浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版）

绝密★考试结束前2024学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题命题：奉化中学丁少杰、孙圣审题：临安中学方铭象山中学许泽建校稿：求莲萍考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟：2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名，座位号写在指定位置：3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效：4．考试结束后，只需上交答题卷。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（）A.4 B.5 C.6 D.74.过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（）A. B. C. D.5.有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（）A. B. C. D.6.已知函数为自然对数的底数，），若直线是图象的切线，则的值为（）A. B.1 C. D.7.长方体中，，点分别是棱和的中点，点在侧面（包括边界）移动．若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（）A. B. C. D.8.已知函数，若当且仅当，则的最小值为（）A.2 B.0 C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A若与互斥，则 B.若与相互独立，则C.若，则与相互独立 D.若，则10.已知，且，若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.11.是定义在区间上的函数，若存在二元函数满足：①且；②：则称为在上的“面积”系统．下列说法正确的是（）A.若为常数，则在上有唯一的“面积＂系统B.若为在上的“面积”系统，则C.是在上的“面积”系统D.若则上有无数个“面积”系统第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成_______个四位数．13.已知非零向量满足，且，则与的夹角为_______．14.已知是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的公差不为0，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和.16.在中，分别是角的对边，已知是锐角，且．（1）若，求实数的值；（2）若，求面积最大值．17.如图，已知是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上任意一点．（1）求证：平面；（2）若，二面角的大小为，则是否存在点满足，，使得且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.已知椭圆的离心率为为的左，右焦点，为的右顶点，为的上顶点，且周长为，直线交于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率之积恒为，求证：直线恒过定点．（3）若直线恒过，则否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由．19.“田忌赛马”我国历史上有名的“以弱胜强”的事例．齐王有匹马，田忌有匹马，且这匹马在比赛中的胜负可用如下不等式表示：①且；②且．这里，表示“马与马比赛，马获胜”．一天，