2025届河北省金科大联考高三3月质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河北省金科大联考2025届高三3月质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则复数z的模为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，有．故选：B2.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由解得，故，因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以有，解得，故选：A.3.小张从超市买了4袋食盐，每袋食盐的标准重量是500克，为了了解这些食盐的重量的情况，称出各袋的重量分别为501克，499克，498克，502克，则这4袋食盐重量的方差为（）A.4 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】D【解析】这4袋食盐的重量的平均数为，方差为．故选：D4.已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由，，有，可得．故选：B．5.已知向量，，其中，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，当且仅当时取等号，而，所以的取值范围为.故选：C6.已知函数的定义域为，，，都有，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】因为，，所以，又，有，又由，有，故，．故选：A．7.已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】联立方程消去y后整理为，有，整理可得，由，有，可得．故选:B．8.已知存在实数a，b，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得函数单调递增，又由函数单调递增，有，即关于x的方程有两个不相等的实数根，可化为．令，有，可得函数的增区间为，减区间为．又由，，当时，，故若函数的图象与直线有两个交点，则实数m的取值范围为．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式中，值是的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，由，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC．10.下列选项中，正确的是（）A.甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为80%，乙加工的合格品率为90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占40%，60%，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为0.88B已知事件A，B满足，，，则C.若事件满足，且，则A与B相互独立D.若随机变量，且，，则的最小值为16【答案】BCD【解析】对于A选项，由全概率公式，这个零件是合格品的概率为，故A选项错误；对于B选项，由，有，可得，故B选项正确；对于C选项，由，有，可得A与B相互独立，故C选项正确；对于D选项，由正态分布可知，，所以，且，所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确．故选：BCD．11.已知抛物线的准线方程为，点P为抛物线上位于第一象限的点，O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线OP的平行线与抛物线交于A，B两点（点A位于第一象限），直线OP和AB分别与抛物线的准线相交于M，N两点，则（）A.B.若抛物线的准线与x轴相交于点T，则M是线段TN的中点C.D.若直线PF与抛物线交于另一点Q，则直线轴【答案】ABD【解析】对于A，由抛物线C的准线为，有，可得，故A正确；对于B，设直线的方程为，由，可得直线的方程为，令可得点的坐标为，点的坐标为，又，所以是线段的中点，故B正确；对于C，联立方程，可解得点P的坐标为，有．联立方程，消去y后整理为，有，有，可得，故C错误；对于D，由，可得，，可得点的坐标为，又由点M的坐标为，可得直线轴，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆：和圆：相切，则______．【答案】－1或1或－3或3【解析】由题意可知：，，，，有，又两圆相切，则有或，可得或－1或1或3．故答案为：－1或1或－3或313.若函数有且仅有两个零点，则正数的取值范围为______．【答案】【解析】当，由函数单调递增，且，，可得函数在上有且仅有一个零点；又由函数有且仅有两个零点，可知当时，函数有且仅有一个零点，又由，则有，解得．故答案为：.14.如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则______．【答案】【解析】连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，取的中点M，连接BM与交于点T，与的延长线交于点N，由平面平面，可知M为和的交点，又由，可知，又由，可得，又由，有，可得，不妨设，，，可得梯形的面积为，又由，，又由，可得，可得四边形的面积为，可得，又由，可得，又由，可得，可得，又由几何图形的对称性可知．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由正弦定理及，有，又由余弦定理，有，代入，有，整理为，因式分解为，可得或，可得的值为2或；（2）由正弦定理及，有，又由，有，又由，有，即，代入，有，有.16.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，，M是PB的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：如图，连接BD，与AC相交于点N，因四边形为矩形，对角线BD，AC相交于点N，则，又因M是PB的中点，则，因，，则，因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC；（2）解：因为平面平面，，平面平面，平面ABCD，所以平面，则以所在的直线分别为y轴，z轴，过点A，在平面内作AB的垂线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系由，，，可得，可得点P的坐标为，各点坐标如下：，，，，，设平面PCD的法向量为，由，，有，取，，，可得平面PCD的一个法向量为，设平面AMC的法向量为，由，，有，取，，，可得平面AMC的一个法向量为，又由，，，有，故平面PCD与平面AMC的夹角的余弦值为．17.新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0．（1）观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）观看结束后，从票友中随机抽取n个人（n为正整数），记这n个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和．解：（1）由题可得X的值可得为3，4，5，6，则，，，.则分布列如下：3456则；（2）由题可得合计积分是分时，有人只看《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，可得，，，则.则，两式相减可得：.则.18.已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值；（3）在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上．解：（1）设点M的坐标为，由直线MA和MB斜率的乘积为1，有，可得．又由，可得轨迹C的方程为；（2）由（1）知，∴直线PQ的斜率不为0，故设直线PQ的方程为，点P，Q的坐标分别为，联立方程，消去x后整理为，有，，又由，故；（3）由直线PA和PB的斜率的乘积为1，可得直线PA的斜率为，可得直线PA的方程为，又由，有，可得直线BQ的方程为，将直线PA和BQ的方程联立消去y，有，解得，可得点T的坐标为，所以直线AP与BQ的交点T在定直线上．19.已知函数．（1）若恒成立，求实数a的取值范围；（2）若是函数两个零点，证明：；（3）当且时，证明：．（1）解：由恒成立，有恒成立，令，有，解不等式可得，可得函数的增区间为，减区间为，可得的最大值为，若函数恒成立，可得实数a的取值范围为；（2）证明：不妨设，设，由，有，，两式相除，有，代入，有，有，可得，可得，要证，只需证，只需证，令，有，可得函数单调递增，有，故有；（3）证明：由（1），取，有（当且仅当时取等号），取（其中），有，有，又由，有，有，有，有，有，可得，有，有，有，当且时，可得．河北省金科大联考2025届高三3月质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则复数z的模为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，有．故选：B2.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由解得，故，因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以有，解得，故选：A.3.小张从超市买了4袋食盐，每袋食盐的标准重量是500克，为了了解这些食盐的重量的情况，称出各袋的重量分别为501克，499克，498克，502克，则这4袋食盐重量的方差为（）A.4 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】D【解析】这4袋食盐的重量的平均数为，方差为．故选：D4.已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由，，有，可得．故选：B．5.已知向量，，其中，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，当且仅当时取等号，而，所以的取值范围为.故选：C6.已知函数的定义域为，，，都有，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】因为，，所以，又，有，又由，有，故，．故选：A．7.已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】联立方程消去y后整理为，有，整理可得，由，有，可得．故选:B．8.已知存在实数a，b，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得函数单调递增，又由函数单调递增，有，即关于x的方程有两个不相等的实数根，可化为．令，有，可得函数的增区间为，减区间为．又由，，当时，，故若函数的图象与直线有两个交点，则实数m的取值范围为．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式中，值是的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，由，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC．10.下列选项中，正确的是（）A.甲、乙两名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知，甲加工的合格品率为80%，乙加工的合格品率为90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占40%，60%，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为0.88B已知事件A，B满足，，，则C.若事件满足，且，则A与B相互独立D.若随机变量，且，，则的最小值为16【答案】BCD【解析】对于A选项，由全概率公式，这个零件是合格品的概率为，故A选项错误；对于B选项，由，有，可得，故B选项正确；对于C选项，由，有，可得A与B相互独立，故C选项正确；对于D选项，由正态分布可知，，所以，且，所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确．故选：BCD．11.已知抛物线的准线方程为，点P为抛物线上位于第一象限的点，O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线OP的平行线与抛物线交于A，B两点（点A位于第一象限），直线OP和AB分别与抛物线的准线相交于M，N两点，则（）A.B.若抛物线的准线与x轴相交于点T，则M是线段TN的中点C.D.若直线PF与抛物线交于另一点Q，则直线轴【答案】ABD【解析】对于A，由抛物线C的准线为，有，可得，故A正确；对于B，设直线的方程为，由，可得直线的方程为，令可得点的坐标为，点的坐标为，又，所以是线段的中点，故B正确；对于C，联立方程，可解得点P的坐标为，有．联立方程，消去y后整理为，有，有，可得，故C错误；对于D，由，可得，，可得点的坐标为，又由点M的坐标为，可得直线轴，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆：和圆：相切，则______．【答案】－1或1或－3或3【解析】由题意可知：，，，，有，又两圆相切，则有或，可得或－1或1或3．故答案为：－1或1或－3或313.若函数有且仅有两个零点，则正数的取值范围为______．【答案】【解析】当，由函数单调递增，且，，可得函数在上有且仅有一个零点；又由函数有且仅有两个零点，可知当时，函数有且仅有一个零点，又由，则有，解得．故答案为：.14.如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则______．【答案】【解析】连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，取的中点M，连接BM与交于点T，与的延长线交于点N，由平面平面，可知M为和的交点，又由，可知，又由，可得，又由，有，可得，不妨设，，，可得梯形的面积为，又由，，又由，可得，可得四边形的面积为，可得，又由，可得，又由，可得，可得，又由几何图形的对称性可知．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由正弦定理及，有，又由余弦定理，有，代入，有，整理为，因式分解为，可得或，可得的值为2或；（2）由正弦定理及，有，又由，有，又由，有，即，代入，有，有.16.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，，M是PB的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：如图，连接BD，与AC相交于点N，因四边形为矩形，对角线BD，AC相交于点N，则，又因M是PB的中点，则，因，，则，因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC；（2）解：因为平面平面，，平面平面，平面ABCD，所以平面，则以所在的直线分别为y轴，z轴，过点A，在平面内作AB的垂线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系由，，，可得，可得点P的坐标为，各点坐标如下：，，，，，设平面PCD的法向量为，由，，有，取，，，可得平面PCD的一个法向量为，设平面AMC的法向量为，由，，有，取，，，可得平面AMC的一个法向量为，又由，，，有，故平面PCD与平面AMC的夹角的余弦值为．17.新春佳节，上海京剧院、上海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟萃、好戏连台．天蟾逸夫舞台自大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨雪将携手献演昆剧《墙头马上》．据统计，有的票友计划只观看《新春京剧演唱会》，余下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》．每位票友只观看《新春京剧演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡积2分．假设每位票友观看计划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0．（1）观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数