微专题28 计数原理

板块五概率与统计微专题28计数原理高考定位1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，有时也与函数、不等式、数列交汇考查.【

真题体验

】1.(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 A.30种 B.60种

C.120种

D.240种√A.6 B.－6 C.12

D.－12√－28r＝0，1，…，7，8.55.(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________.1121314012223342132233431524344424112第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24.先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112.精准强化练热点一两个计数原理热点二排列与组合热点三二项式定理热点突破热点一两个计数原理1.利用分类加法计数原理时注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准，分类时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类.2.利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成.(1)(2024·海南调研)为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过4次传球，球仍回到甲手中，则传法总数为A.30 B.24 C.21 D.12例1√法一由题意，四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过4次传球，球仍回到甲手中，可分两种情况：①当第2次球传到甲手中，则经过4次传球，球仍回到甲手中，共有3×1×3×1＝9(种)不同的传法；②当第2次球不传到甲手中，则经过4次传球，球仍回到甲手中，共有3×2×2×1＝12(种)不同的传法，综合①②可得经过4次传球，球仍回到甲手中，传法总数为9＋12＝21(种).法二由题意第3次传球后球一定不在甲手中，而第4次传球只能传给甲，若第2次传球后球在甲手中，则不同的传法有3×1×3×1＝9(种)；若第2次传球后球不在甲手中，则不同传法有3×2×2×1＝12(种)，综上，第4次仍传回到甲的方法共有9＋12＝21(种).(2)用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是√先涂E，有4种选择，接下来涂C，有3种选择，再涂F，有2种选择，A.120 B.72 C.48

D.24①当C，D颜色相同时涂色方法数是4×3×2×1×2＝48，②当C，D颜色不相同时涂色方法数是4×3×2×1×(1＋2)＝72，∴满足题意的涂色方法总数是48＋72＝120.利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事.(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步.规律方法(1)(2024·湛江调研)某企业面试环节准备编号为1，2，3，4的四道试题，编号为1，2，3，4的四名面试者分别回答其中的一道试题(每名面试者回答的试题互不相同)，则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有A.9种 B.10种

C.11种

D.12种训练1√根据题意分析可得，面试者1可以从编号为2，3，4的三道试题中任选一道，假设选编号为2的试题，则面试者2可以从剩下的3道试题中任选一道，假设选编号为3的试题，则面试者3只能选编号为4的试题，面试者4只能选编号为1的试题，可知面试者1选编号为2的试题时有3种符合题意的选法；同理，面试者1选编号为3或4的试题时，都有3种符合题意的选法，故每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有3＋3＋3＝9种.故选A.√(2)用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为A.81 B.48 C.36

D.24根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×2＝16个；②数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×2＝32个，故有16＋32＝48个四位数，故选B.热点二排列与组合解决排列、组合问题的一般步骤(1)认真审题弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.(1)(2024·邯郸模拟)某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为A.12 B.18 C.20 D.60例2√根据题意，可分为两类：由分类加法计数原理得，共有8＋12＝20种不同的插法.(2)(2024·杭州模拟)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是A.300 B.240 C.150 D.50√先将5名志愿者分成3组，排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.规律方法(1)(2024·兰州诊断)将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为A.15 B.35 C.56

D.70训练2√将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆，√(2)(2024·聊城模拟)班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有A.60种 B.54种

C.48种

D.36种综合得不同的安排方案共有36＋18＝54种.热点三二项式定理热点三二项式定理例3√对于A，(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，√√令x＝0，则a0＝1，易知a1，a3，a5，a7，a9为负数，a2，a4，a6，a8，a10为正数.令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10，故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－a1＋a2－…－a9＋a10＝310－1，故A正确；9－18由a0＋a1＝－35，得1－4n＝－35，解得n＝9.规律方法训练3√√A.二项式系数最大项为第五项

B.各项系数和为0C.含x4项的系数为4 D.所有项二项式系数和为16√对于D，所有项的二项式的系数和为24＝16，故D正确.【精准强化练】√1.(2024·烟台模拟)将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为 A.3

B.6 C.10 D.15√A.－112 B.112 C.－28 D.28√3.(2024·石家庄质检)某一年贺岁片《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有 A.9种 B.36种

C.38种

D.45种从4人中选择2人看同一部影片，√4.(2024·邵阳模拟)某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲、乙、丙等六人分别上台发言，其中负责人甲、乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有 A.240种 B.120种

C.156种

D.144种√5.(1＋2x)(1＋x)3的展开式中x2的系数为 A.4

B.6 C.9 D.106.(2024·荆州调研)(a2－a＋b)5的展开式中a5b2的系数为 A.－60 B.－30 C.30 D.60(a2－a＋b)5＝[(a2－a)＋b]5，√7.某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为第一步：排男孩，第一个男孩在第一行有四个位置可选，第二个男孩在第二行有三个位置可选，由于两名男孩可以互换，故男孩的排法有4×3×2＝24(种)，√ABCDEFGHA.168 B.336 C.338 D.84第二步：排女孩，若男孩选AF，则女孩有BE，BG，BH，CE，CH，DE，DG共7种选择，

由于女孩可以互换，故女孩的排法有2×7＝14(种)，根据分步乘法计数原理，共有24×14＝336(种)，故选B.8.(2024·嘉兴模拟)6位学生在游乐场游玩A，B，C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有 A.180种 B.210种

C.240种

D.360种√9.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是 A.共有60种不同的坐法

B.空位不相邻的坐法有72种 C.空位相邻的坐法有24种 D.两端不是空位的坐法有18种√√√然后把2个空位插入3个人形成的4个空隙中，对于C，把2个空位先捆绑好，再插入3人形成的4个空隙中，

对于D，先从3人中抽取2人放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，10.(2024·郑州调研)已知(m＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，(x－1)(m＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5，其中m∈R，m≠0.若a2＝3b2，则 A.m＝2 B.a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝81 C.b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝－16 D.b1＋2b2＋3b3＋4b4＋5b5＝80√√因为a2＝3b2，所以6m2＝3(4m3－6m2)，解得m＝0(舍去)或m＝2，故A正确；由(2＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝34＝81，故B正确；由(x－1)(2＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5，令x＝0可得b0＝－24＝－16，令x＝1可得b0＋b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝0，所以b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝16，故C错误；将(x－1)(2＋x)4＝b0＋b1x＋b2x2＋b3x3＋b4x4＋b5x5两边对x求导可得，(2＋x)4＋4(x－1)(2＋x)3＝b1＋2b2x＋3b3x2＋4b4x3＋5b5x4，令x＝1