河南省新未来2024-2025学年高二下学期期中数学试题（解析版）

2024~2025学年度高二年级4月质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线与直线垂直，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用两条直线互相垂直列式求解.【详解】由直线与直线垂直，得，所以.故选：C2.已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】数形结合得到，结合，求出离心率.【详解】由题意得，故，又，则E的离心率为.故选：B3.若随机变量的分布列如表，则的值为（）1234A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果．【详解】根据题意可得，所以.故选：A.4.直线l：与圆O：相交于A，B两点，当时m的值为（）A.10 B.8 C.6 D.4【答案】A【解析】【分析】利用向量积的定义求出，进而求出圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解.【详解】依题意，，解得，而，则，，于是点到直线的距离，因此，而，所以.故选：A5.已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，，过点的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且，，则C的实轴长为（）A.1 B.6 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义列式求出，进而求出实轴长.【详解】设，则，因此，解得，所以C的实轴长.故选：D6.已知函数有最大值，则a的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对函数求导并根据参数的取值进行分类讨论得出其单调性，再由最大值解方程可得.【详解】易知，且；令，解得或（舍）；显然当时不合题意，当时，若，易知，此时函数在上单调递增，若，易知，此时函数在上单调递减；所以在处取得极大值，也是最大值，即，解得，符合题意；当时，若，易知，此时函数在上单调递减，若，易知，此时函数在上单调递增；此时无最大值，不符合题意；综上可知，.故选：A7.用五种不同颜色涂料涂在如图所示的五个区域，相邻两个区域不能同色，且至少要用四种颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.480 C.420 D.360【答案】C【解析】【分析】按照分类加法和分步乘法计算原理，对5个区域进行分步、分类涂色即可.【详解】根据题意可知，完成涂色需要分5步，按照顺序依次涂区域CADEB，C区域有5种颜色可选，A区域有4种颜色可选，D区域有3种颜色可选；若E区域与D区域颜色相同，E区域有1种颜色可选，则B区域有3种颜色可选；若E区域与D区域颜色不同，E区域有2种颜色可选，则B区域有2种颜色可选；再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种.故选：C8.将数列和中所有的元素按从小到大的顺序排列构成数列（若有相同元素，按重复方式计入排列），则数列的前50项和为（）A.2160 B.2240 C.2236 D.2490【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到数列的前50项和中有中元素46个，中元素4个，再求即可.【详解】由题知：中第50个数为，第41个数为，因为，，则数列的前50项和中含中元素46个，含中元素4个，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】写出随机变量的分布列，利用两点分布的期望和方差以及期望的性质可判断各选项.【详解】由题意可知，随机变量的分布列如下表所示：所以，，，，.故选：ABD.10.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，，则在上的投影向量的坐标为【答案】BCD【解析】【分析】确定是否共线判断A；由空间向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D.【详解】对于A，当时，，显然不共线，因此与平面不垂直，A错误；对于B，由，得，则，即，B正确；对于C，当时，，则，C正确；对于D，当时，，，因此在上的投影向量为，D正确.故选：BCD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若恰有3个零点，则B.若恰有3个零点，则C.若恰有4个零点，则a的取值范围是D.若恰有4个零点，则a的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】由函数零点的意义，分离参数，构造函数，利用导数探讨函数的单调性及极值情况，再结合选项判断即可.【详解】函数的定义域为R，当时，，于是，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象交点个数，求导得，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递增，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，而，则存在，使得，当或时，，当时，，于是函数在上单调递增，在上单调递减，又，则存在，使得，当或时，；当或时，，于是函数有4个零点，且，当或或时；当或或时，，函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，因此当时，直线与函数的图象最多两个交点；函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，，，由，得，当时，取得极小值，，同理，对于AB，恰有3个零点，即直线与函数的图象有3个交点，则，A正确，B错误；对于CD，恰有4个零点，即直线与函数的图象有4个交点，则，C错误，D正确.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数是______.（用数字作答）【答案】5【解析】【分析】先得出的展开式的通项为.分为从中选择1，以及选择，分别求出的展开式中含以及含的项，即可得出答案.【详解】的展开式的通项为.从中选择1，则需求的展开式中含的项，由可得，，此时有；从中选择，则需求的展开式中含的项，由可得，，此时有.所以，的展开式中含的项为.故答案为：5.13.从1，2，3，4，5，6，7这7个数中任取3个不同的数，则这3个不同的数的中位数为4的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据排列组合即可结合古典概型的概率公式求解.【详解】从这7个数中任取3个不同的数，所有的情况有种，要使得这3个不同数的中位数为4，则需要从1,2,3中任选一个数，从5,6,7中任选一个数，再加上4，即可满足，故有,故概率为，故答案为：14.已知抛物线E：，O为坐标原点，直线l交抛物线E于A，B两点（A，B在x轴两侧），过点O向直线l作垂线，垂足为C，且，则点C到x轴的最大距离为______．【答案】4【解析】【分析】根据给定条件，借助相似三角形性质可得，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出直线所过定点即可得解.【详解】由于，，得∽，则，，即，设直线的方程为，点，由消去得，则，，由，得，而，解得，因此直线恒过定点，点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），所以点到x轴的最大距离为.故答案为：4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.若，其中．（1）求m的值；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）写出项的系数解方程即可得；（2）利用赋值法分别求出各项系数的和，再利用因式分解计算可得结果.【小问1详解】易知展开式中含项为，因此可得，即；解得；【小问2详解】由（1）可知，二项式为，令，可得；令，可得;因此可得.16.已知椭圆C：的焦距为，且椭圆C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：与椭圆C交于不同的A，B两点，与x轴交于点D，证明：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出而得椭圆C的方程.（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理计算得证.【小问1详解】由椭圆C：过点，得，而椭圆的半焦距，则，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由消去得，设，，则，，而，因此，所以为定值.17.设甲盒有4个白球，2个红球，乙盒有2个白球，4个红球，现从甲盒中任取2个球放入乙盒中，再从乙盒中任取1个球．（1）记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求的分布列和数学期望；（2）求从乙盒取出的1个球为红球的概率．【答案】（1）分布列见解析，期望；（2）【解析】【分析】（1）写出的所有可能取值并求得对应概率，可求得分布列和期望；（2）利用全概率公式计算可得结果.【小问1详解】易知的所有可能取值为，所以，因此的分布列为：012数学期望.【小问2详解】设“从甲盒中任取2个球全为红色”为事件，“从甲盒中任取2个球为一红一白”为事件，“从甲盒中任取2个球全为白色”为事件，“从乙盒取出的1个球为红球”为事件，易知；；所以.即从乙盒取出的1个球为红球的概率为.18.已知数列的前n项和为，且．（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）记，记数列的前n项和为．①求；②若存在，使得，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析，；（2）①；②.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式.（2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可.【小问1详解】数列中，，当时，，两式相减得，整理得，于是，而，即，则，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，.【小问2详解】①由（1）知，，，.②由①知，，，，而数列单调递增，则，因此，由存，使得，得，所以的取值范围是.19.已知函数．（1）若，求证：上单调递减；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由，，利用求导判断单调性；（2）利用求导，分类讨论求解的范围；（3）根据（2），进行放缩，令代入整理，累加可得.【小