2024-2025学年云南省昆明市高一下学期3月联考数学数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1云南省昆明市2024-2025学年高一下学期3月联考数学数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，可解得：，则；综合可得或，而，因此，．故选：B．2.已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由角的终边与单位圆的交点坐标为，可知，则.故选：D．3.设向量，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，由可得，故A错误，对于B，，故B错误，对于C，，所以，故C正确，对于D，，故不平行，故D错误.故选：C.4.若空间中三条不同的直线满足，且，则直线与直线必定（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.异面【答案】B【解析】由于，且，则.故选：B.5.已知向量，且，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，所以在方向上的投影向量为.故选：C．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，将代入，可得.故选：A．7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；构造函数，其中，，其中，同一坐标系内画出三个函数的图象，如下：因，结合函数图像可以得到，即.故选：C．8.某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（）cm．A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积），可得，解得，即.故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.若复数（为虚数单位），则（）A.B.的虚部为C.的共轭复数为D.在复平面内对应的点位于第一象限【答案】AD【解析】因为，则，故A正确；的虚部为，故B错误；的共轭复数为，故C错误；在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.故选：AD.10.已知函数，则（）A.为周期函数B.的最大值为2C.存在，使得的图象关于对称D.存在，使得的图象关于点对称【答案】ABC【解析】，所以是周期函数，A正确；由于，若的最大值为2，则，显然两者可以同时取到1，即，故B正确；取时，均以为对称轴，因此是的对称轴，故C正确；令，则，令，则，则，若则，由于故为奇数，而为偶数，因此与不可能相等，故不存在，使得的图象关于点对称，故D错误.故选：ABC．11.已知中，内角的对边分别为，为的外心，，，且有．若．则下列结论正确的是（）A. B.内切圆半径C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，即，即，解得，又，所以，所以A正确；对于B，，由余弦定理得，故，故的周长，设内切圆为，由得，所以B错误；对于C，如图，分别取的中点，连接，则，所以，，所以，所以C正确；对于D，，由，可知，得，解得：，故，所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在复数范围内方程的解为________.【答案】，【解析】方程，即，解得，.13.已知中，，点是线段上的动点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，即，因为，且，所以当分别位于时，此时时，，当均位于时，最大，最大，，所以的取值范围为．14.某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为______．题号人赵钱孙李周吴1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411【答案】14分【解析】解法一：分析可得，无论每道题的结果如何，每道题前五人的得分比吴的得分多2分，则吴的得分为：，加上基本分后为14．解法二：由于前四个人只有钱得分是11分，则钱答对两个题，答错三个题，不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共14分；题号人赵钱孙李周吴1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411对于6个人而言，前4个题，6个人答案都是三个√，三个错，那前4个题，每个题都是3个人对，3个人错；前4个题的总分为：分；现在考虑第5题，共5个√，一个×，若第5题正确答案是“×”，那么第5个题的得分是：分，最终5个题的总得分为69分；而从得分来看，分，于是吴得分是2分，矛盾；于是第5题正确答案是“√”，第5题的得分是：分，6个题的总分为：81分，于是吴得14分．解法三：考虑第一，二题孙的答案是对的，（1）若孙第三题答案也是对的，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孙第三题答案是错的，钱最后两题只能全对，与周11分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考虑孙第一题对，第二题答案是错的.（3）若孙第三题答案是对的，则赵最后两题全对，与孙14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考虑孙第一题错，第二题答案是对的.（5）若孙第三题答案是对的，则李最后两题全对，与孙14分矛盾；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，此时正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考虑孙第一题错，第二题答案是错的，则孙后三题全对，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411综上所述：正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分．四、解答题.15.已知中，是直角，，点是的中点，为上一点．（1）设，，当，请用，来表示，．（2）当时，求证：．解：（1）由题意知点是的中点，故，则；.（2）以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，设，则，当时，E为线段靠近B的三等分点，则，故，则，即，故.16.已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位后，得到新函数，且新函数的图象关于轴对称．（1）求的值及函数的解析式；（2）已知为中的三个内角，，求的值．解：（1），函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期为，故图象关于轴对称，即函数为偶函数，故，因为则故.（2）由得，由于，所以．.17.在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点．（1）若为的中点，且，求；（2）若的面积为，且平分，求的长．解：（1）在中，，因为为的中点，所以，两边平方得，则，解得.（2）因为平分，所以，又，即，所以，解得，.18.在中，角的对边分别为，若．（1）求；（2）若，证明：是直角三角形．（3）若是锐角三角形，，求面积的取值范围．解：（1）由可知，从而由正弦定理得.故，这就得到，故.此即，故，得或，这里.结合，就知道.（2）因为，由余弦定理可得.又因为，故.这就得到.所以或，即或，从而必有是直角三角形．（3）由正弦定理可得，故.而因为为锐角三角形，故，解得的范围是.从而的范围是，故的取值范围是.19.在中，内角对应的边分别为，，，．（1）求；（2）若为线段内一点，且，求线段的长；（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．解：（1）由，得，即，在中，由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以．（2）由，得，则，所以.（3）依题意，当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48.云南省昆明市2024-2025学年高一下学期3月联考数学数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，可解得：，则；综合可得或，而，因此，．故选：B．2.已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由角的终边与单位圆的交点坐标为，可知，则.故选：D．3.设向量，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A，由可得，故A错误，对于B，，故B错误，对于C，，所以，故C正确，对于D，，故不平行，故D错误.故选：C.4.若空间中三条不同的直线满足，且，则直线与直线必定（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.异面【答案】B【解析】由于，且，则.故选：B.5.已知向量，且，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，所以在方向上的投影向量为.故选：C．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，将代入，可得.故选：A．7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；构造函数，其中，，其中，同一坐标系内画出三个函数的图象，如下：因，结合函数图像可以得到，即.故选：C．8.某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（）cm．A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积），可得，解得，即.故选：D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.若复数（为虚数单位），则（）A.B.的虚部为C.的共轭复数为D.在复平面内对应的点位于第一象限【答案】AD【解析】因为，则，故A正确；的虚部为，故B错误；的共轭复数为，故C错误；在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.故选：AD.10.已知函数，则（）A.为周期函数B.的最大值为2C.存在，使得的图象关于对称D.存在，使得的图象关于点对称【答案】ABC【解析】，所以是周期函数，A正确；由于，若的最大值为2，则，显然两者可以同时取到1，即，故B正确；取时，均以为对称轴，因此是的对称轴，故C正确；令，则，令，则，则，若则，由于故为奇数，而为偶数，因此与不可能相等，故不存在，使得的图象关于点对称，故D错误.故选：ABC．11.已知中，内角的对边分别为，为的外心，，，且有．若．则下列结论正确的是（）A. B.内切圆半径C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，即，即，解得，又，所以，所以A正确；对于B，，由余弦定理得，故，故的周长，设内切圆为，由得，所以B错误；对于C，如图，分别取的中点，连接，则，所以，，所以，所以C正确；对于D，，由，可知，得，解得：，故，所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在复数范围内方程的解为________.【答案】，【解析】方程，即，解得，.13.已知中，，点是线段上的动点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，即，因为，且，所以当分别位于时，此时时，，当均位于时，最大，最大，，所以的取值范围为．14.某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为______．题号人赵钱孙李周吴1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411【答案】14分【解析】解法一：分析可得，无论每道题的结果如何，每道题前五人的得分比吴的得分多2分，则吴的得分为：，加上基本分后为14．解法二：由于前四个人只有钱得分是11分，则钱答对两个题，答错三个题，不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共14分；题号人赵钱孙李周吴1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411对于6个人而言，前4个题，6个人答案都是三个√，三个错，那前4个题，每个题都是3个人对，3个人错；前4个题的总分为：分；现在考虑第5题，共5个√，一个×，若第5题正确答案是“×”，那么第5个题的得分是：分，最终5个题的总得分为69分；而从得分来看，分，于是吴得分是2分，矛盾；于是第5题正确答案是“√”，第5题的得分是：分，6个题的总分为：81分，于是吴得14分．解法三：考虑第一，二题孙的答案是对的，（1）若孙第三题答案也是对的，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孙第三题答案是错的，钱最后两题只能全对，与周11分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考虑孙第一题对，第二题答案是错的.（3）若孙第三题答案是对的，则赵最后两题全对，与孙14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考虑孙第一题错，第二题答案是对的.（5）若孙第三题答案是对的，则李最后两题全对，与孙14分矛盾；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，此时正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考虑孙第一题错，第二题答案是错的，则孙后三题全对，与赵14分矛盾；赵钱孙李周吴1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411综上所述：正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分．四、解答题.15.已知中，是直