2024年高考复习数学课时质量评价30答案解析

课时质量评价(三十)

A组全考点巩固练

1.A解析：如图，在"BC中，由巳知可得/AC8=45。，所以高『盛，

所以4c=2&x立=通(匕】】).

A

2.A解析：因为nsinA-6sin8=4csinC,所以由正弦定理得/一〃=4。2,

即/=*+尻由余弦定理得8,4=空=匕浅田=券=一%所以3

=6.

3.C解析：设。。=儿在RtAACD中，ZC4D=45°,所以AD=CD=h,在

RsBCD中，

ZCfiD=30°,所以8。=冉CO=V5〃，

在△A3。中，由余弦定理知，AB2=AD2-^-BD2-2AD•BDcosZADB,

所以(35A/7)2="+(通协2-2/?・V3/?(-y),解得h=35,

所以蜚英塔的高度CD是35米.

0

4.AC解析：由题意可知乙4。8=60°,NBAD=75。,ZCAD=3Of所以8=

180o-60°-75o=45°,A8=12乃，AC=8V3,在中，由正弦定理得々=

AB,所以AD=上萼工=24(nmile),故A正确：在△AC。中，由余弦定理得

sin^.ADBif

2

CD=\/AC2+AD2-2AC-ADcos^CAD,即CO=

J(8A/3)2+242-2x8V3x24xy=8V3(nmile),故B错误;因为CD=A2,

所以NaM=NC4O=3()c,所以灯塔C在。处的南偏西30。，故C正确；由/

403=60。，。在灯塔B的北体西60。处，故D错误.

北

c

'B

5.D解析：在RlAACO中，ZADC=90°,ZCAD=45°,得AO=CO=30m,

在RlABCD中，ZBDC=90°,ZCBD=30°,可得8O=-^=30V5(m),

tan300

在AAOB中，NAO3=30。，由余弦定理可得：

AB2=AD2+BD2~2AD・BD・cos=302+(30V3)2-2X30X30V3cos30°

=900,贝"A8=30m,

所以他的步行速度为瑞田(m/s).

6.7(a-c)(b-c)解析：过C作CQJ_48,交48于。，如图所示:

MAB=a-btAD=a-c,设NBCD=a,NACB=。,CD=x,在△BCD中，lan

。=胃=¥，在△AC。中，tan(。+4)=普=呼，所以tan夕=tan[(«+/?)—«]=

气年=—匕心—<「…一_…当仅当(a—即

1+七二分匕迹9一2J(Q-C)3-C)'刍且]刍XX，IX

x*x气*-

J(a-c)Q-c)时取等号,所以lanQ取最大值时，NAC8=Q最大，所以当离此

树的水平距离为J(Q—c)(b一c)米时看A,8的视角最大.

7.解：(1)因为丽•尼=0,所以(而+：瓦•尼=0,即(;通+g尼)•尼=

0,所以与ccosA+%2=o.

33

因为Z?=c,所以cos4=—

因为0<4<兀，所以A=g.

(2)因为而•AC=QA§+：前)・AC=^bc•cosA+[/=(),所以/+/—/+

b2=0,即2/+d-/=o,

858=此产==主=竽之手，当且仅当4=3/时，等号成立.

2ac2ac2ac2

因为0VByt,所以B的最大值为U.

6

8.解：VizcosB-\-bcosT4=2,/.C=2.

又「sin4+sin8=2sinC,.•.a+〃=2c=4.

222

*.*c=6t+/?—2abcosC=(a+Z?)2—2a/?(1+CosC).

1+cosC

*：-absinC=V3,A^^-=73.

21+cosC

即百sinC—cosC=1,sin（C-^）=~-

VCe（0,兀），.・.C一衿（一？号），・"一片，

o\oo/oo

R组新高考培优练

9.解：（1）在锐角AABC中，A8=3,AC=V7,ZABC=60°,

.A8sin,A8C3、年I

由正弦定理得sinZ.ACB=------------=-----

因为△ABC为锐角三角形，所以cosZACB=—.

因为sinZI3AC=sin卜一俱+々4CB）]=sinQ+Z/1CZ?）,

所以sinZBAC=sinZACB-cos甘cos4圆・si『当吗+幺六亨.

（2）因为48〃C。，所以/ACQ=/B4C,

所以sinNACO=sinZBAC=—.

7

在RsACO中，AD=ACXsinZACD=V7x^=V3,所以CA=，4c2-W

=2.

因为SABCD=SPAC'D,叉S&ACD=，DXCD=yf^,所以SA8c

缶7,I.73COS4sinBsine_>/3cosA

i1n0.解：（1）由tanD8+tanC=-------付-----1-------=---------,

coscosCcos8cosCcoscosC

所以sinBcosC+cosBsinC=V3cosA,

所以sin（8+C）=bcosA,即sinA=V5cosA

又cosA显然不等于（），

所以tanA=J5.因为A£（0,兀），所以4=]

⑵由（1）知A=g,又。=4,〃+c=5,

根据余弦定理得a1=b1-\-（?—2bccosA=S+c）2—3bc,

所以16=25—3〃c,所以%=3,

所以S=%csinA=二X3X立=更.

2224

11.解：（1）由cos8（百。一〃sinC）=〃sin8cosC,得cos8一〃cosBsinC=

bsinBcosC,

所V人痘acosB=bsinBcosC+/?cosBsinC,

即V5acosB=bsin(B+C),

所以有acosB=bsinA.

由正弦定理,得VSsinAcosB=sinBsinA.

又sinA#),

所以JScos3=sinBy即tanB—y/3,0<B<n,

所以

3

(2)由c、=2〃，AABC的面积为竽，得SA"c='csinBWxaX24X^=W，解得

•J/44D

T即。=2『竽

22

由余弦定理力2=/+/—2«CCOSB,可得〃=(竽)+(.)—2X苧xfx[=

4,解得〃=2.

所以△A8C的周长为。+〃+。=2+2+迪=2+26.

33

12.解：(11/(.r)=2V3sinxcosx+2sin(%+个)・cos(x+：)=V5sin2x+sin

(2x+7)

=V3sinZv+cos2r=2sin(2x+J

令2A+E=E+2,kSZ,解得工=耳兀+2,kSZ.

6226

可得函数./U)的对称轴方程为x=*+£kez；

26

g(x)=2sin(2x-^)=2sin12G-碧)+1,

故将函数7U)的图象向右平移胃个单位长度得g。).

(2)由于赐+()=2sin(B+，+弓)=2cosB=|,

可得cosB=g.

因为a+c=l,即c=l一6,

由余弦定理得b2=cr+(r—2ac,cosB,

即b2=a2-bc2--ac=(a-bc)2--ac^(a-bc)2--x-(«4-c)2=-(tz+c)2=-,

333433

所以心今当且仅当Leg时，取等号.

由三角形任意两边之和大于第三边得l=a+c>b,所以黑力<1,即代殍，1）.

13.解：（1）如图，连接BD,

在ABCD中，由余弦定理得CDcos1200=(V3)2+(V3)2

-2X(V3)2X(-1)=9

所以8。=3.

180°~120°

因为BC=CD,则ZCDB=NCBD==30°.