广东省佛山市S6高质量发展联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析）

2024-2025学年下学期佛山市S6高质量发展联盟高一年级期中联考试卷数学学科考试范围：必修一第5章，必修二第6、7章；满分：150分，考试时间：120分钟2025年4月注意事项：1．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、考号填写在规定的位置2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色墨水签字笔或钢笔作答，字体工整、笔迹清楚．3．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持答题卡清洁、完整、不得折叠．严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带．第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则的虚部为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的概念判断即可.【详解】复数虚部为.故选：B2.在边长为1的等边三角形中，的值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积定义求解即可.【详解】由已知可得与的夹角为，所以.故选：.3.如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可.【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，，所以.故选：A4.已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法求出、，结合已知向量及向量共线定理判断点共线即可.【详解】由题设，，结合题设中的向量，显然只有，即一定共线.故选：B5.在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，再由和角公式化简可得或，最后分类讨论即可.【详解】由正弦定理，得，所以，故，所以或，即或，故为直角三角形或等腰三角形．选：D．6.若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将平方，结合可得，结合选项逐个判断即可.详解】将平方得，结合可得，即，即，即，故CD错误又，故A对，B错；故选：A7.在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得的余弦值.【详解】因为，，，由余弦定理得，所以，所以为直角三角形，且，以为原点，建立如图直角坐标系：所以，所以，所以.故选：C8.已知函数，对于任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，令，结合已知可得为上的偶函数，且在区间上单调递减，可解不等式.【详解】，即，所以.设，则所求的式子转化为.由，可知，所以为上的偶函数.当时，在区间上单调递减.又为上的偶函数，所以在区间上单调递增.又因为，所以，解得.故选：B.二、选择题．本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z满足，则（）A.为纯虚数 B.对应的点在第四象限C. D.和是方程的两个根【答案】BC【解析】分析】先化简，然后结合选项可得答案.【详解】因为，所以，对于A，显然不是纯虚数，A不正确；对于B，，对应的点在第四象限，B正确；对于C，，C正确；对于D，，所以和不是方程的根,D不正确.故选：BC10.设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则不与垂直D.【答案】AB【解析】【分析】根据平面向量的数量积与模长、向量垂直得关系，结合数量积的运算性质逐项判断即可得答案.【详解】对于A，由平方可得，故A正确；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则或或舍去，故可能与垂直，故C错误；对于D，当时，与可以垂直；当时，，综上，故D错误．故选：AB11.对于函数．下列说法正确的是（）A.当时，函数在上有且只有一个零点B.若函数在单调递增，则的取值范围为C.若函数在时取得最小值，在时取得最大值，且，则D.将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】A选项，计算零点，然后判断零点个数；B选项，利用整体代入法求的单调递增区间，然后列不等式即可；C选项，根据正弦型函数的性质得到，然后利用诱导公式计算；D选项，根据图象平移得到，然后根据偶函数列方程，解得即可.【详解】当时，，令，即，则或，，整理得或，，所以在上有和两个零点，故A错；令，，整理得，，所以的单调递增区间为，，当时，，解得，即，当时，，无解，所以，故B正确；由得，则，，，所以，故C正确；由题意得，因为为偶函数，所以或，即，，，整理得，，又，所以的最小值为2，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：B选项的解题关键在于根据的解析式得到递增区间，然后让在增区间里即可.第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m.【答案】【解析】【分析】由题设得，利用正弦定理求A，B两点间的距离.【详解】由题设，在中，所以m.故答案为：13.将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则__________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图象变换求解即可.【详解】图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到，横坐标缩短为原来的得到，向右平移个单位长度得到.故答案为：.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______．【答案】【解析】【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值【详解】因为，由正弦定理得，因为，所以，故，如图所示，则的面积为，即即，所以，当且仅当时取等号，所以，的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量满足，且夹角为，（1）求；（2）当向量与垂直时，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可求解；（2）向量与垂直，即，利用数量积的运算即可求解.【小问1详解】由已知得.【小问2详解】向量与垂直，，，解得.16.（1）已知，且，求的值；（2）已知，且及，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解，（2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解.【详解】（1）由，可得，由，可得，则，，（2）由，可得，由，则，，由于，故17.如图，在中，，，点D在线段BC上.（1）若∠ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；（2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】在中，.在中，由正弦定理得，又，【小问2详解】.又.，解得：在中，由余弦定理得，所以.18.在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．（1）请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；（2）根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．①求该船可以进港的时间段；②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．【答案】（1）；（2）①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.【解析】【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.【小问1详解】观察图形知，，解得，，，解得，显然函数的图象过点，即，又，因此，所以函数表达式为.【小问2详解】①依题意，，整理得，即有，即，解得或，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货，设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为，如图，函数与的图像交于点，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，令，即，，解得，显然，该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求.19.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可；（2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量