2025届福建省厦门市高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1福建省厦门市2025届高三二模试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴.故选：D.2已知向量，满足，则（）A.0 B.2 C. D.【答案】B【解析】由得，，∵，∴，即.故选：B.3.直线被圆所截得的弦长为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，所以所求弦长为.故选：A4.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，故，∵，∴，∴故选：C5.已知数列满足，，则的前6项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，当时，，显然，对于时也成立，所以，则的前6项和为.故选：C.6.已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，原点，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】当点为原点时，，由对称性不妨令点在第一象限，设点，而，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.故选：B7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，.∵函数在为减函数，∴，即，∵函数在为增函数，∴，即，∴.∵，，∴，∵，∴，由得，，由得，，综上得，.故选：A.8.已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，∵平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，令，则，故，∴点到平面的距离为，∴圆的半径为，由得，，∴，∴的最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.是奇函数D.当时，的图象与轴有2个交点【答案】AD【解析】由图可知：,故，,故，由于，则，故，故A正确，B错误，为偶函数，故C错误，令，则，故，当时，此时或故D正确，故选：AD10.某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】A.由题意得，，A错误.B.由题意得，，∴，B正确C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生，∴，∴，C正确.D.，D正确.故选：BCD.11.分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（）A.B.函数有2个零点C.函数的图象关于轴对称D.关于的方程的所有解的乘积为【答案】ACD【解析】依题意，，当时，；当时，，则，，对于A，，A正确；对于B，，由，解得，B错误；对于C，，令，，函数是偶函数，C正确；对于D，由，得或，而，则，即，该方程有且仅有一个正根，或，，该方程有且仅有一个负根，且，，该方程要么无解，要么一解，要么两个正根，且，所以关于的方程的所有解的乘积为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.【答案】【解析】,则，故答案为：13.在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有__________种.【答案】80【解析】根据题意可知，值班的人数为2人或者3个人，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故,若人数为3，则每人值一天班，故,故总的方法有，故答案为：8014.，，是同一平面内的三条平行直线，，位于两侧，与的距离为1，与的距离为2，点A，B，C分别在，，上运动.若，则面积的最小值为__________.【答案】【解析】过作于,由于,所以是中点，故则，所以，又则，故，当且仅当时，的面积的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.（1）证明：由，①当时，，即；当时，，②则①②得，，则，即，所以数列是等比数列，首项为1，公比为.（2）解：由（1）得，，即，则，则，因为在为增函数，则数列为递增数列，又，，所以满足的最小正整数的值为11.16.某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样，得到样本数据，制作如下频数表：（1）根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品合格与设备升级是否有关联.不合格品件数合格品件数合计升级前升级后合计（2）以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测.（i）记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求（精确到0.001）；（ii）质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需对设备进行检修.请根据的值解释上述规定的合理性.附：.0.10.050.012.7063.8416.635参考数据：，，解：（1）依题意可得列联表为：不合格品件数合格品件数合计升级前2080100升级后1090100合计30170200零假设：产品合格与设备升级没有关联，由列联表可计算，依据小概率的独立性检验，我们可以推断不成立，因此可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过.（2）（i）根据题意，设备升级后的优质品率为，可以认为从生产线中抽出的10件产品是否为优质品是相互独立的，则，，所以；（ii）如果设备正常运转，一天内抽取的10件产品中，优质品件数少于2个的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修，可见上述规定是合理的.17.如图，在三棱台中，平面平面，，，.（1）证明：；（2）当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.（1）证明：在三棱台中，取的中点，连接，由，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，则，又，则四边形是菱形，，而平面，因此平面，又平面，所以（2）解：取中点，则，由平面平面，平面平面，平面，则平面，直线两两垂直，以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成的角为，，当且仅当，即时取等号，所以三棱台的体积.18.已知双曲线（，）的左，右顶点分别为，，过C的右焦点的直线与的右支交于两点.当与轴垂直时，.（1）求C的方程；（2）直线，与直线的交点分别为，为的中点.（i）求的最小值；（ii）证明：点关于直线对称的点在上.解：（1）对双曲线，令，得，∴当l与x轴垂直时，.由得，即，故，∵，∴，∴C的方程为.（2）（i）①不合题意.②设，联立得，，∴，，解得，∵，∴直线方程为：，故，同理，∴.∴当时，.（ii）由，得，∴，直线的方程为.设点关于直线的对称点为，则，解得，，即.∵，由点在直线上可得∴点在直线上，故点关于直线对称的点在l上.19.已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”.（1）若是“强增函数”，求的取值范围；（2）若为“强增函数”，且.当时，比较与的大小，并说明理由；（3）已知，，，.证明：.参考结论：当时，.解：（1）设，则，由题意可知恒成立，故，即，故，解得，（2）由题意可知在上单调递增，因为，所以，故，即，所以，设，所以在上单调递减，所以当时，，即，所以，即.（3）,令，则，设，则当时，单调递减，当时，单调递增，故当，故当且仅当时取等号，设,当单调递增，当单调递减，所以，故，所以，即，所以在上单调递增，令，则，又单调递增，所以，则在上单调递增，又当所以时，，所以，即，所以，所以福建省厦门市2025届高三二模试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴.故选：D.2已知向量，满足，则（）A.0 B.2 C. D.【答案】B【解析】由得，，∵，∴，即.故选：B.3.直线被圆所截得的弦长为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，所以所求弦长为.故选：A4.已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，故，∵，∴，∴故选：C5.已知数列满足，，则的前6项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，当时，，显然，对于时也成立，所以，则的前6项和为.故选：C.6.已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，原点，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】当点为原点时，，由对称性不妨令点在第一象限，设点，而，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.故选：B7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，.∵函数在为减函数，∴，即，∵函数在为增函数，∴，即，∴.∵，，∴，∵，∴，由得，，由得，，综上得，.故选：A.8.已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，∵平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，令，则，故，∴点到平面的距离为，∴圆的半径为，由得，，∴，∴的最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.是奇函数D.当时，的图象与轴有2个交点【答案】AD【解析】由图可知：,故，,故，由于，则，故，故A正确，B错误，为偶函数，故C错误，令，则，故，当时，此时或故D正确，故选：AD10.某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】A.由题意得，，A错误.B.由题意得，，∴，B正确C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生，∴，∴，C正确.D.，D正确.故选：BCD.11.分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（）A.B.函数有2个零点C.函数的图象关于轴对称D.关于的方程的所有解的乘积为【答案】ACD【解析】依题意，，当时，；当时，，则，，对于A，，A正确；对于B，，由，解得，B错误；对于C，，令，，函数是偶函数，C正确；对于D，由，得或，而，则，即，该方程有且仅有一个正根，或，，该方程有且仅有一个负根，且，，该方程要么无解，要么一解，要么两个正根，且，所以关于的方程的所有解的乘积为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则__________.【答案】【解析】,则，故答案为：13.在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有__________种.【答案】80【解析】根据题意可知，值班的人数为2人或者3个人，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，故,若人数为3，则每人值一天班，故,故总的方法有，故答案为：8014.，，是同一平面内的三条平行直线，，位于两侧，与的距离为1，与的距离为2，点A，B，C分别在，，上运动.若，则面积的最小值为__________.【答案】【解析】过作于,由于,所以是中点，故则，所以，又则，故，当且仅当时，的面积的最小值为，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.（1）证明：由，①当时，，即；当时，，②则①②得，，则，即，所以数列是等比数列，首项为1，公比为.（2）解：由（1）得，，即，则，则，因为在为增函数，则数列为递增数列，又，，所以满足的最小正整数的值为11.16.某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样，得到样本数据，制作如下频数表：（1）根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品合格与设备升级是否有关联.不合格品件数合格品件数合计升级前升级后合计（2）以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测.（i）记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求（精确到0.001）；（ii）质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需对设备进行检修.请根据的值解释上述规定的合理性.附：.0.10.050.012.7063.8416.635参考数据：，，解：（1）依题意可得列联表为：不合格品件数合格品件数合计升级前2080100升级后1090100合计30170200零假设：产品合格与设备升级没有关联，由列联表可计算，依据小概率的独立性检验，我们可以推断不成立，因此可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过.（2）（i）根据题意，设备升级后的优质品率为，可以认为从生产线中抽出的10件产品是否为优质品是相互独立的，则，，所以；（ii）如果设备正常运转，一天内抽取的10件产品中，优质品件数少于2个的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修，可见上述规定是合理的.17.如图，在三棱台中，平面平面，，，.（1）证明：；（2）当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.（1）证明：在三棱台中，取的中点，连接，由，得，由