2024-2025学年山东省重点高中高二下学期3月大联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1山东省重点高中2024-2025学年高二下学期3月大联考数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在处的导数为3，则（）A.3 B. C.6 D.【答案】B【解析】因为函数在处的导数为3，所以，所以．故选：B.2.已知函数，则的值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，则，故选：D.3.设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，∴．∵，∴．故选：C．4.已知函数有极值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，根据题意得，解得或，所以实数a的取值范围是.故选：D．5.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，其中，令，解得，令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，，因为在上恒成立，所以，，解得.故选：B6.若函数存在零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，则，令，则，当得，单调递增，当得，单调递减，所以，，当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，所以函数存在零点，则.故选：D.7.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，、关于轴对称，∴与在上有交点，则在有解，令，则，，∴在上递增，而，∴在上，递减；在上，递增；∴，故只需即可，得.故选：B8.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，所以在R上单调递增，由，得，即，又在R上单调递增，所以，解得，即不等式的解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值【答案】ACD【解析】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：ACD．10.已知函数图象上的一条切线与的图象交于点M，与直线交于点N，则下列结论不正确的有（）A.函数的最小值为B.函数的值域为C.的最小值为D.函数图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为【答案】ABD【解析】已知，当时，，当时，，故选项A、B不正确；设直线l与函数的图象相切于点，函数的导函数为，则直线l的方程为，即，直线l与的交点为，与的交点为，所以，当且仅当时取等号，故选项C正确;，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D不正确．故选：ABD11.已知函数，则（）A.当时，函数的减区间为B.当时，函数的图象是中心对称图形C.若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为D.若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为【答案】AB【解析】由，对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确；对于B选项，当时，，又由，可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确；对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点；当时，令，可得或，若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误；对于D选项，设切点为（其中），由切线过原点，有，整理为，令，有，可得函数的减区间为，增区间为，又由时，；时，；及，可知当时，关于m的方程有且仅有3个根，可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误，故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的导函数满足关系式，则_________．【答案】【解析】由，函数两边求导得：，令，则，所以代入函数得：．故答案为：13.已知函数，则曲线在处的切线斜率为______________.【答案】【解析】由，可知，所以.故答案为：.14.若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最小值是_____________．【答案】【解析】由，可得，，可得，令，可得，令，有，令，可得；令，可得；可知函数的增区间为，减区间为，所以，故，即a的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数解析式；（2）当时，求函数的最值．解：（1）因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；（2）由（1）知，令，则，解得，或，当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．16.已知函数的图象经过点．（1）求曲线在点A处的切线方程；（2）求曲线经过坐标原点的切线方程．解：（1）依题意可得，则，∴，∵，∴，∴曲线在点处的切线方程为，即；（2）设过原点的切线方程为，则切点为，则消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程为和．17.如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？解：（1）在中，因为，所以，设圆柱的底面半径为r，则，即，所以，定义域为（2）由（1）得，，，令，则，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是18.已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若直线为的切线，求a的值.（3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.解：（1）由，，当时，，在单调递增，当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上，当时，在单调递增，无单调减区间；当时，在区间上单调递减，在上单调递增.（2）设切点为，依题意，，所以，又，代入可得，，设，则，所在单调递增，因为，所以，.（3），，所以曲线在处的切线方程为，即，设，，，①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意；②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意；③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；综上，a的取值范围是.19.约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件：①函数在区间上连续（函数图象没有间断）；②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．（1）求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；（2）对于任意的实数，，证明：；（3）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．解：（1）因为，，，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为.（2）设，有，易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，显然有，当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，有，又由，有，可得，由上知，不等式成立.（3）由，有，又由，设，有，可得函数单调递增，由拉格朗日中值定理可知，存在，使得，同理可知，存在，使得，又由和函数单调递增，有，有，由化简可得，故不等式成立．山东省重点高中2024-2025学年高二下学期3月大联考数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数在处的导数为3，则（）A.3 B. C.6 D.【答案】B【解析】因为函数在处的导数为3，所以，所以．故选：B.2.已知函数，则的值为（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，则，故选：D.3.设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，∴．∵，∴．故选：C．4.已知函数有极值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，根据题意得，解得或，所以实数a的取值范围是.故选：D．5.已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，则，其中，令，解得，令，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以，，因为在上恒成立，所以，，解得.故选：B6.若函数存在零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，则，令，则，当得，单调递增，当得，单调递减，所以，，当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，所以函数存在零点，则.故选：D.7.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，、关于轴对称，∴与在上有交点，则在有解，令，则，，∴在上递增，而，∴在上，递减；在上，递增；∴，故只需即可，得.故选：B8.已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，所以在R上单调递增，由，得，即，又在R上单调递增，所以，解得，即不等式的解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值【答案】ACD【解析】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.故选：ACD．10.已知函数图象上的一条切线与的图象交于点M，与直线交于点N，则下列结论不正确的有（）A.函数的最小值为B.函数的值域为C.的最小值为D.函数图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为【答案】ABD【解析】已知，当时，，当时，，故选项A、B不正确；设直线l与函数的图象相切于点，函数的导函数为，则直线l的方程为，即，直线l与的交点为，与的交点为，所以，当且仅当时取等号，故选项C正确;，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D不正确．故选：ABD11.已知函数，则（）A.当时，函数的减区间为B.当时，函数的图象是中心对称图形C.若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为D.若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为【答案】AB【解析】由，对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确；对于B选项，当时，，又由，可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确；对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点；当时，令，可得或，若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误；对于D选项，设切点为（其中），由切线过原点，有，整理为，令，有，可得函数的减区间为，增区间为，又由时，；时，；及，可知当时，关于m的方程有且仅有3个根，可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误，故选：AB．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的导函数满足关系式，则_________．【答案】【解析】由，函数两边求导得：，令，则，所以代入函数得：．故答案为：13.已知函数，则曲线在处的切线斜率为______________.【答案】【解析】由，可知，所以.故答案为：.14.若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最小值是_____________．【答案】【解析】由，可得，，可得，令，可得，令，有，令，可得；令，可得；可知函数的增区间为，减区间为，所以，故，即a的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．（1）求函数解析式；（2）当时，求函数的最值．解：（1）因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；（2）由（1）知，令，则，解得，或，当时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．16.已知函数的图象经过点．（1）求曲线在点A处的切线方程；（2）求曲线经过坐标原点的切线方程．解：（1）依题意可得，则，∴，∵，∴，∴曲线在点处的切线方程为，即；（2）设过原点的切线方程为，则切点为，则消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程为和．17.如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？解：（1）在中，因为，所以，设圆柱的底面半径为r，则，即，所以，定义域为（2）由（1）得，，，令，则，解得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是18.已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若直线为的切线，求a的值.（3）已知，若曲线在处的切线