空间向量及其运算的坐标表示精练（6大题型）

1.3空间向量及其运算的坐标表示【题型1空间直角坐标系及坐标表示】1、（2022秋·北京·高二北京市第一六一中学校考期中）已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，由题意得：，即，解得：，故顶点的坐标为.故选：D2、（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．【答案】【解析】因为是空间的一个单位正交基底，则有.所以向量用坐标形式表示为.故答案为：3、（2022秋·吉林白城·高二校考阶段练习）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是__________【答案】【解析】因为，为坐标原点，所以，又因为为正方体，所以所以.故答案为：4、（2022·高二课时练习）在空间直角坐标系中，已知点，，则______．【答案】【解析】故答案为：5、（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门第六中学校考期中）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵向量在基底下的坐标为，∴，设向量在基底下的坐标是，则，∴，解得，即.故选：D.【题型2空间点的对称问题】1、（2023秋·河南商丘·高二校联考期末）点关于轴的对称点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】点关于轴的对称点的坐标为.故选：C2、（2023秋·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）空间两点A，B的坐标分别为，则A，B两点的位置关系是（）A．关于x轴对称B．关于平面对称C．关于z轴对称D．关于原点对称【答案】C【解析】因为点A，B的横纵坐标互为相反数，它们的竖坐标相同，所以点A，B关于z轴对称.故选：C.3、（2023春·甘肃平凉·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】点关于平面对称的点的坐标为故选：C.4、（2023·高二课时练习）已知空间中点，则A点关于平面对称的点的坐标是_______．【答案】【解析】依题意，点关于平面对称的点的坐标是.故答案为：5、（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）在空间直角坐标系中，点关于yOz平面的对称点的坐标是______.【答案】【解析】关于yOz平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变，所以点关于yOz平面的对称点的坐标是，故答案为:.【题型3空间向量运算的坐标表示】1、（2022·全国·高二专题练习）已知向量,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵向量,∴.故选:B.2、（2022·全国·高二专题练习）已知，，则（）A．5B．7C．3D．【答案】B【解析】，，∴．故选：B3、（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】根据向量的运算可得：，所以，所以，故选：B4、（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知，，则______.【答案】4【解析】设，，由，，得，，解得，所以，，则.故答案为：4.5、（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，显然，不共线，根据向量基本定理可得，故C点坐标为，经验算只有B选项符合条件，此时，故选：B【题型4空间向量平行与垂直的坐标表示】1、（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得：.故选：B.2、（2023春·高二课时练习）已知空间三点，，，设.若，求实数k的值．【答案】.【解析】三点，，，则，，因为，则有，解得，所以实数k的值是.3、（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）已知空间三点，，共线，则____________．【答案】【解析】由已知得：.因为三点共线,所以.所以，解得：.所以.故答案为:.4、（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若与相互垂直，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，，即，且，，解得；（2），，又，解得．5、（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．的最小值为2D．的最大值为4【答案】ABC【解析】对于A，若，且，，则存在唯一实数使得，即，则，解得，故A正确；对于B，若，则，即，解得，故B正确；，故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.【题型5空间向量模长的坐标表示】1、（2023春·江苏·高二华罗庚中学校考阶段练习）若，则______．【答案】【解析】因为，所以，则.故答案为：.2、（2022·高二课时练习），，则_______．【答案】6【解析】因为，，所以，所以；故答案为：.3、（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）（多选）已知直线的方向向量分别是，，若且，则的值可以是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为已知直线的方向向量分别是，，其中且，所以，即，解得或，所以或.故选：BD.4、（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设，则，，，当时取得最大值，故选：B5、（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）在正四棱锥中，，在棱上，在直线上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所以，连接AC，BD，记，连接OP，由正四棱锥的性质可知OC，OD，OP两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为轴、轴和轴轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，，，则，,设，则，从而，故点A到直线CE的距离，即AF的最小值是.故选：D.【题型6空间向量夹角的坐标表示】1、（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．【答案】/【解析】因为，，由空间向量的夹角公式可得，，所以、夹角的余弦值是，故答案为：.2、（2022秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知向量，，若与夹角为，则k的值为________．【答案】【解析】，，所以，可知，解得：．故答案为：.3、（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．【答案】【解析】由已知与的夹角为钝角，则，即，解得.若a与b的夹角为180°，则存在，使.所以，所以，，所以且.故t的取值范围是.故答案为：.4、（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______.【答案】【解析】