河南省洛阳市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版）

洛阳市2024—2025学年第二学期期中考试高一数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列结论正确的是（）A.若与都是单位向量，则B.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量C.直角坐标平面上的轴，轴都是向量D.若与平行向量，则2.三个平面可将空间分成部分，则的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.103.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A.1或3 B.1或2 C.1 D.24.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（）A. B. C. D.5.在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（）A. B. C. D.6.已知，，满足，，，则点依次是（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心C外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心7.在平行六面体中，，分别为棱，上的点，且，，直线与平面的交点，则的值为（）A. B. C. D.8.在中，角，，的对边分别为，，，若，则当最大时，等于（）A. B. C. D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，下列说法正确的是（）A. B.C.，的夹角为 D.向量在向量上的投影向量为10.在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.若，则为等腰三角形C.若，，，则符合条件的有两个D.若，则为锐角三角形11.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）A.过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为B.存在点，使得平面平面C.当在线段上运动时，三棱锥的体积不变D.的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则___________.13.已知复数，.若，则的取值范围是________.14.已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是________.四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数，，其中，且在复平面上对应点在第一象限.（1）求复数；（2）若复数，求的共轭复数.16.已知向量，满足，，.（1）求向量与的夹角；（2）求证：；（3）求.17.如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.（1）求证：底面为梯形；（2）是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.18.在中，角，，所对的边分别为，，.已知.（1）求角的大小；（2）若，设为的中点，且，求的周长.19.已知圆锥的底面半径，高.（1）求此圆锥的表面积；（2）若圆锥在球内，求球表面积的最小值；（3）若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值.20.