2025届湖南省邵阳市高三第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1湖南省邵阳市2025届高三第二次联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以.故选：D2.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故.故选：B3.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论.所以命题“，”的否定为“，”.故选：D.4.定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定义在上的函数满足，所以即图象关于直线对称，所以，，又在上单调递增，所以.故选：A5.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，定义域为，，为奇函数，又，所以在上单调递增，所以即，即的取值范围是.故选：C6.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】抛物线的焦点为，设点、，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，因为，则，所以，，可得，所以，，可得，，解得，所以，，，则，抛物线的准线方程为，所以，点的横坐标为，所以，.故选：C.7.有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，则，，，，，，由贝叶斯公式可得.因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为.故选：C.8.已知向量满足，，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取，为线段的中点，记，则．．又，点的轨迹是以为焦点的椭圆，长半轴的长为4，短半轴的长为，．故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11B若随机变量，满足，，则C.一组数据的线性回归方程为，若，则D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布【答案】ACD【解析】数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15.计算第60百分位数：根据人教版教材方法，位置计算为

，向上取整到第5个位置，对应数值11,因此选项A正确;选项分析：随机变量，已知，根据方差性质：方差线性变换公式为

，选项中错误;选项分析：线性回归方程

必经过样本均值点,当

时，代入方程得

，选项正确;选项分析：从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12,7,5)，选项D正确.故选：ACD.10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（）A.直线与恰有两个公共点B.双曲线的离心率为C.当时，的面积为D.当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，【答案】BC【解析】对于A选项，联立可得，所以，直线与恰有只有一个公共点，A错；对于B选项，对于双曲线，则，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于C选项，设，，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，C对；对于D选项，设点、，线段的中点为，则，，则，由题意可得，所以，，则，D错.故选：BC.11.设函数的导函数为，即．当，函数在区间上的图象连续不断时，直线，，和曲线所围成的区域的面积为，且，则（）A.B.当时，C.存在实数，使得、、成等比数列D.直线，，和曲线所围成的区域的面积为【答案】BD【解析】对于选项A，，为常数，A错；对于选项B，，为常数，即要证，．设，，．则在上单调递减，所以．B正确；对于选项C，，，，要使、、成等比数列，则．．．①时，，又．，．①不成立，C错误．对于选项D，，为常数．D正确．故选：BD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为______．【答案】7【解析】根据题意，的展开式中，各二项式系数的和为，再令，可得其展开式中各项系数和为，依据题意有，解得.故答案为：7.13.在中，角所对的边分别是．若，，则______．【答案】【解析】由，由即正弦定理可得，所以，所以，所以.故答案为：14.已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______．【答案】【解析】设外接球的半径为，则，．设正六棱锥的底面边长为，则，，即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2．正六棱锥的底面积．侧面面积．正六棱锥的体积．设正六棱锥的内切球的半径为，则．．设正方体的棱长为，则，．正方体的棱长的最大值为．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，设函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）当时，，求实数的取值范围．解：（1）．函数的最小正周期．由，，得，．的单调递减区间为，．（2）当时，，结合的图像，当时，．当时，，，解得．实数的取值范围为．16.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且．（1）证明：平面；（2）是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：，，，故．又面面，面面，面，面．面，，又，面，，面．（2）解：面，，四边形为菱形，取的中点为，连接，，为等边三角形．．又，．又平面，．如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，，．设为面的一个法向量，则令，则．设为点到面的距离，则．，即或．故存在或，满足题意．17.已知等差数列的前项和为，，．数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等比数列；（3）求数列的前项和．（1）解：是等差数列，，．又，．等差数列的公差，．（2）证明：，．又，，为常数．是首项为1，公比为2的等比数列．（3）解：由（2）得，记，．18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点．①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值；②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值．解：（1）根据题意，得，解得，所以椭圆的方程为．（2）（ⅰ）证明：设四边形的面积为，由（1）得，椭圆的焦点，因为直线的垂直平分线段，所以，当直线与轴重合时，此时，，．由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知．当直线与轴不重合时，设直线方程为．，，．，则直线的方程为，联立椭圆方程，得，解得．．．综上所述，四边形的面积为定值．（ⅱ）易知，，又，直线的斜率存在且不为0，．由（ⅰ）知，设，则，．当且仅当，即时，等号成立，此时．故的最小值为．19.已知函数，．（1）求的极值；（2）当时，证明：；（3）当恰有四个零点，，，时，证明：．解：（1）由题知，令，则．当时，，此时在上为减函数，当时，，此时在上为增函数，故，无极小值．（2）．令，，故在上为减函数．，即．由（1）可知在上为增函数，，，即．（3）由（2）同理可证，当时，．令，得，由题意得直线与两条曲线，共有四个交点．如图所示，，且．由，得．，，且在上为增函数，，即．．同理：．故，即，得证．湖南省邵阳市2025届高三第二次联考数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以.故选：D2.已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故.故选：B3.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命题“，”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论.所以命题“，”的否定为“，”.故选：D.4.定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定义在上的函数满足，所以即图象关于直线对称，所以，，又在上单调递增，所以.故选：A5.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，定义域为，，为奇函数，又，所以在上单调递增，所以即，即的取值范围是.故选：C6.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交抛物线的准线于点．若，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】抛物线的焦点为，设点、，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，因为，则，所以，，可得，所以，，可得，，解得，所以，，，则，抛物线的准线方程为，所以，点的横坐标为，所以，.故选：C.7.有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，则，，，，，，由贝叶斯公式可得.因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为.故选：C.8.已知向量满足，，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取，为线段的中点，记，则．．又，点的轨迹是以为焦点的椭圆，长半轴的长为4，短半轴的长为，．故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11B若随机变量，满足，，则C.一组数据的线性回归方程为，若，则D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布【答案】ACD【解析】数据组为5，7，9，11，3，13，15，排序后为3，5，7，9，11，13，15.计算第60百分位数：根据人教版教材方法，位置计算为

，向上取整到第5个位置，对应数值11,因此选项A正确;选项分析：随机变量，已知，根据方差性质：方差线性变换公式为

，选项中错误;选项分析：线性回归方程

必经过样本均值点,当

时，代入方程得

，选项正确;选项分析：从12名候选人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12,7,5)，选项D正确.故选：ACD.10.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（）A.直线与恰有两个公共点B.双曲线的离心率为C.当时，的面积为D.当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，【答案】BC【解析】对于A选项，联立可得，所以，直线与恰有只有一个公共点，A错；对于B选项，对于双曲线，则，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于C选项，设，，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，C对；对于D选项，设点、，线段的中点为，则，，则，由题意可得，所以，，则，D错.故选：BC.11.设函数的导函数为，即．当，函数在区间上的图象连续不断时，直线，，和曲线所围成的区域的面积为，且，则（）A.B.当时，C.存在实数，使得、、成等比数列D.直线，，和曲线所围成的区域的面积为【答案】BD【解析】对于选项A，，为常数，A错；对于选项B，，为常数，即要证，．设，，．则在上单调递减，所以．B正确；对于选项C，，，，要使、、成等比数列，则．．．①时，，又．，．①不成立，C错误．对于选项D，，为常数．D正确．故选：BD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为______．【答案】7【解析】根据题意，的展开式中，各二项式系数的和为，再令，可得其展开式中各项系数和为，依据题意有，解得.故答案为：7.13.在中，角所对的边分别是．若，，则______．【答案】【解析】由，由即正弦定理可得，所以，所以，所以.故答案为：14.已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为______．【答案】【解析】设外接球的半径为，则，．设正六棱锥的底面边长为，则，，即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2．正六棱锥的底面积．侧面面积．正六棱锥的体积．设正六棱锥的内切球的半径为，则．．设正方体的棱长为，则，．正方体的棱长的最大值为．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量，，设函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）当时，，求实数的取值范围．解：（1）．函数的最小正周期．由，，得，．的单调递减区间为，．（2）当时，，结合的图像，当时，．当时，，，解得．实数的取值范围为．16.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且．（1）证明：平面；（2）是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：，，，故．又面面，面面，面，面．面，，又，面，，面．（2）解：面，，四边形为菱形，取的中点为，连接，，为等边三角形．．又，．又平面，．如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，，．设为面的一个法向量，则令，则．设为点到面的距离，则．，即或．故存