微专题30　随机变量及其分布

板块五概率与统计微专题30随机变量及其分布高考定位离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，选择题、填空题、解答题都有出现，中等难度.【

真题体验

】(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数01234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；法一记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知索赔次数为2，3，4，法二记“随机抽取一份保单，索赔次数不少于2”为事件A，由索赔次数不少于2，知可利用间接法计算，(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；由题知X的所有可能取值为0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122.②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与①中E(X)估计值的大小.(结论不要求证明)如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值比①中E(X)估计值大.证明如下：设调整保费后一份保单的毛利润(单位：万元)为Y，则对于索赔次数为0的保单，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，对于索赔次数为1的保单，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，对于索赔次数为2的保单，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，对于索赔次数为3的保单，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，对于索赔次数为4的保单，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.所以E(X)<E(Y).精准强化练热点一分布列的性质及应用热点二随机变量的分布列热点三正态分布热点突破热点一分布列的性质及应用离散型随机变量X的分布列为例1√∴E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；对于D，∵D(ξ)＝2，∴D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故D不正确.(2)(2024·名校联考)已知随机变量X的分布列如表所示：√分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.规律方法(1)(2024·安庆质检)已知随机变量X的分布列为训练1√√热点二随机变量的分布列考向1二项分布例2(2024·临沂模拟)某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台游戏最受欢迎.游戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束，规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败.(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X级台阶，求X的分布列及数学期望E(X)；且X的可能取值为6，7，8，9，所以X的分布列为因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，(2)甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率.结合题意可知，若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，可知不能获得奖品的概率为所以甲、乙两位学生参加游戏，考向2超几何分布例3(2024·成都诊断)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因为20×25%＝5，由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.所以X的所有可能取值为1，2，3.所以X的分布列为求随机变量X的均值与方差的方法及步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.规律方法(2024·山西部分学校联考)某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0<p<1)，且猜中每道谜语与否互不影响.(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；训练2设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的可能取值分别为2，3，4.故小张猜中谜语道数X的分布列为设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y～B(4，p)，Y的取值分别为0，1，2，3，4，P(Y＝0)＝(1－p)4，P(Y＝4)＝p4.故小王猜中谜语道数Y的分布列为Y01234P(1－p)44p(1－p)36p2(1－p)24p3(1－p)p4(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围.热点三正态分布解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ.(2)样本标准差σ.(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.A.2000 B.3000 C.4000 D.5000例4√由题易知均值μ＝90，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为0.1×50000＝5000.(2)(多选)(2024·宿迁模拟)设随机变量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，下列说法正确的是A.变量X的方差为1，均值为0B.P(|X|≤x)＝1－2f(x)C.函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数D.f(－x)＝1－f(x)√随机变量X～N(0，1)⇒σ2＝1，μ＝0，则A正确；√√P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，则B错误；随机变量X～N(0，1)，结合正态曲线易得函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，则C正确；正态分布的曲线关于x＝0对称，f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，则D正确.利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1，注意下面三个结论的活用：(1)对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).规律方法(1)(2024·开封模拟)在某项测验中，假设测验数据服从正态分布N(78，16).如果按照16%，34%，34%，16%的比例将测验数据从大到小分为A，B，C，D四个等级，则等级为A的测验数据的最小值可能是(附：若X～N(μ，σ2)，则

P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)A.94 B.86 C.82

D.78训练3√故A等级的分数线应该是μ＋σ＝78＋4＝82.√A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8√由题意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，所以A错误，B正确；因为Y～N(2.1，0.12)，P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.8413－0.5＝0.3413，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.3413＋0.5＝0.8413>0.8，所以C正确，D错误.【精准强化练】√√2.(2024·合肥模拟)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>1.5)等于 A.0.14

B.0.62 C.0.72 D.0.86随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，所以P(X>1.5)＝1－0.14＝0.86.√3.已知随机变量X的分布列为√4.(2024·辽阳模拟)辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称.已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量M(单位：kg)服从正态分布N(25，σ2)，且P(24.9<M<25.1)＝0.8，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在25kg～25.1kg的盘锦大米的袋数的方差为 A.14.4

B.9.6 C.24

D.48从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量为25kg～25.1kg的盘锦大米的袋数X～B(60，0.4)，故D(X)＝60×0.4×(1－0.4)＝14.4，故选A.√5.从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取1件.若抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝ A.2

B.1 C.3

D.4ξ的可能取值为0，1，2.所以ξ的分布列为6.(2024·福州质检)下列命题错误的是数据x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则数据3x1，3x2，3x3，…，√X～N(1，σ2)，P(X>0)＝0.75，则P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2[P(X>0)－P(X>1)]＝2×(0.75－0.5)＝0.5，故C正确；X为取有限个值的离散型随机变量，则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2≥0，故D错误.7.(2024·绵阳诊断)若离散型随机变量X的分布列如表所示，E(X)＝0，D(X)＝1，则P(X<1)＝√又因为P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)，8.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则 A.P(7<ξ<9)＝0.8 B.E(X)＝1.8 C.E(ξ)>E(5X) D.P(X≥1)>0.9√√由正态分布的对称性可知：P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)<E(5X)，C错误；因为X～B(3，0.6)，9.(2024·武汉调研)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩 X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则 A.μ＝80，σ＝400√√√对于A，由E(X)＝80，D(X)＝400，则μ＝80，σ2＝400，故A错误；对于B，由μ＝80，σ2＝400，则X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤x≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，10.盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球，每次取1个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为ξ，则ξ的均值E(ξ)＝________.由