2025届甘肃省高三下学期3月（一模）数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1甘肃省2025届高三下学期3月（一模）数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限，则，解得.故选：C.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数中，，则集合，而，所以.故选：B3.某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表：0123研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过.函数和图象不过，不符合条件，故BC错误；函数单调递增，故A错误；D选项：满足上述条件，故D正确.故选：D.4.高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（）A.81.8 B.81.5 C.81.1 D.80.8【答案】C【解析】，故估计本次比赛高一年级的总体均分为分.故选：C.5.从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（）A.84 B.120 C.504 D.720【答案】A【解析】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故.故选：A.6.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则，所以，，因此，.故选：C.7.已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，令，则，，可得，故选:D.8.已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可知，设为坐标原点，则，，得，故，轴，，而，，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线方程为，则（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的离心率是C.双曲线的虚轴长是8D.双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6【答案】CD【解析】因为双曲线，得：，对于A：双曲线的渐近线方程为，故A错误；对于B：离心率为，故B错误；对于C：双曲线的虚轴长是，故C正确；对于D：双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为，故D正确.故选：CD10.函数，则（）A.的最小正周期是B.的值域是C.的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是D.的零点是【答案】ABD【解析】对A：，故为的周期，显然，没有比更小的正周期，故的最小正周期为，故A正确；对B：考虑到的最小正周期为，故只需考虑在的值域；，，故即；因为，故，则当时，，即，此时，单调递减；当时，，即，此时，单调递增；又，，，故的值域为，故B正确；对C：，，则，即，则不是的对称轴，故C错误；对D：令，即，，即，则，或，解得，或，，又，，故的零点为，D正确.故选：ABD.11.若自变量表示时间，在长为定值的时间周期中，函数的增长率为，以下判断正确的是（）A.若，则为减函数B.若，则为增函数C.若，则为增函数D.若，则为减函数【答案】AD【解析】对于函数，由于为正常数，所以为上的减函数，故A正确：对于函数，由于为正常数，所以为常函数，故B错误；对于函数，，由于为正常数，所以为减函数，故C错误；对于函数，，令，则，当时，为增函数，由于为正常数，所以，即，所以为减函数，故D正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是__________.【答案】【解析】如图所示，正方体中，分别是的中点，连接，则六边形是正六边形，根据对称性可知，截出两部分几何体的体积之比是.故答案为：13.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和__________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，解得，所以，，所以，，所以，，故数列为等差数列，所以，.故答案为：.14.如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是__________（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为__________米.（结果精确到米，参考数据：，）【答案】①.甲②.【解析】连接、，可知，，则，，中，，所以，，所以，，，所以，，则甲跑步的距离约为米，因为，，则乙跑步的距离约为米，所以甲跑动的距离更短，少跑米.故答案为：甲；.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.（1）依据频率分布直方图，完成以下列联表：成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题未每天整理错题合计（2）依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.附0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）根据频率分布直方图，可得成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题14620未每天整理错题51520合计192140（2）假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关.计算可得根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.16.正四面体的三条棱是圆锥的三条母线，点在圆锥的底面内，过且与圆锥底面垂直的平面与圆锥侧面交于（不同于）.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.解：（1）平面平面平面，平面，平面，且.又平面，为正三角形，为中心，，，平面平面，，平面.（2）设，则是的中点.以为坐标原点，的平行线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体的棱长为1，则，，，设平面的法向量为，，则，取平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，则，取平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，，即平面与平面所成角的余弦值为.17.数列满足，数列满足.（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若数列满足是数列的前项和，对恒成立，求实数的取值范围.（1）证明：，且由题，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；（2）解：由（1）可知，，，，由于对恒成立，所以.18.设为坐标原点，点，A、为椭圆上的两个动点，.（1）证明：向量是直线的一个法向量；（2）若线段与椭圆交于点，求面积的最大值.（1）证明：由于点在椭圆外，A、为椭圆上的两个动点，设、，，则，由①②得，即，由于直线的斜率为，所以直线的斜率为，故直线的一个方向向量为，从而为直线的一个法向量.（2）由得，即，由（1）可知，直线的斜率为，设直线方程为，若，则直线过原点，则，从而与矛盾，故，由得，则，解得或，由韦达定理可得，，所以，，由于到直线的距离，所以，令，则，令，则，当时，时；当时，.所以，函数在、上单调递增，在上单调递减，所以，当时，即当时，取到最大值.19.函数，且.（1）时，判断的单调性；（2）若，判断与的大小，且，并说明理由；（3）证明：对于任意的，有.（1）解：由于当时，时，故当时，函数在为减函数，在为增函数，同理，当时，函数在增函数，在为减函数：（2）解：由（1）可知，当时，，故，令，由于，则，可得，所以，当且仅当时“”成立.（3）证明：由（1）可知，当时，.又当时，，故时，，即，令，可得，令，可得，两式相加可得，即，所以，当且仅当时“”成立.由可得，令，可得，两边同乘，整理得，用替换可得，同理可得，两式相加可得，故，所以，当且仅当时“”成立.所以当且仅当时“”成立.甘肃省2025届高三下学期3月（一模）数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限，则，解得.故选：C.2.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数中，，则集合，而，所以.故选：B3.某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表：0123研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过.函数和图象不过，不符合条件，故BC错误；函数单调递增，故A错误；D选项：满足上述条件，故D正确.故选：D.4.高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（）A.81.8 B.81.5 C.81.1 D.80.8【答案】C【解析】，故估计本次比赛高一年级的总体均分为分.故选：C.5.从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（）A.84 B.120 C.504 D.720【答案】A【解析】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故.故选：A.6.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，则，所以，，因此，.故选：C.7.已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，令，则，，可得，故选:D.8.已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可知，设为坐标原点，则，，得，故，轴，，而，，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线方程为，则（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的离心率是C.双曲线的虚轴长是8D.双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6【答案】CD【解析】因为双曲线，得：，对于A：双曲线的渐近线方程为，故A错误；对于B：离心率为，故B错误；对于C：双曲线的虚轴长是，故C正确；对于D：双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为，故D正确.故选：CD10.函数，则（）A.的最小正周期是B.的值域是C.的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是D.的零点是【答案】ABD【解析】对A：，故为的周期，显然，没有比更小的正周期，故的最小正周期为，故A正确；对B：考虑到的最小正周期为，故只需考虑在的值域；，，故即；因为，故，则当时，，即，此时，单调递减；当时，，即，此时，单调递增；又，，，故的值域为，故B正确；对C：，，则，即，则不是的对称轴，故C错误；对D：令，即，，即，则，或，解得，或，，又，，故的零点为，D正确.故选：ABD.11.若自变量表示时间，在长为定值的时间周期中，函数的增长率为，以下判断正确的是（）A.若，则为减函数B.若，则为增函数C.若，则为增函数D.若，则为减函数【答案】AD【解析】对于函数，由于为正常数，所以为上的减函数，故A正确：对于函数，由于为正常数，所以为常函数，故B错误；对于函数，，由于为正常数，所以为减函数，故C错误；对于函数，，令，则，当时，为增函数，由于为正常数，所以，即，所以为减函数，故D正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是__________.【答案】【解析】如图所示，正方体中，分别是的中点，连接，则六边形是正六边形，根据对称性可知，截出两部分几何体的体积之比是.故答案为：13.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和__________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，解得，所以，，所以，，所以，，故数列为等差数列，所以，.故答案为：.14.如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是__________（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为__________米.（结果精确到米，参考数据：，）【答案】①.甲②.【解析】连接、，可知，，则，，中，，所以，，所以，，，所以，，则甲跑步的距离约为米，因为，，则乙跑步的距离约为米，所以甲跑动的距离更短，少跑米.故答案为：甲；.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.（1）依据频率分布直方图，完成以下列联表：成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题未每天整理错题合计（2）依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.附0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）根据频率分布直方图，可得成绩不低于总体均分成绩低于总体均分合计每天整理错题14620未每天整理错题51520合计192140（2）假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关.计算可得根据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关.16.正四面体的三条棱是圆锥的三条母线，点在圆锥的底面内，过且与圆锥底面垂直的平面与圆锥侧面交于（不同于）.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.解：（1）平面平面平面，平面，平面，且.又平面，为正三角形，为中心，，，平面平面，，平面.（2）设，则是的中点.以为坐标原点，的平行线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体的棱长为1，则，，，设平面的法向量为，，则，取平面的一个法向量为，设平面的法向