湖北省武汉市七校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题（解析）

2024~2025学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷考试时间：2025年4月15日下午：16：15—18：15试卷满分：150分一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则的虚部为（）A.1 B.-2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用复数的乘法运算化简再求解.【详解】解：因为复数，所以，所以的虚部为1，故选：A2.的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（）A.4 B. C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】先求出，再根据与的面积之比为，得到答案.【详解】由题意得，由三角形面积公式得，又与的面积之比为，故的面积为故选：C3.中，角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.【详解】由题意，在中，则，所以，因为，所以或，又，所以．故选：A4.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的伸缩变换规律，得到的解析式，求出它的对称中心，结合选项，选出正确的一个对称中心．【详解】由题意可知：令，是函数的图象的一个对称中心，故本题选A．【点睛】本题考查了余弦函数的伸缩变换、对称中心.5.已知向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的性质，由模长求解，再根据投影向量的公式求解即可.【详解】因为，所以，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：A.6.如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案.【详解】，故，，故，因为三点共线，故，解得.故选：C7.在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【详解】由题意得，即，所以，得，得，当且仅当，即时，的最小值为.故选：D．8.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为.若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式得出，根据题意出函数的最小正周期，可求出的值，解题中的方程得出或，分析可知函数在区间上有两个不等的零点，分析函数的单调性，可出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】因为，因为曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为.所以函数的最小正周期为，可得，即，由可得，解得或，当时，，由可得，可得，解得，所以方程在上只有一个解，故方程在上有两个不等的解，令，由可得，由可得，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，由题意可知，函数在区间上有两个不等的零点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.棱台的侧面都是等腰梯形B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台【答案】BC【解析】【分析】利用棱台的结构特征判断A；利用棱柱的结构特征判断B；利用圆锥的结构特征判断C；利用圆台的结构特征判断D.【详解】对A，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，如一条侧棱垂直于底面，那么会有两个侧面为直角梯形，故A错误；对B，棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面，故B正确；对C，因为每条腰都是母线，且圆锥的母线长度相等，因此过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故C正确；对D，以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故D错误.故选：BC.10.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）A.的模长为定值 B.为纯虚数C.对应的点位于第二象限 D.的共轭复数为【答案】AD【解析】【分析】A选项，，故模长为，A正确；B选项，，B错误；C选项，对应的点坐标为，C错误；D选项，计算出，根据共轭复数的概念得到答案.【详解】A选项，，故的模长为，A正确；B选项，，为实数，B错误；C选项，当时，，故对应的点坐标为，不在第二象限，C错误；D选项，，共轭复数为，D正确.故选：AD11.已知函数部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（）A. B.C.函数为偶函数 D.函数在区间上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】根据函数图象求出的解析式，即可判断A、B

，再根据三角函数的变换规则得到解析式，再由正弦函数的性质判断C、D．【详解】对于A，函数的部分图象，可得，，，则．又，所以，，所以，，又，，，故A正确；对于B，由，，，故B正确；对于C，将函数图象向左平移个单位长度得到，则为奇函数，故C错误；对于D，当则，因为在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故D正确，故选：ABD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是两个不共线的向量，向量.若，则__________.【答案】-2【解析】【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案.【详解】因为，所以设，故，解得.故答案为：-213.已知都是锐角，，则___________.【答案】##【解析】【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】、为锐角，，，由于为锐角，故答案为：14.已知函数（，），为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为______.【答案】5【解析】【分析】根据已知条件，易得，再结合在上单调，可知，进而可得的最大值.【详解】由为的零点，得，即，，①又因为图像的对称轴，得，，②联立①②得：，故为奇函数，又因在上单调，所以，即，故，因为奇函数，故，且检验满足在上单调.故答案为：5.【点睛】本题考查的正弦函数图像性质的综合应用，解决本题的关键在于在上单调，可转化为，但需验证结果是否满足题意即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在梯形中，，，.（1）若，求的长；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可；（2）利用余弦定理进行求解即可.【小问1详解】在中，由正弦定理得，则.【小问2详解】因为，所以.由余弦定理得，则，所以16.已知向量.（1）若向量与共线，求实数的值；（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标运算可知，即可求出参数值；（2）利用两向量夹角为锐角的充要条件是且与不共线，从而可得不等式组求解即可.【小问1详解】由题意可得，，若向量与共线，可得，解得.【小问2详解】若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，即可得，解得且，即实数的取值范围为且17.如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：）之间的关系为（1）求的值；（2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可以到达最高点？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据振幅得到，根据题意得到最小正周期，，由最值得到，代入特殊点函数值求出；（2）由（1）得到，从而得到方程，求出，求出最小值，得到答案.【小问1详解】由题意，振幅等于半径，即，逆时针方向每分钟转一圈，，，由题意，因为时，，所以，所以，又；【小问2详解】由（1）可得，，令，则有，即，，，当时，最小，，盛水筒出水后至少经过25s就可以到达最高点.18.在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）求外接圆的面积；（2）若，，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得：，因为，所以，得，又，故，∴外接圆的半径，∴外接圆的面积为.（2）由及得：，，∵，则为锐角，∴，故.如图所示，在中，由余弦定理得，，解得，则的周长为.【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.19.如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点，，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．（1）用，表示；（2）若，，求的值；（3）求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知可得出，然后即可得出答案；（2）先根据已知结合（1）的结论得出，然后根据三点共线得出，即可得出答案；（3）先用得出，然后根据数量积的运算律可推得.根据（2）的结论可得出，，，换元，可得出.然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质，即可得出答案.【小问1详解】因为D为BC中