浙江省9 1联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省91联盟高二下学期4月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3}，B={XIX(X-2)≥0}，则A∩B=()A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,3}C.{-2,-1,0,2,3}D.{-2,-1,0,3}2.若复数z满足2z+z=3+2i(其中i为虚数单位)，则复平面内该复数z所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知A、B、C是球0的球面上三个点，且AB=AC=BC=3，球心0到平面ABC的距离为1，则球0的表面积为()B.8πC.πD.16π4.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1=1，则“S3=3”是“q=-2”的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要5.已知a=，b=ln2.2，C=e0.2，则a，b，C的大小关系为()6.已知抛物线C:y2=4X的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点(其中点M在第一象限)，点M到抛物线C的准线的距离为5，则的值为()A.2B.C.D.47.从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为()A.36B.42C.48D.548.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，满足2(a-bcosC)=CsinB，BC边上的高为2，且b=3，则△ABC周长为()二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，设事件A={1,2,7,8}，事件B=“得到的点数为偶数”，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是()C.事件B与C互斥D.事件A与B相互独立10.已知函数下列说法正确的是()B.函数f(x)的图象关于点中心对称C.将f(x)的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)=2sin3x的图象D.函数f(x)在区间(0,)上单调递增11.已知函数y=ex-e-1与y=ln(x+e+1)交于M、N两点，如图截取两函数在M、N之间部分图像得到A.τ关于直线y=-x对称B.若点M的横坐标为x0，则x0∈(1,2)C.τ上的点到直线y=x距离的最大值为eD.A，B是τ上互异的两点，分别过A，B作τ的切线，斜率记为K1，K2，若K1=K2，称(A,B)为τ的一组关联点，则τ的关联点有无数组．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。的展开式中的常数项为．13.已知点M(0,3)，直线x-ky-2=0被圆x2+y2=8所截得弦的中点为N，则IMNI的最大值是．14.若三次函数f(x)=ax3+x2+Cx+1(a>0)有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AD=4，AB=3，点M为PD的中点，连接MC．(1)求三棱锥M-ACD的体积;(2)求异面直线MC与PB所成的角的余弦值．16.(本小题15分)D公司开发了两款AI图像检测模型(分别记为甲模型、乙模型)，用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y．(1)写出随机变量X的分布列、均值及方差．(2)求事件“X+Y=3”的概率．17.(本小题15分)已知f(x)=lnx，g(x)=a(x2-1)(a∈R)．(1)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，讨论ℎ(x)的单调性和极值;(2)若x≥1时，不等式xf(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．18.(本小题17分)已知双曲线C的顶点与椭圆的左右顶点A1，A2重合，且离心率为．(1)求双曲线的标准方程．(2)过双曲线上一点R(R位于第一象限)作切线l，l分别与x轴，y轴交于M，N两点，与椭圆E交于P，Q两点．(i)若点R，M，N的横坐标成等差数列，求直线l的斜率．(i)已知△OPQ的面积为求点R的坐标．19.(本小题17分)无穷整数数列{an}满足0≤a1≤a2≤…≤an-1≤an≤…,对任意的k∈N*，记bk为数列{an}中小于k的项的个数，称数列{bn}是数列{an}的“联盟数列”．(1)若数列{xn}有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，写出数列{xn}的“联盟数列”的前七项;(2)若数列{xn}的“联盟数列”为{yn}，数列{yn}的“联盟数列”为{zn}，(i)证明：zn=xn;(i)记S=x1+x2+…+xn-1+xn，T=y1+y2+…+ym-1+ym，证明：S+T>nm．参考答案3.B4.B5.C7.C15.解：(1)过点M作MH//AP，又点M为PD中点，所以又底面为矩形，可知S△所以三棱锥M一ACD的体积△则匕OMC(或其补角)即为异面直线MC与PB所成的角，在△OMC中所以异面直线MC与PB所成的角的余弦值为16.解：(1)由题可知随机变量X服从二项分布：所以随机变量X的分布列为一k，k=0，1，2，3．均值为E(X)=3×=2．(2)由题可知“X+Y=3”的情况可分为四类：①X=0，Y=3:P1=()3.()3=，②X=1，Y=2:P2=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),3)()1()2.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3)()3=，③X=2，Y=1:P3=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3)()2()1.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),3)()3=，④X=3，Y=0:P4=()3.()3=，所以P(X+Y=3)=P1+P2+P3+P4==．17.解：(1)ℎ(x)=f(x)+g(x)=lnx+a(x2一1);①a≥0时，ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，没有极值：②a<0时，令ℎ′(x)>0，则2ax2>一1，x2<一;解得所以ℎ在上单调递增：(2)当x≥1时，xf(x)≤g(x)恒成立，即xlnx≤a(x2一1)恒成立，+∞)，则φ(x)≤0恒成立，令m(x)=lnx+1一2ax，m′(x)=一2a，m(x)≤m(1)=1一2a≤0，即φ′(x)≤0，m(x)≥m(1)=1一2a>0，即φ′(x)>0，即φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(1)=0，不满足条件。综上，a的取值范围是[,+∞)。18.解：(1)由题意可得，椭圆E左右顶点A1A2分别为(一3,0)，(3,0)，而双曲线的顶点与A1，A2重合，故可设双曲线的标准方程为一此时，(2)(i)由题意可得，切线l的斜率存在，由于l与双曲线相切：因此△=0，即36m2k2+12(m2+1)(1一3k2)=0，经化简可得：m2+1=3k2一若m=0，则根据(*)式可得，此时l为双曲线的渐近线，不可能为切线，故一解得切点在第一象限)，(ii)不妨设p(x1,y1)，Q(x2,y2)，此时切线l:y=kx+m与椭圆联立：x2+3y2=3整理得：(1+3k2)x2+6mkx+3m2一3=0(解得或则R的坐标为(,)或(,).设数列{xn}的“联盟数列”为{yn}，(2)(i)yi表示数列{xn}中小于i的项的个数，yi+1表示数列{xn}中小于i+1的项的个数，显然yi≤yi+1，因此0≤y1≤y2≤y3≤…≤yn—1≤yn≤…,设{yn}的联盟数列{zn}中的任意一项zk=t(k∈N*,t∈N)，则由“联盟数列”的定义可知yt<k，yt+1≥k，这表明在数列{xn}中，xk≥t，xk<t+1，又因为xk∈N，则xk=t，所以zn=xn．=—(y1+y2+…+yxn)+n.xn，当x