2025届黑龙江省名校协作体高三下学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1黑龙江省名校协作体2025届高三下学期一模考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得或，则，而，所以.故选：A2.若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由题设，所以.故选：D3.如图是某高中学校2000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为（）A.177 B.178 C.179 D.180【答案】C【解析】由题设，所以53%分位数在区间内，设为，则，所以.故选：C4.已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的半焦距为c，而，又，则，整理得，因此，所以的离心率为.故选：B5.如图，在正六边形中，点满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设及正六边形的结构特征知，，且，，又，所以.故选：B6.已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（）A.3 B.4 C.15 D.16【答案】C【解析】若为的中点，如下图示，，，所以，由，即圆心，半径，所以，到的距离，即直线与圆相离，结合图知，最小，此时.故选：C7.如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圆台下底面圆心，令，连接，显然，由平面平面，平面，平面，得则四边形为平行四边形，，在中，，，在圆中，当且仅当时，取最小值6，由，解得，因此，圆台的高，所以该圆台的体积为.故选：C8.若函数的图象恒在图象的上方，则的最大整数值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】依题意，恒成立，令，求导得，函数在上单调递增，，则存在，使得，即，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，由，得，因此，则，所以的最大整数值为0.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（）A.直线的倾斜角为 B.的方程为C. D.在点处的切线方程为【答案】ACD【解析】由点在抛物线上，得，，对于A，直线的斜率，因此直线的倾斜角为，A正确；对于B，抛物线的准线方程为，B错误；对于C，为焦点，则，C正确；对于D，由，求导得，则在点处的切线斜率为，切线方程为，即，D正确.故选：ACD10.已知函数，，则（）A.与的图象存在相同的对称中心B.与的图象存在相同的对称轴C.当时，与的图象有5个公共点D.将的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度可得的图象【答案】BC【解析】函数，对于A，函数图象的对称中心为，而对任意整数，，因此与的图象不存在相同的对称中心，A错误；对于B，函数图象的对称轴为，，即直线是函数的图象的对称轴，B正确；对于C，由，得或，而，解得，则当时，与的图象有5个公共点，C正确；对于D，，平移后得到的函数解析式为，D错误.故选：BC11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因为，令，则，即，即，又是奇函数，即，即，则，故A错误；又，由，令，则，由，令，则，令，则，故B正确；由，两边求导可得，即，故C正确；由A可知，，两边求导可得，即，所以是周期为的函数，又，两边求导可得，即，令，则，又，则，令，则，又，所以，即，所以，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为公差不为0的等差数列的前项和．若，，则________．【答案】9【解析】在等差数列中，，则，，由，得，即，因此，又等差数列的公差不为0，则等差数列是单调数列，所以.故答案为：913.现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为________．（用数字作答）【答案】24【解析】把6个小球按2个球一组分成3组，有两类分法：每个盒子放入一个白球，有1种方法；有2个白球放入一个盒子，有种方法，再将分成的3组放入3个盒子有种方法，所以不同的放法种数为.故答案为：2414.已知正四棱柱的所有顶点均在球的球面上，若该四棱柱的体积为1，则球的表面积的最小值为________．【答案】【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则其外接球的直径，由四棱柱的体积为1，得，即，因此球的表面积，令，求导得，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，则当时，，所以球的表面积的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）的外接圆半径为1，是边的中点，求的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由的外接圆半径为1及正弦定理得，则，当且仅当时取等号，，由是边的中点，得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值是.16.如图，四棱锥中，，，，平面平面．（1）证明：；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：分别取的中点，连接，则，四边形为平行四边形，，由，得，平面平面，平面平面，平面，所以平面，则平面，而平面，因此，又为的中点，所以.（2）解：由（1）知，平面，平面，得，而，平面，则平面，又，则平面，在平面内过作，则，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，，得，而，解得，令，则，，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值.17.已知函数，．（1）若曲线与在点处有相同的切线，求的值；（2）若，证明：对任意的，．（1）解：由题设，，则，，又曲线与在点处有相同的切线，则；（2）证明：令且，，则，所以在上单调递增，则，即，得证.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为．（1）求方程；（2）设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积．解：（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，半焦距，而，解得，所以的方程为.（2）设，而，由，得，依题意，，解得，即，，，等腰底边上的高，又四边形为梯形，则，所以四边形的面积为.19.已知一个袋子中装有分别标有数字的张卡片，．（1）把这个袋子中的张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为，求的值；（2）从这个袋子中依次随机抽取一张卡片．（i）若取出的卡片不再放回袋子，记为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求；（ii）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为，证明：．解：（1）由题意知，所以.（2）（i）由题意知的所有可能取值为，则，所以，因为，所以；（ii）证明：若取出的卡片再放回袋子，则每次抽取到偶数号码卡片的概率为，由题意知的所有可能取值为，所以，，则的分布列为所以，则，两式相减可得，所以.黑龙江省名校协作体2025届高三下学期一模考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得或，则，而，所以.故选：A2.若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由题设，所以.故选：D3.如图是某高中学校2000名男生的身高样本的频率分布直方图，估计该样本数据的53%分位数为（）A.177 B.178 C.179 D.180【答案】C【解析】由题设，所以53%分位数在区间内，设为，则，所以.故选：C4.已知椭圆的左顶点为，上顶点为．若是的焦距的倍，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的半焦距为c，而，又，则，整理得，因此，所以的离心率为.故选：B5.如图，在正六边形中，点满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设及正六边形的结构特征知，，且，，又，所以.故选：B6.已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（）A.3 B.4 C.15 D.16【答案】C【解析】若为的中点，如下图示，，，所以，由，即圆心，半径，所以，到的距离，即直线与圆相离，结合图知，最小，此时.故选：C7.如图，是圆台上底面的圆心，，是圆台下底面圆周上的两个动点，是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为，．若，平面，且的最小值为6，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圆台下底面圆心，令，连接，显然，由平面平面，平面，平面，得则四边形为平行四边形，，在中，，，在圆中，当且仅当时，取最小值6，由，解得，因此，圆台的高，所以该圆台的体积为.故选：C8.若函数的图象恒在图象的上方，则的最大整数值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】依题意，恒成立，令，求导得，函数在上单调递增，，则存在，使得，即，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，由，得，因此，则，所以的最大整数值为0.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（）A.直线的倾斜角为 B.的方程为C. D.在点处的切线方程为【答案】ACD【解析】由点在抛物线上，得，，对于A，直线的斜率，因此直线的倾斜角为，A正确；对于B，抛物线的准线方程为，B错误；对于C，为焦点，则，C正确；对于D，由，求导得，则在点处的切线斜率为，切线方程为，即，D正确.故选：ACD10.已知函数，，则（）A.与的图象存在相同的对称中心B.与的图象存在相同的对称轴C.当时，与的图象有5个公共点D.将的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度可得的图象【答案】BC【解析】函数，对于A，函数图象的对称中心为，而对任意整数，，因此与的图象不存在相同的对称中心，A错误；对于B，函数图象的对称轴为，，即直线是函数的图象的对称轴，B正确；对于C，由，得或，而，解得，则当时，与的图象有5个公共点，C正确；对于D，，平移后得到的函数解析式为，D错误.故选：BC11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若是奇函数，且，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因为，令，则，即，即，又是奇函数，即，即，则，故A错误；又，由，令，则，由，令，则，令，则，故B正确；由，两边求导可得，即，故C正确；由A可知，，两边求导可得，即，所以是周期为的函数，又，两边求导可得，即，令，则，又，则，令，则，又，所以，即，所以，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为公差不为0的等差数列的前项和．若，，则________．【答案】9【解析】在等差数列中，，则，，由，得，即，因此，又等差数列的公差不为0，则等差数列是单调数列，所以.故答案为：913.现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为________．（用数字作答）【答案】24【解析】把6个小球按2个球一组分成3组，有两类分法：每个盒子放入一个白球，有1种方法；有2个白球放入一个盒子，有种方法，再将分成的3组放入3个盒子有种方法，所以不同的放法种数为.故答案为：2414.已知正四棱柱的所有顶点均在球的球面上，若该四棱柱的体积为1，则球的表面积的最小值为________．【答案】【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则其外接球的直径，由四棱柱的体积为1，得，即，因此球的表面积，令，求导得，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，则当时，，所以球的表面积的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）的外接圆半径为1，是边的中点，求的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由的外接圆半径为1及正弦定理得，则，当且仅当时取等号，，由是边的中点，得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值是.16.如图，四棱锥中，，，，平面平面．（1）证明：；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：分别取的中点，连接，则，四边形为平行四边形，，由，得，平面平面，平面平面，平面，所以平面，则平面，而平面，因此，又为的中点，所以.（2）解：由（1）知，平面，平面，得，而，平面，则平面，又，则平面，在平面内过作，则，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由