)

A.2B.3C.4D.5

【分析】由已知可得4=人(；)>由q=1024可求得。=2「从而得到勺，再求力。即可.

【解答】解•：因为点(〃,见)在函数j，=a(g)，geR)的图象上，

所以a.=a'(―)ZI>

又因为q=1024,

所以q=1024="

2

解得。=2",故凡=2"-"，

所以%=2皿°=2.

故选：A.

【点评】本题考查己知数列的递推式求通项公式和指数函数的性质，属于基础题.

32.(2023•道里区校级模拟)定义在［0,+8)的函数/(x)满足/(x+6)=/(x),且

八制=［""(2-切(0”“<2),Wxe［0,3］都有/(6-x)+/(x)=(),若方程/(x)=eR)的解构成单调递

sin乃x(2<x<3)

增数列｛x,J,则下列说法中正确的是()

A./(2023)=0

R.若数列与为等差数列，则公差为6

C.若23+/)=再x2+3,则Ovav加2

D.若一1<4</〃"!■,则Z(*3,-2+七”1)=6〃？+〃

2；=i

【分析】根据条件得到/(外关于(3,0)对称，且当X..0时，/(»的周期是6,作出函数/(X)的同学，利用

函数与方程的关系，转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合进行判断即可.

【解答】解：••・Vxw[O,3]都有1(6T)+/(X)=0,

关于(3,0)对称，令x=3,则/(3)+/(3)=0,即f(3)=0.

・・•在[0，+8)的函数/(4)满足f[x+6)=/(X),

.•./'(X)的周期为6,

作出函数/(X)在[0,6)内的图象如图：

A./(2023)=/(6x337+l)=/(1)=0,故力正确，

B.由图象可知：若数列｛》1｝为等差数列，则。e(-oo,,+8),此时y=/(x)与y在[(),6)

内有且仅有一个交点，

/(x+6)=/(x),/(x)周期是6,即/+]—怎=6,即数列｛怎｝的公差为6,故8正确,

C.若2区+.)=+3,BP(2-X))(2-x2)=1»可得"[(2-xJQ-x?)]=/〃(2—+(2—七)=0,

则|/〃(2-再)|=|历(2-/)|，即y=/(x)与y=a在[0,2)内有且仅有2个交点,结合图象可得0加2,

故C错误；

D.若-/<"/十-〃?2,则y=/(x)与y=a在[0,6)内有且仅有3个交点，且玉+吃=7,

•・•/(X+6)=f(x),则(必+1-必+2)一。3卜2一刍“)=[(^3/.!+6)-区“+6)]-区-2-Xw)=12,

.••数列｛X3I_2-x3i_1｝是以7为首项，公差d=12的等差数列，

可得x3i_2-x3f_,=7+12(/7-1)=12.,?-5»

；$(x3i_2+)=〃。+12〃+5)=〃(⑵7+12)=6/+〃，故。正确.

；=i22

故迷：ABD.

2

【点评】本题主要考查函数与数列的综合，利用条件求出函数/（》）的对称性和周期性，利用数形结合进行

求解判断是解决本题的关键，是中档题.

九.数列与不等式的综合（共2小题）

33.（2023•江苏模拟）已知等比数列也,｝的前〃项和为£,,则使得不等式

%+―+…+<2023伏eN）成立的正整数用的最大值为（）

A.9B.10C.IID.12

【分析】由工1+1=4%表示数列应｝的前3项，根据等比数歹J｛《J得出片=。必，进一步计算得出4，

再代入已知不等式，求解机的取值范围得出结果.

【解答】解：已知Sw+l=4q（〃wM）,

当〃=1时，S,+1=4《»则a2=3at-1；

当〃=2时，S3+1=4a2，贝!J%=3出一%—1=8q—4；

因为数列｛%｝是等比数列,所以其=。臼，即（3%-1）2=4（8《-4）,

整理得a；-2q+1=0,解得q=l,a2=2,公比g=2,

所以%=2”T.

由不等式am+am+i+…+an+k-am,｝Sk<2023（"eTV*）,

得2m-'+T+2w+,+...+2W+A-,-2ra（l+2+22+...+2*-'）<2023,

即2m+k-2m-1-2W（2*-1）<2023,

整理得2i<2023,X210<2023<2,1,

所以2吁12%即〃?-L.10,如11,

所以正整数机的最大值为II.

故选；c.

【点评】本题考查等比数列的定义与通项公式，不等式的求解，化归转化思想，属中档题.

34.（2023•鼓楼区校级模拟）数列｛4｝中，点（%,1）在双曲线2炉一寸=1上.若

《-2-。川恒成立，则实数尤的取值范围为（