提优点18　抛物线中的阿基米德三角形

板块六平面解析几何提优点18抛物线中的阿基米德三角形知识拓展设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线切线，切线相交于点C.由抛物线的弦AB，与过弦AB的端点的两条切线围成的△ABC称为阿基米德三角形(线段AB常称为阿基米德三角形的底边，C称为顶点).阿基米德三角形的常见性质如下：精准强化练类型一定点问题类型二轨迹问题类型三面积问题类型突破类型一定点问题例1整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.1.抛物线的切线方程可用解析法(Δ＝0)求解，但用导数更方便.2.阿基米德三角形的顶点C与底边AB所在直线是极点极线.规律方法(2024·武汉模拟改编)记曲线C的方程为x2＝4y.设D为直线y＝－2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F.证明：直线EF过定点.训练1设D(t，－2)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，得x1x－2y1－2y＝0，所以直线DE的方程为x1x－2y1－2y＝0，同理可得直线DF的方程为x2x－2y2－2y＝0.因为D(t，－2)在直线DE上，所以tx1－2y1＋4＝0，又D(t，－2)在直线DF上，所以tx2－2y2＋4＝0，则点E，F的坐标都满足tx－2y＋4＝0，所以直线EF的方程为tx－2y＋4＝0，故直线EF过定点(0，2).类型二轨迹问题例2(1)求p的值；由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2，2)，代入y2＝2px，(2)求动点M的轨迹方程.1.切点弦变化引起切线交点的变化是常见的轨迹问题.2.寻找切点弦运动的因素与切线交点之间的关系后，常用代入法.规律方法已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2＝2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P(x0，y0).(1)求证：x0是x1与x2的等差中项；训练2对x2＝2y求导得y′＝x，∴直线PA：y＝x1(x－x1)＋y1，(2)若直线AB过定点M(0，1)，求证：原点O是△PAB的垂心；设直线AB：y＝kx＋1，代入x2＝2y整理得x2－2kx－2＝0.∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，∴原点O是△PAB的垂心.设△PAB的重心G(x，y)，(3)在(2)的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程.类型三面积问题(2024·南京模拟)已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；例3∴曲线C的轨迹方程为x2＝4y且(x≠±4).(2)Q为直线y＝－1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D，E，求△QDE的面积S的最小值.设Q(m，－1)，切线方程为y＋1＝k(x－m)，化为x2－4kx＋4(km＋1)＝0，由于直线与抛物线相切可得Δ＝0，即k2－km－1＝0.∴x2－4kx＋4k2＝0，解得x＝2k.可得切点(2k，k2)，由k2－km－1＝0.∴k1＋k2＝m，k1·k2＝－1，∴切线QD⊥QE.令切点(2k，k2)到Q的距离为d，则d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋(km＋2)2＝4(k2－km)＋m2＋k2m2＋4km＋4＝(4＋m2)(k2＋1)，当m＝0时，即Q(0，－1)时，△QDE的面积S取得最小值4.关于阿基米德三角面积的性质在选择题、填空题中可直接运用，在解答题中不能直接使用，但能帮助预先得出结果.规律方法已知抛物线C：x2＝4y，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点.训练3(1)若点N的纵坐标为－2，求证：直线AB恒过定点；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，即2(y－y1)＝x1x－4y1，即x1x＝2(y＋y1)，同理，直线NB的方程为x2x＝2(y＋y2).又直线NA与直线NB都过N(x0，y0)，则x1x0＝2(y0＋y1)，x2x0＝2(y0＋y2)，从而A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线x0x＝2(y0＋y)上，故直线AB的方程为x0x＝2(y0＋y).又y0＝－2，故直线AB的方程为2(y－2)＝x0(x－0)，故直线AB过定点(0，2).(2)若|AB|＝m(m>0)，求△ABN面积的最大值(结果用m表示).得x2－2x0x＋4y0＝0，【精准强化练】√1.(2024·厦门质检)抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为 A.x－2y－1＝0 B.2x＋y－2＝0 C.x＋2y－1＝0 D.2x－y－2＝0设抛物线的焦点为F，由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x＝－1，因为△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x的焦点，所以点P必在抛物线的准线上，所以点P(－1，4)，√√抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为弦AB过焦点，故点P在准线上，√从而△APB为直角三角形且PF⊥AB，设过点P的准线与x轴的交点为T，则|FT|＝3，进而可知∠PFO＝30°，又∵∠PFB＝90°，5.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点(A在第一象限)，M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是 A.|AB|的最小值为4 B.NF⊥AB C.△NAB面积的最小值为6当AB⊥x轴时，|AB|的值最小为2p＝4，√√√由抛物线中的阿基米德三角形的性质可得NF⊥AB，△NAB的面积的最小值为p2＝4，故A，B正确，C错误；6.(2024·长沙模拟)已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，过其准线上的点T(t，－1)作Γ的两条切线，切点分别为A，B，下列说法正确的是 A.p＝4 B.TA⊥TB C.当t＝1时，直线AB的斜率为2 D.直线AB过定点(0，1)√√由抛物线中阿基米德三角形的性质可知TA⊥TB，直线AB过定点(0，1)，故B，D正确.如图，则有PF⊥AB，PA⊥PB⇒|PF|2＝|AF|·|BF|＝9，8.已知抛物线C：x2＝4y，过点P(1，－1)作抛物线C的两条切线，切点分别为A和B，则经过P，A，B三点的圆的方程为_____________________