2025届河南省名校联盟高三阶段性测试（六）数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省名校联盟2025届高三阶段性测试（六）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的焦距为（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】由题意得，，故，∴椭圆的焦距为2.故选：B.2.已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（）A.12 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】.故选：B.3.若成等比数列，则（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】根据等比中项的概念可得，.故选：C.4.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的最小正周期为.故选：A5.已知集合，若且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题可知且解得.故选：C.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可知，故.故选：D7.已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】C【解析】甲、乙、丙中选两人占前两名，有种情况，其余五名可任意排列，故所有的情况有种.故选：C.8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】如图所示：由题意得.设，则作点关于直线的对称点，连接.由题可知，则，在中，由余弦定理可得；所以，当且仅当三点共线时取等号.故选：D二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.【答案】AD【解析】对于A，设，当时，，得，得，即，故A正确；对于B，令，可知，故B错误；对于C，令，可知，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD10.已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹的长度为B.直线与平面所成角的正切值最大为C.平面截该正方体的内切球所得截面的面积为D.若动点在线段上，为的中点，则的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，根据正方体性质可得，可知，故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示：则其轨迹的长度为，故A正确；对于B，易知当点位于棱上时，直线与平面所成的角最大，此时，即直线与平面所成角的正切值最大为，故B错误；对于C，易知内切球的半径为，球心位于正方体的中心，其到平面的距离为，易知，，点平面的距离为；可得球心到平面的距离为，故截面圆的半径满足，则所得截面的面积为，故C正确；对于D，如下图：先固定点，当点在上时，最小，再让点移动，当三点共线时，最小，此时，故D正确.故选：ACD11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（）附：双曲线在其上一点处的切线方程为.A.B.C.作于点，则（为坐标原点）D.若的延长线交于点，则的内心在定直线上【答案】BCD【解析】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限.对于A，由题意得，，，解得，故，，A错误.对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则，∴直线的斜率存在，∵点在直线上，∴，∴，则，∵，∴，故，解得，故B正确.对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为，∵，故直线与双曲线相切，是切点.由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角，则平分，延长，与的延长线交于点，连接，则为等腰三角形，，∵为的中点，为的中点，∴，故C正确.对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线，由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设，则直线的方程为，直线的方程为，联立两式，解得，由得，，设直线，则式可化为，即点在定直线上，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为__________.【答案】2【解析】由题可知，解得，故的最大值为2.故答案为：213.已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，作出的大致图象如图所示，则至少有2个零点等价于直线与的图象至少有2个交点，由图可知，即实数的取值范围为.故答案为：14.已知某种长方体花岗岩的规格为（其中第个数分别为长、宽、高，且长宽高），若从长方体某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取一次共可得到三种不同规格的长方体，按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数__________，在上述种不同规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于的概率为__________.【答案】①.8②.【解析】列表如下，重复的去掉.原始状态第1次截取第2次截取，第3次截取，由表可知，第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数.在上述8种不可规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于10cm的有共3种，故所求概率为.故答案为：8，四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：1212.51313.51414131198（1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值；（2）计算与的相关系数；（3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.参考数据：.参考公式：相关系数.解：（1）由题可知，；（2）计算得，故；（3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：在上单调递增.解：（1）由题可知，则，又，故所求切线方程为.（2）由（1）知，，因为，所以设，则，由复合函数的单调性易知在上单调递增，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增.17.已知数列的各项均不为0，其前项和为，且.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）令，可得，∵，∴，∵，∴.（2）由题意得，.当时，，∴，即，∴，∵，∴，∴数列的奇数项、偶数项均成公差为2的等差数列，∴，∴.当时，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴.18.已知抛物线为上一点.（1）证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切.（2）若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为.（i）求方程；（ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值.（1）证明：由题可知点为的焦点，设为点，抛物线的准线方程为.∵为上一点，∴由抛物线的定义得等于点到的准线的距离，∴以为圆心且过点的圆与的准线相切.（2）解：设.（i）当时，点关于轴对称，点，直线关于轴对称，成立.当时，由得，直线的方程为，将点的坐标代入，可得，则.联立直线与的方程，可得，∴.∵，∴，化简可得，则，由得，，由得，故的方程为.（ii）设直线，与的方程联立，可得，由，得，由得，，故点.设的中点为，∵，∴，故.∵，∴三点共线，且为线段的中点，∴的面积为的面积的，由为的中点得，的面积为的面积的，∴的面积为的面积的.∵，∴.∵点到直线的距离，∴，当且仅当时等号成立，故的面积的最小值为.19.如图，在空间直角坐标系中，点分别在轴上（点异于点），且.（1）当（表示面积）取得最大值时，求点到平面的距离.（2）若，动点在线段上（含端点），探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，比较与1的大小关系，并说明理由.解：（1）不妨设，则且，故，当且仅当时等号成立，取得最大值，此时.记点到平面的距离为.因为，又，所以，解得.所以，点到平面的距离为.（2）由题可知，故.设，则.设为平面的法向量，则即可取.记直线与平面所成的角为，则，解得，则.所以,存在线段的中点满足题意，此时.（3）结论：.下面给出证明：同（1）设的长度分别为，则.显然平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则可取，所以，同理得，故有.要证.，即证①.事实上，有，化简得，则①式得证，故，当且仅当即时等号成立，命题得证.河南省名校联盟2025届高三阶段性测试（六）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的焦距为（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】由题意得，，故，∴椭圆的焦距为2.故选：B.2.已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，高为2，则该正四棱台的体积为（）A.12 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】.故选：B.3.若成等比数列，则（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】根据等比中项的概念可得，.故选：C.4.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的最小正周期为.故选：A5.已知集合，若且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题可知且解得.故选：C.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可知，故.故选：D7.已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】C【解析】甲、乙、丙中选两人占前两名，有种情况，其余五名可任意排列，故所有的情况有种.故选：C.8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】如图所示：由题意得.设，则作点关于直线的对称点，连接.由题可知，则，在中，由余弦定理可得；所以，当且仅当三点共线时取等号.故选：D二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知为复数，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.【答案】AD【解析】对于A，设，当时，，得，得，即，故A正确；对于B，令，可知，故B错误；对于C，令，可知，故C错误；对于D，，故D正确.故选：AD10.已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（）A.点的轨迹的长度为B.直线与平面所成角的正切值最大为C.平面截该正方体的内切球所得截面的面积为D.若动点在线段上，为的中点，则的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，根据正方体性质可得，可知，故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示：则其轨迹的长度为，故A正确；对于B，易知当点位于棱上时，直线与平面所成的角最大，此时，即直线与平面所成角的正切值最大为，故B错误；对于C，易知内切球的半径为，球心位于正方体的中心，其到平面的距离为，易知，，点平面的距离为；可得球心到平面的距离为，故截面圆的半径满足，则所得截面的面积为，故C正确；对于D，如下图：先固定点，当点在上时，最小，再让点移动，当三点共线时，最小，此时，故D正确.故选：ACD11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（）附：双曲线在其上一点处的切线方程为.A.B.C.作于点，则（为坐标原点）D.若的延长线交于点，则的内心在定直线上【答案】BCD【解析】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限.对于A，由题意得，，，解得，故，，A错误.对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则，∴直线的斜率存在，∵点在直线上，∴，∴，则，∵，∴，故，解得，故B正确.对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为，∵，故直线与双曲线相切，是切点.由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角，则平分，延长，与的延长线交于点，连接，则为等腰三角形，，∵为的中点，为的中点，∴，故C正确.对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线，由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设，则直线的方程为，直线的方程为，联立两式，解得，由得，，设直线，则式可化为，即点在定直线上，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.统计学中通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：），某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16，他立即判断生产出现了异常，由此可知的最大值为__________.【答案】2【解析】由题可知，解得，故的最大值为2.故答案为：213.已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】因为，作出的大致图象如图所示，则至少有2个零点等价于直线与的图象至少有2个交点，由图可知，即实数的取值范围为.故答案为：14.已知某种长方体花岗岩的规格为（其中第个数分别为长、宽、高，且长宽高），若从长方体某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取一次共可得到三种不同规格的长方体，按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数__________，在上述种不同规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于的概率为__________.【答案】①.8②.【解析】列表如下，重复的去掉.原始状态第1次截取第2次截取，第3次截取，由表可知，第3次截取后得到的不同规格的长方体的种数.在上述8种不可规格的长方体中任取1种，该种长方体的长与宽之差小于10cm的有共3种，故所求概率为.故答案为：8，四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：1212.51313.51414131198（1）求该纪念品定价的平均值和销量的平均值；（2）计算与的相关系数；（3）由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.参考数据：.参考公式：相关系数.解：（1）由题可知，；（2）计算得，故；（3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1，说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系.16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：在上单调递增.解：（1）由题可知，则，又，故所求切线方程为.（2）由（1）知，，因为，所以设，则，由复合函数的单调性易知在上单调递增，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增.17.已知数列的各项均不为0，其前项和为，且.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）令，可得，∵，∴，∵，∴.（2）由题意得，.当时，，∴，即，∴，∵，∴，∴数列的奇数项、偶数项均成公差为2的等差数列，∴，∴.当时，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴.18.已知抛物线为上一点.（1）证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切.（2