连续机率分配

连续机率分配学习目标了解连续机率分配的观念。计算连续随机变量的期望值、变异数及标准差。熟悉常态分配之意义、特性及其应用。了解二项分配与常态分配之关系。利用Excel求算常态分配值并绘制图形。本章架构7.1连续机率分配之意义7.2常态分配7.3标准常态分配7.4常态分配机率之计算7.5二项分配与常态分配之关系机率密度函数(probabilitydensityfunction;p.d.f.)

令X为一连续随机变量，则其机率密度函数f(x)必须满足下列条件对所有的x而言，f(x)0。。注:(i)间断变量之p.m.f.f(x)>1

不可能以点机率表示P(X=a)=f(a)>0(ii)连续变量之p.d.f.f(x)1

有可能以区间面积表示机率值,故以积分求其机率值,

但其点机率值P(X=a)=0,故P(X=a)f(a)7.1连续机率分配之意义图7.1连续随机变量之机率分配7.1连续机率分配之意义(续)令w表示组距，则图7.1之每一矩形面积为w＊f(x)，因为连续随机变量于特定区间发生的机率值即为f(x)下该特定区间之面积，且根据机率之性质，机率值必须介于0和1之间，及机率总和必须等于1，因此7.1连续机率分配之意义(续1)假设X为一连续随机变量，试问是否为一机率密度函数？解：因为1.2.因此，f(x)是一机率密度函数。例7.1累积机率函数令X为一连续随机变量，则其累积机率函数F(x)定义为

又点机率:P(X=c)=P(cXc)=F(c)–F(c)=0

P(Xc)=P(X<c)+P(X=c)=F(c)

故P(aXb)=P(a<Xb)=P(Xb)P(Xa) =F(b)F(a)注:(i)F(x)之图形为上升且连续函数

(ii)d(F(x)/dx=f(x)F(x)为f(x)反导数7.1连续机率分配之意义(续2)连续机率分配例:

令X为一连续变量,其机率密度函数(p.d.f.)f(x)为

f(x)=kx(1-x),0

x

1,(1)求k值使f(x)满足机率密度函数性质

(2)求P(1/4<x<1/2)解:(1)(i)P(0

x

1)=1

01f(x)dx=1k=6

(ii)f(x)=6x(1-x)0,0

x

1

k=6使f(x)满足机率密度函数性质

(2)求X之c.d.f.F(x),F(x)=P(Xx)=0xf(t)dt=3x–2x2

P(1/4<X<1/2)=F(1/2)–F(1/4)=3/8注:此连续变量X为Beta分配连续随机变量之期望值与变异数：令X为一连续随机变量，则其期望值与变异数分别定义为

=

2=

注:Var(X)=E(X2)-

2

E(g(X))=-

g(x)f(x)dx7.1连续机率分配之意义(续3)求连续随机变量X之期望值与变异数。解：根据(7.1)式和(7.2)式，

X之期望值与变异数分别为例7.2续例7.1例7.2续例7.1(续)连续变量之常用分配1.常态分配(Normaldistribution)X~N(,2)2.连续均匀分配(Uniformdistribution)X~U(a,b)3.指数分配(Exponentialdistribution)X~Exp()常态(Normal)机率密度函数，， 此处

为平均数，

为标准差，

＝3.1416，e=2.7183。

和

为常态分配之参数，一般以X~N(

,

2)表示之。注:(i)f(x)之分布呈单峰对称(即钟形分布)(ii)平均数(mean)=中位数(Me)=众数(Mo)=

(iii)若=0,2=1,则称标准常态分配,以Z~N(0,1)表示7.2常态分配推论统计的基础常态分配及常态曲线(TheNormalCurve)的观念，在统计中十分重要，它们是推论统计的基础。

常态分配及曲线是一种理论模式，但透过这理论模式，我们可以对实证研究所得之资料分配，做相当精确之描述及推论。能做到这一点是因常态分配本身有些重要且已知的特性，而实际之资料分配也往往接近常态分配。常态分配的重要性常态分布之所以重要，原因很多，三个主要的原因为：首先是常态分布在分析上较易处理。其次是常态分布之机率分配图形为钟形曲线(bell-shapedcurve)，再加上对称性，使得很适合当做不少母体之机率模式。当然我们知道钟形且具对称的分布也有不少，但通常不像常态分布，在分析上如此容易驾驭。第三个原因是由于在中央极限定理(CentralLimitTheorem)，使得在不太强的条件下，常态分布可当做不少大样本的近似分布。7.2常态分配(续)常态分配之性质不同的平均数和标准差形成不同的常态分配（见图7.2与图7.3

）。常态分配系以平均数

为中心的对称分配，即平均数、中位数及众数都相等。常态机率函数下之面积总和等于1。常态分配曲线的尾部两端无限延伸。较常用的常态分配机率范围见图7.4。图7.2N(2,0.25)和N(5,0.25)之比较x7.2常态分配(续1)7.2常态分配(续2)图7.3N(0,1)和N(0,0.16)之比较7.2常态分配(续3)图7.4常态分配曲线下之面积常态分配的应用实例(一)股市技术面衡量指标：超买超卖（ＯＢＯＳ）一.定义：利用一段时间内股市涨跌家数的累计差关系，以研判大盘买卖气势之强弱及未来走向。公式如下：

10日ＯＢＯＳ值＝10日内股票上涨累计家数－10日内股票下跌累计家数二.研判技巧：10

日ＯＢＯＳ值通常在-600至+700之间呈现常态分配。10

日ＯＢＯＳ值超过700时，股市呈现超买现象，是卖出时机，

反之10

日OBOS值低于-600时，股市呈现超卖现象，是买进时机。当10

日ＯＢＯＳ走势与大盘指数走势呈现背离时，大盘可能随时会做反转，尤其在高档形成Ｍ头为卖出时机，低档形成Ｗ底为买进时机。常态分配的应用实例(二)教育部于民国八十六年七月六日在屏东召开教育厅局行政协调会报，重申贯彻「常态编班」的政策，并获得地方行政单位的支持。常态编班学生异质性高，目前台湾省各国中，若利用校务行政网络系统进行常态编班，其方式约有三种：（1）S型编班：作业前先将每位学生顺序编排号码，可以是随机数编码（但为了日后各班级程度一致，最好避免以此方式编码）或经由智力测验、学科测验的名次来编码。编班时，按其编码顺序地进行「S型」由前至后，再由后至前的将学生编于各班。（2）分组随机数编班：如上述先给予每位学生一个编码，若预编为８班则将学生１--８，９--16，17--24依此类推，每八位学生为一组，再将每组学生以随机数方式编排至８个班级中。（3）纯随机数编班：如（1）所述给予每位学生一个编码后，不考虑顺序，完全以计算机随机数处里，将学生编入班级中。标准常态分配(standardnormaldistribution)：当常态随机变量之期望值为0且变异数为1时，一般以

Z~N(0,1)表示之，其机率函数如图7.7所示

,

注:(z)=f(z)

标准常态分配Z之累积分配函数c.d.f.F(z)为

F(z)=P(zz)=-zf(t)dt=(z)

注:(i)因为积分复杂故需藉由查表才能求得机率值

(ii)P(a<Z<b)=P(aZ<b)=P(a<Zb)=P(aZb)=(b)-(a)(iii)P(Z>c)=1–P(Zc)=(c)7.3标准常态分配7.3标准常态分配查表I.给定分位数z求机率值

1.P(Z>1.96)=0.0252.P(Z>-1.96)=0.9753.P(0.15<Z<1.96)=0.41544.P(|Z|<1)=P(-1<Z<1)=0.6826P(|Z|<2)=P(-2<Z<2)=0.9544P(|Z|<3)=P(-3<Z<3)=0.99745.(i)分位数z四舍五入:P(Z<1.458)=P(Z<1.46)=0.9279(ii)内差法:P(Z<1.458)=0.2

P(Z<1.45)+0.8

P(Z<1.46)=0.20.92265+0.80.9279=0.927627.3标准常态分配查表II.给定机率值

求分位数z1.P(Z<a)=0.025a=-1.962.P(0.15<Z<b)=0.4154b=1.963.P(|Z|<c)=0.6826c=14.(i)利用机率值

近似值:P(Z>d)=0.10d=1.28(ii)利用内差法:P(Z>d)=0.10d=0.81.28+0.21.29=1.282注:以下为比较常用分位数z(1)P(Z>z)=0.10z=1.282

(2)P(Z>z)=0.05z=1.645(3)P(Z>z)=0.025z=1.96(1)P(Z>z)=0.01z=2.326图7.7标准常态分配7.3标准常态分配(续)7.3标准常态分配(续1)标准常态分配之性质标准常态分配系以0为中心之对称分配，即

P(Z0)=P(Z0)=0.5。2.标准常态机率函数下之面积总和等于1。常态分配曲线的尾部两端无限延伸。X~N(,2),X转换标准常态分配Z之公式:Z=(X-)/~N(0,1)

求p(a<X<b)时需将X转换为Z=(X-)/

即p(a<X<b)=p(a*<Z<b*)=p(查表)

如P(X)=P(Z0)=0.5P(X-)=P(Z1)=0.8413表7.1标准常态机率表7.3标准常态分配(续2)验证经验法则：7.3标准常态分配(续3)图7.8标准常态分配曲线下之面积7.3标准常态分配(续4)例7.3求P(Z>0.72)之机率值。解：例7.3求P(-0.12Z0.72)之机率值。解：求P(0.12

Z

0.72)之机率值。解：例7.37.2常态分配(续3)

因为X之分布呈钟形分布,对照经验法则(i)P(|Z|1)=0.68,(ii)P(|Z|2)=0.95,(iii)P(|Z|3)=0.68图7.4常态分配曲线下之面积X~N(,2)

，X介于a和b之机率值，其程序必须先将常态随机变量X透过标准化转换为标准常态随机变量Z，即。7.4常态分配机率之计算例7.6大学联考成绩某次大学联考，考生之分数呈现常态分配，其中

=500、

=100，现随机抽取一人，其成绩介于325和675分之间的机率为何？随机抽出5个人时,试问只有2个人成绩介于325和675分之间的机率为何？解：令随机变量X定义为考生之大学联考成绩，则X之机率分配为平均数

=500、标准差

=100之常态分配，故考生成绩介于325和675分之间的机率为例7.6大学联考成绩(续)大学联考成绩(续)(2)p=P(325X675)=0.9198

令Y表此5人成绩介于325和675分之间的人数,所以Y为近似二项式分配,Y

B(n,p),其中n=5,p=0.9198P(Y=2)=C25(0.9198)2(0.0802)3=0.0044注:此Y~HG(N,K,5),因为n/N<0.05

所以YB(n,p),其中n=5,p=0.9198

若某生想考上国立大学，则成绩须名列前15%才有希望，试问他必须考多少分才有希望考上国立大学？(求分位数)解：假设某生必须考a分才有希望考上国立大学，则例7.7续例7.6

因此， 查表可知 所以某生必须考604分才有希望考上国立大学。例7.7续例7.6(续)7.5二项分配与常态分配之关系二项分配vs.常态分配二项分配，若试验次数n固定，则当p<0.5时，其分配呈现右偏；当p>0.5时，其分配呈现左偏；当p=0.5时，其分配呈现对称。二项分配，若试验次数n愈大时，则无论成功机率p值为何，其分配会愈来愈呈现对称的情形。在实务应用中，只要当np

5且n(1－p)

5时，则可使用常态分配作为二项分配之近似分配。

X~B(n,p)X~N(np,npq)

np

5且n(1－p)

5

27.5二项分配与常态分配之关系(续)连续校正因子(correctionforcontinuity)二项分配系属于间断机率分配，其随机变量之任一可能值发生的机率是存在的，而常态分配系属于连续机率分配，其随机变量之任意可能数值发生的禨率皆为0。连续校正因子系指加减0.5个单位。透过连续校正因子，可利用常态分配来求得二项分配的机率。图7.18B(10,0.5)和N(5,2.5)之比较7.5二项分配与常态分配之关系(续1)图7.19二项分配和常态分配之比较7.5二项分配与常态分配之关系(续2)7.5二项分配与常态分配之关系(续3)连续校正因子的使用方式设X为二项分配(X~B(n,p))，Y为常态分配(Y~N(np,npq))P(a<X<b)P(a+0.5Yb-0.5)P(a

X<b)P(a-0.5Yb-0.5)P(a<X

b)P(a+0.5Yb+0.5)P(a

X

b)P(a-0.5Yb+0.5)注:以上将Y转为Z分配,Z=(Y–np)/(npq)1/2当计算Xa之机率时，因包含a点，故以Ya－0.5之机率为近似值。当计算X>a之机率时，因不包含a点，故以Ya＋0.5之机率为近似值。当计算Xb之机率时，因包含b点，故以Yb＋0.5之机率为近似值。当计算X<b之机率时，因不包含b点，故以Yb－0.5之机率为近似值。例7.8丢掷一均匀铜板50次丢掷一均匀铜板50次，试问：其出现20次正面之机率为何？其出现正面的次数超过20次，但少于30次之机率为何？解：1.令随机变量X为50次中出现正面的次数，则X~B(50,0.5)P(X=20)=C2050(0.5)20(0.5)30=C2050(0.5)50=0.04186

因为np=255且nq=255

所以XY~N(25,12.5)P(X=20)

P(20Y20)=P(19.5Y20.5)=P(-1.56Z-1.27)=0.0426

例7.8丢掷一均匀铜板50次(续)现令随机变量，因且，故

利用常态分配求得之机率值与二分配之机率值非常相近。例7.8丢掷一均匀铜板50次(续1)2.同理可得

P(20<X<30)=

2129Cx50(0.5)x(0.5)50-x

例:续前例,若此铜币为不公平,即正面出现率为反面3倍,试回答上述4题结果例7.8丢掷一均匀铜板50次(续2)两独立常态分配变量定理:

若X~N(

1,12),Y~N(

2,22)且X,Y独立则

(1)当W=X+Y,则W~N(

1+2,12+22)(2)当W=X-Y,则W~N(

1-2,12+22)(3)当W=kX,则W~N(k

1,k2

12)(4)当W=kX+cY,则W~N(k

1+c2,k2

12+c2

22)补充:均匀分配(Uniformdistribution)定义:均匀分配若连续变量X为均匀分配,以X~U(a,b)

则X之机率密度函数p.d.f.f(x)为

f(x)=1/(b-a),a

x

b注:(i)f(x)图形为水平线

(ii)X之c.d.fF(x)=(x-a)/(a-b),a

x

bF(x)图形为斜率为1/(b-a)之直线

(iii)X~U(0,1)为标准均匀分配,Y=F(X)~U(0,1)其中X为任何分配之变量定理:

若X~U(a,b),则=(a+b)/2,2=(b-a)2/12注:若X为间断均匀分配(f(x)=1/n,x=1,2,...,n)

则=(1+n)/2,2=(n2–1)/12均匀分配例:

假设某班次火车开车时间依过去记录在上午8:10~8:20，假设开车时间(X:分)呈均匀分配，试回答下列问题

(1)某人在上午8:13到车站，则此人可搭上此班火车机率

(2)试问此班火车平均开车时间解:X~U(10,20)c.d.f.F(x)=(x-10)/(20-10)(1)P(X>13)=1–P(X13)=1–3/10=0.7(2)E(X)=(10+20)/2=15

所以此班火车平均开车时间为上午8:15注:某人在上午8:00到车站，则此人可搭上此班火车机率为1P(X>0)=P(X>10)=1–P(X10)=1-0=1补充:指数分配(Exponentialdistribution)定义:指数分配若连续变量X为指数分配,以X~Exp(

)则X之机率密度函数p.d.f.f(x)为

f(x)=(1/)e-x/,x>0注:(i)f(x)图形为严格下降曲线

(ii)X表两事件发生之间隔时间

(iii)

为间隔时间期望值(即(X)=),(ii)和(iii)时间单位需一致

(iv)指数分配的参数

单位为

平均时间/次波松分配的参数

单位为

平均次数/单位时间

指数分配定义:指数分配若连续变量X为指数分配,以X~Exp(

)则X之机率密度函数p.d.f.f(x)为

F(x)=P(Xx)=1-e-x/,x>0注:(i)P(Xa)=1-e-a/

(ii)P(X>a)=e-a/

(iii)P(aXb)=P(Xa)–P(X>b)=e-a/-e-b/

定理:

若X~Exp(

)则=E(X)=,2=2指数分配例:

假设某超市客人进入流程是稳定流程,依过去记录平均每4分钟进来一个客人,令X(分)表两客人进入此超市之间隔时间,试回答下列问题:(1)X之分配为何

(2)若某客人于上午9:00进入后,求下一位在上午9:04~9:08进入之机率

(3)若某客人于上午9:00进入后,经8分钟仍无人进入之机率

(4)若某客人于上午9:00进入后,后面有5个客人依序进来中,

试问只有两人之间隔时间超过4分钟之机率

(5)若某客人于