2023~2024学年高考热身数学文试卷一模带解析

2023-2024学年全国通用高考热身数学（文）试卷（一模）一、单选题1．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据集合的运算，先找到，再求交集.【详解】根据题意，，则,集合，.故选：B.2．已知为虚数单位，若复数，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】利用模长公式求出复数的模长.【详解】.故选：B3．某公司有员工15名，其中包含经理一名．保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（

）A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差【正确答案】A【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解.【详解】由题意，公司15名员工的工资情况组成15个数据，按大小顺序排列，排在中点的数是中位数，取到一个最大值和一个最小值，剩余13个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变；平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化；极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化.故选：A.本题主要考查统计知识的应用，其中解答中涉及到中位数、平均数和方差、极差的概念及应用，属于基础题.4．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【正确答案】C【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A的正误；考虑直线是否在平面内可得选项B的正误；选项C根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D考虑直线与平面的位置关系可得正误.【详解】对于选项A，缺少共面的条件，因此得不到，直线还可以互为异面直线，故A错误；对于选项B，直线还可以在平面内，故B错误；对于选C，由得分别为的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C正确；对于选项D，直线与平面或平行，或相交，或直线在平面内，故D错误.故选：C.5．已知，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】.故选：D6．如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量的线性运算进行向量的基底表示，即可得的值.【详解】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所以.又，所以.故选：C.7．在区间上任取一个数，则取到的数大于2的概率为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据题意，由几何概型计算公式即可得到结果.【详解】由于此数大于，则所求事件构成的区域长度为，且在区间上任取一个数所构成的区域长度为，则所求的概率为故选:C8．已知，则的最小值为A．6 B．4 C． D．【正确答案】A【详解】因为，而（当且仅当时取等号），故（当且仅当取等号），应选答案A．9．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据函数的周期性，奇偶性及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由，得，则，所以的周期为，因为函数是定义在实数集上的偶函数，所以，为无理数，所以，，所以.故选：D.10．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】将三棱锥补全为长方体，各条棱分别为长方体的面对角线，根据长方体外接球为其体对角线的一半可求得所求的外接球半径，由球的表面积公式可得结果.【详解】可将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球.设长方体的长、宽、高分别为，则，，所求外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积.故选：B.关键点点睛：本题考查多面体外接球的求解问题，解题关键是能够通过将三棱锥补全为长方体，将问题转化为长方体外接球的求解.11．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于拋物线的轴.如图所示，从拋物线的焦点向轴上方发出的两条光线分别经抛物线上的两点反射，已知两条入射光线与轴所成角均为，且，则两条反射光线之间的距离为（

）A． B．4 C．2 D．【正确答案】D【分析】由题意得，则可求出直线的方程，分别与抛物线方程联立表示出的坐标，由结合抛物线的定义可求出，从而可求出两点纵坐标的差，即可得两条反射光线之间的距离.【详解】由题意得，因为，所以直线的斜率为，所以直线为，由，得，解得或，所以，同理直线的方程为，由，得，解得或，所以，因为，所以，所以，解得，所以两条反射光线之间的距离为，故选：D12．关于函数，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；②函数的极值点不可能是；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【正确答案】D把函数的零点转化为函数的零点，即可判断①；求得后代入，根据是否为0即可判断②；设的两个实数根为，且，结合①可得当时，，再证明即可判断③；即可得解.【详解】由题意函数的零点即为函数的零点，令，则，所以方程必有两个不等实根，，设，由韦达定理可得，故①正确；，当时，，故不可能是函数的极值点，故②正确；令即，，设的两个实数根为，且，则当，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以为函数极小值；由①知，当时，函数，所以当时，，又，所以，所以，所以为函数的最小值，故③正确.故选：D.本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.二、填空题13．计算：______．【正确答案】1利用可得结果.【详解】.故1本题考查了常用对数，考查了对数的运算法则，属于基础题.14．数独是一种非常流行的逻辑游戏.如图就是一个数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的未知数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线官内的数字均含1—6这6个数字（每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现），则图中的______.【正确答案】17【分析】根据题中要求每一行、每一列、每一个粗线官内的数字均含1—6这6个数字，且不重复，分析每行、每列所缺数字，填入表中，即可得答案.【详解】由题意得：第2列缺少2，则第4行第2列为2，所以第3行第1列为5，所以第1列缺少1和6，则a+c=7,第4行缺少5，所以第4行第6列为5，所以第6列缺少4和6，则b+d=10，所以故1715．已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为______【正确答案】【分析】根据中位线定理，圆的切线的性质得理解三角形，结合椭圆定义利用勾股定理得出关系，并结合得出关系从而得离心率．【详解】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点，连接OE，，∵E，O分别是，的中点，∴EO，且||=2|EO|=2b，OE⊥，∴⊥，||=2c，∴||=，根据椭圆的定义，||+||=2a，∴，两边平方得：，代入并化简得：，，，故．16．已知函数的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围为______.【正确答案】【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的对称轴和对称中心可求出结果.【详解】,当时，为常数，不合题意，当，时，，要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则，即，当，时，，要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则，即.故答案为.三、解答题17．数列前项和为，满足：，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求和.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.（1）由递推关系结合可得即可证明；（2）由（1）求出，分组求和法即可求出.【详解】（1）由可得，即∵，，∴，∴，∴对任意恒成立，故数列是以为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）知：，即，故.18．考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：成绩性别合格不合格合计男性4510女性30合计105(1)完成此表；(2)根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.参考公式：①相关性检验的临界值表：0.400.250.150.100.050.0250.100.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635②卡方值计算公式.其中.【正确答案】(1)答案见解析(2)可以，有97.5%的把握【分析】（1）直接根据题意即可完成表格；（2）计算得出，根据独立性检验思想即可得结果.【详解】（1）成绩性别合格不合格合计男性451055女性302050合计7530105（2）假设：性别与考试是否合格无关，.若成立，，∵，∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关.19．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，且，.（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的侧面积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由平面得，再结合几何关系得，进而平面，再根据判定定理即可得平面平面.（2）由（1）知平面四棱锥的四个侧面均为直角三角形，再计算即可得答案.【详解】（1）由，知，故，又，，，平面，所以平面.因为平面，所以.又在直角梯形中，易求得，所以，故.又，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面四棱锥的四个侧面均为直角三角形，所以，，，.故四棱锥的侧面积为.20．已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒成立，求实数a的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析；（2）.（1）求导，分和两种情况讨论分析单调性即可；（2）由已知不等式可令，通过恒成立，得到；再证明当时，在时恒成立.利用放缩法得到，所以只需证在时恒成立.记，求导，结合导数研究函数的最值，即可求解.【详解】解：（1），①当时，恒成立，即函数在递减；②当时，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由题意，即当时在时恒成立，即在时恒成立.记，则，记，在递增，又，当时，得.下面证明：当时，在时恒成立.因为.所以只需证在时恒成立.记，所以，又，所以在单调递增，又，所以，单调递减；，单调递增，所以，∴在恒成立.即在时恒成立.综上可知，当在时恒成立时，实数a的取值范围为.方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.21．已知椭圆E:的一个焦点为,长轴与短轴的比为2:1.直线与椭圆E交于P､Q两点,其中为直线的斜率.(1)求椭圆E的方程;(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线的斜率取何值,定圆O恒与直线相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.【正确答案】(1)(2)存在,.的取值范围是（1）根据题意直接计算出得到答案.（2）设直线OP的方程为:点的坐标为,则,联立方程组，设坐标原点O到直线的距离为d,则有，得到，计算得到答案.【详解】(1)由已知得:解得:椭圆E的方程为(2)假设存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切.这时只需证明坐标原点O到直线的距离为定值即可.设直线OP的方程为:点的坐标为,则,联立方程组①以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,,直线OQ的方程为:在①式中以换t,得②又由知:设坐标原点O到直线的距离为d,则有又当直线OP与轴重合时,此时由坐标原点O到直线的距离为定值知,所以存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切,定圆O的方程为:.直线与轴交点为,且点不可能在圆O内,又当k=0时,直线与定圆O切于点,所以的取值范围是本题考查了椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22．已知点在曲线上．(1)求动点的轨迹C的参数方程，并化为直角坐标方程；(2)过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．【正确答案】(1)参数方程为，为参数；直角坐标方程为(2)【分析】（1）先将曲线化为参数方程，可得到动点，从而得到点M的轨迹C的参数方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先设l的参数方程，再代入曲线C的方程得，再结合韦达定理和同角三角函数的基本关系求解即可．【详解】（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数，则，再设，则，为参数