长沙市第一中学2025届高三下学期高三下学期5月数学模拟试卷（一）（学生版+解析版）

长沙市一中2025届模拟试卷(一)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.对于数据1,2,4,6,6,11下列说法错误的是()A.平均数为5B.众数为6C.极差为10D.中位数为62.已知集合A={-1,0,2,m²},B={x∈Zlx²≤3},若A∩B={-1,0,1},则m=()A.1B.-1CA.sina>0,cosa>0B.sina>0,C.sina<0,cosa>0D.sina<0,cosa<04.已知1ga+lgb=0(a>0,b>0,5.已知复数z∈C,满足,在复平面内z对应的点为Z,则点Z所在区域的面积为A.πB.2π6.已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60,E是BC的中点，AE与BD相交于点F,则AF·AB=DD7.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E:的左、右焦点分别为F,F₂,过F₂的直线与椭圆E交于点A,B,过点A作椭圆的切线1,点B关于1的对称点为M,,则椭圆E的离心率为8.函数f(x)的n阶导就是对函数f(x)求n次导数，记作f(”)(x),设函数f(x)=(x-2025)e,若关于x的不等式f(2024)(x)<kx-1恰有一个整数解，则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(1,e²+1)D9.已知在首项为1,公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，a,a₂,a₆是等比数列{bₙ}的前三项，数列{an}的前n项和为Sn,则()A.d=3C.是公差为3的等差数列D.b=4”-1在球O的表面上，则()A.EF//平面A₁ACC₁B.AF⊥平面A₁ECD.球O的体积为11.已知函数f(x)=|sinwx|+|cosox(w>0)的定义域为A=[0,a](a>0)B.若,且α∈(π,+∞),则f(x)的图象在A上存在对称轴.C.若α=π,且f(x)在A上单调，则@取值范围是D若B中恰有3个不同元素，则13.已知三棱锥P-ABC满足AB=3,BC=4,AC=5,部)到AB,BC,AC的距离相等，则二面角P-AB-C若a₃=40,则b= 且其体积为4√2,若点P(正投影在VABC内 14.已知动直线l与圆x²+(y-9)²=1相切，并与圆x²+(y-9)²=4相交于点A,B,点P为抛物线y²=2x上一动点，0为坐标原点，则PO+PA+PB的取值范围为四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.在多面体ABCDE中，已知AB=BC=2,AC=2√2,DA=DB=EB=EC=√5,且平面DAB均垂直于平面ABC,F为DE的中点.(1)证明：DE//AC;(2)求直线BF与平面ACE所成角的正弦值.16.海岸上建有相距40√3海里的雷达站C,D,某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少?(2)求A,B之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援(说明理由)?17.甲、乙两人进行AI知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求：(1)在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为X,求X的分布列和期望值；(2)甲在比赛中获胜的概率.18.已知等轴双曲线C:y²-x²=a²,过E(0,-2)作斜率为k的直线1,与双曲线C分别交于A,B两点，(1)求双曲线C的方程；(2)若l与双曲线C的上、下两支相交，点D(0,2),直线AD,BD分别与双曲线C的上支交于M,N两点.(ii)设DMN和DAB的面积分别为S₁,S₂,且,求直线AB的方程.19.已知函数f(x)=e"sinx.(2)若.时，f(x)≥x恒成立，求正实数a的取值范围；长沙市一中2025届模拟试卷(一)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.对于数据1,2,4,6,6,11,下列说法错误的是()A.平均数为5B.众数为6C.极差为10D.中位数为6【答案】D【解析】【分析】利用平均数，众数，极差，中位数的意义计算可判断每个选项的正误.【详解】平均数为故A正确；众数为6,故B正确；极差为11-1=10,故C正确；数据1,2,4,6,6,11的中位数为5,故D错误.2.已知集合A={-1,0,2,m²},B={x∈Zx²≤3},若A∩B={-1,0,1}A.1B.-1C【解析】【分析】先求得集合B,再根据交集定义列式计算即可.【详解】集合B={-1,0,1},因此m²=1,m=±1.A.sina>0,cosa>0C.sina<0,cosa>0D.sina<0,c【解析】【分析】确定出α=-5的范围，从而可求得答案【详解】因所以α=-5为第一象限的角，4.已知lga+1gb=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数f(x)=a⁻×与g(x)=log,x的图象可能是【解析】【详解】由lga+lgb=0可知，故f(x)=a×=b,故函数f(x)=a⁻*与函数g(x)=log,x的单调性相同，5.已知复数z∈C,满足在复平面内z对应的点为Z,则点Z所在区域的面积为A.πB.2π【解析】的圆，从而可求出点Z所在区域的面积为圆环的面积.【详解】因为表示以为圆心，2为半径的圆，因此由得点Z所在区域的面积为π×2²-π×1²=3π【答案】B【解析】【分析】依题意可得FEB∽FAD,即可得到从而用AB、AD作为基底表示出AF,再根据数量积定义及运算律计算可得.7.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E:的左、右焦点分别为F,F₂,过F₂的直线与椭圆E交于点A,B,过点A作椭圆的切线l,点B关于I的对称点为M,若AB|=a,,则椭圆E的离心率为DABDAB【答案】D【解析】8.函数f(x)的n阶导就是对函数f(x)求n次导数，记作f("(x)于x的不等式f(2024)(x)<kx-1恰有一个整数解，则实数k的取值范围是A.(0,1)B.(1,e²+1)D【解析】【分析】根据f("(x)的定义求得f(2024)(x)=(x-1)e,令g(x)=(x-1【详解】f'(x)=(x-2024)e,f"(x)=(x-2023)e*,…,f(2024)(x)=(x-1)e*,作出函数g(x)图象，如图所示，直线y=kx二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)C.是公差为3的等差数列D.b=4”-1【解析】【详解】因为a₁a₆=a²,即a(a+5d)=(a+d)²,又a₁=1,所以1(1+5d)=(1+d)²,b₁=a₁=1,b₂=a₂=4即{bₙ}的公比为4,故bₙ=4”-¹,故D正确.A.EF//平面A₁ACC₁【解析】对于D,可得球心0为A₁C的中点，计算可判断.【详解】对于A,如图1,取A₁B₁的中点G,连接GF,GE,所以GF//A₁C₁,又GFa平面ACC₁A₁,A₁C₁C平面ACC₁A,所以GF//平面ACC₁A,又A₁G//AE且A₁G=AE,所以四边形A₁GEA是平行四边形，所以A₁A//EG,又GE女平面ACC₁A₁,A₁AC平面ACC₁A₁,所以GE//平面ACC₁A₁,图1图3对于B,取BC的中点K,连接KF,KA,如图2,若AF⊥平面A₁EC,ECc平面A₁EC,则AF⊥EC,因为K,F分别为BC,B₁C₁上的中点，所以B₁F//BK且B₁F=BK,所以四边形B₁FKB是平行四边形，所以B₁B//KF,又由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁,可得BB₁⊥平面ABC,所以KF⊥平面ABC,所以CE⊥平面AKF,又AKc平面AKF,所以AK⊥CE,但由ABC是正三角形，显然AK⊥CE不成立，故AF⊥平面AEC不成立，故B错误；对于C,设CA=a,CB=b,CC₁=c,则a对于D,由题意知，CE⊥平面AA₁B₁B,又A₁Ec平面AA₁B₁B,所以A₁E⊥EC.同理A₁F⊥FC,因为△A₁EC与△A₁FC均为以A₁C为斜边的直角三角形，则球心0为A₁C的中点，所以球O的体积为,故D正确.11.已知函数f(x)=|sinwx|+|cosox(w>0)的定义域为A=[0,a](a>0),集合B.若,且α∈(π,+∞),则f(x)的图象在A上存在对称D.若B中恰有3个不同元素，【解析】t对于D:若B中有3个不同元素，则方程|sin2ox|=1在A上恰12.已知(x+b)⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+ax+a₀,若a₃=40,则b=【答案】±2【解析】【分析】由二项展开式的通项公式即可求解【详解】(x+b)⁵展开式的通项公式为T₁+=C₅x⁵-b,由(x+b)⁵=a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+ax+a₀,故x³的系数为C²b²而a₃=40,得C²·b²=40,解得b=±2.13.已知三棱锥P-ABC满足AB=3,BC=4,AC=5,且其体积为4√2,若点P(正投影在VABC内部)到AB,BC,AC的距离相等，则二面角P-AB-C的正弦值为【答案】【解析】【分析】设P在底面上投影为0,过0作OD⊥AB,垂足为D,连接PD,则∠PDO是二面角P-AB-C的平面角，由体积求得棱锥的高，再结合底面内切圆半径，即可求点到底面的距离，进而求得侧面上的高即可求解.【详解】因为AB=3,BC=4,AC=5,所以VABC是以AC为斜边的直角三角形.由三棱锥体积公式得三棱锥高h=2√2,由点P到AB,BC,AC的距离相等得出点P在底面上投影O到VABC各边距离也相等，所以0是VABC的内心，则O到VABC各边距离为内切圆半径，过0作OD⊥AB,垂足为D,连接PD,则∠PDO是二面角P-AB-则三棱锥侧面上的高为PD=√h²+r²=3,故二面角P-AB-C的正弦值为14.已知动直线l与圆x²+(y-9)²=1相切，并与圆x²+(y-9)²=4相交于点A,B,点P为抛物线y²=2x上一动点，0为坐标原点，则PO+PA+PB|的取值范围为_【解析】,进而计算可求得PO+PA+PB的取值范围.【详解】设线段AB的中点为M,根据圆的对称性可知点M在圆x²+(y-9)²=1上，圆心为R(0,6),半径为故|此PO+PA+PB|的取值范围是(6√5-2,+o)四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.在多面体ABCDE中，已知AB=BC=2,AC=2√2,DA=DB=EB=EC=√5,且平面BCE与平面DAB均垂直于平面ABC,F为DE的中点.(1)证明：DE//AC;(2)求直线BF与平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)取AB,BC的中点M,N,证明四边形DENM为平行四边形即可得证DE//AC;(2)建立空间直角坐标系，运用法向量求解即可.【小问1详解】如图，分别取AB,BC的中点M,N,连接DM,MN,NE,因此DM//EN且DM=EN,故四边形DENM为平行四边形，所以DE//MN,【小问2详解】因为AB=BC=2,AC=2√2,所以AB²+BC²=AC²,所以∠ABC=90,以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐由题意知，B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(1,0,2),E(0,设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则有即令x=2,则y=2,z=1,即平面ACE的一个法向量为n=(2,2,1).设直线BF与平面ACE所成角为θ,即直线BF与平面ACE所成角的正弦值为(2)求A,B之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援(说明理由)?【答案】(1)120海里【解析】【分析】(1)在△ADC中，求出∠DAC,∠ADC,利用正弦定理求解即可.【小问1详解】所以A船距离雷达站C距离为120海里；【小问2详解】即解得BC=40√2,在VABC中，由余弦定理可得AB²=120²+(40√2)-2×120×40√2cos45=8000,解得AB=40√5,因为A船以30海里每小时的速度前往B处，i所以能在3小时内赶到救援.17.甲、乙两人进行AI知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求：(1)在3题均被乙抢到条件下，设乙答题得分为X,求X的分布列和期望值；(2)甲在比赛中获胜的概率.【答案】(1)分布列见解析，-1【解析】【分析】(1)由题意知X的所有可能取值为-3,-1,1,3,分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望；(2)设甲获胜为事件A,甲在比赛中共抢到i(i=0,1,2,3)道题为事件A₁,由P(A)=P(A₃)P(A|A₃)+P(A₂)P(AlA₂)+P(A)P(AlA)+P(A,)P(AlA,)计算求解即可.【小问1详解】依题意，X的所有可能取值为-3,-1,1,3,则故分布列为X13P【小问2详解】设甲获胜为事件A,甲在比赛中共抢到i(i=0,1,2,3)道题为事件A,,则18.已知等轴双曲线C:y²-x²=a²,过E(0,-2)作斜率为k的直线l,与双曲线C分别交于A,B两点，(1)求双曲线C的方程；(2)若1与双曲线C的上、下两支相交，点D(0,2),直线AD,BD分别与双曲线C的上支交于M,N两点.(i)求直线l斜率k的取值范围；(ii)设DMN和DAB的面积分别为S₁,S₂,且,求直线AB的方程.【答案】(1)y²-x²=1(2)(i);(ii)y=√3x-2或y=-√3x-2.【解析】【分析】(1)由题意知直线1为y=-2,再由A|