微专题32 直线与圆

板块六平面解析几何微专题32直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.【

真题体验

】1.(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为√化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝√依题意可知圆心坐标为(a，0)，又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，3.(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为√根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2).设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，4.(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝√如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，2(答案不唯一，可以精准强化练热点一直线的方程及应用热点二圆的方程热点三直线、圆的位置关系热点突破热点四隐圆问题热点一直线的方程及应用(1)(2024·西宁模拟)已知直线l1：ax＋3y－6＝0，直线l2：2x＋(a－1)y－4＝0，则“a＝－2”是“l1∥l2”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件例1√由l1∥l2可得a(a－1)－3×2＝0，解得a＝3或a＝－2，当a＝3时，l1：3x＋3y－6＝0，l2：2x＋2y－4＝0，则l1与l2重合，舍去；故l1∥l2时，a＝－2.√√故选CD.讨论两直线的位置关系时，要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.易错提醒(多选)下列说法错误的是A.过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B.直线ax＋y＋1＝0与以A(2，3)，B(－3，2)为端点的线段相交，则a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)C.经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D.过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)训练1√对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，√可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，所以A错误；直线l：ax＋y＋1＝0过定点P(0，－1)，如图，直线l的斜率为－a，若直线l与线段AB总有公共点，则－a≤－1或－a≥2，得a≤－2或a≥1，即a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)，所以B正确；所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确.热点二圆的方程(1)(2024·长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三个点的圆的方程为A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1例2√设经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，且满足D2＋E2－4F＝4>0，所以经过A，B，C三个点的圆的方程为x2＋y2－2y＝0，即为x2＋(y－1)2＝1.(2)(2024·北京西城区二模)已知圆C经过点(－1，0)和(3，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程为________________.设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，(x－1)2＋y2＝4所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.求圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.规律方法A.(x－2)2＋(y＋4)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋4)2＝16C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.(x－2)2＋(y－4)2＝16训练2√∵圆C的圆心在直线y＝2x上，∴可设C(a，2a)，又圆C与x轴的正半轴相切于点A，∴a>0，且圆C的半径r＝2a，A(a，0).解得a＝6或a＝2，∴A(2，0)或A(6，0)，又点A在直线x－y－4＝0的左上方，∴A(2，0)，∴C(2，4)，r＝4，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.√(2)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为A.(x＋4)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－4)2＋(y－2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋4)2＝4 D.(x－2)2＋(y－4)2＝4由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0，0)，半径为2，设圆心C1(0，0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.热点三直线、圆的位置关系考向1直线与圆的位置关系例3√√√由题意可知，直线l过定点P(3，4)，圆O的圆心为原点O，半径为3，设圆心O到直线l的距离为d.所以点N到l的最大距离为5＋3＝8，故A正确.若l被圆O所截得的弦长最大，则直线l过圆心O，可得－3k＝－4，若M也在圆O上，则直线l与圆O相切或相交，当直线l与圆O相切时，点O到l的距离取最大值3，故D正确.√设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，考向2圆与圆的位置关系例4√√根据题意，可得圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2.对于B，两圆内切时，圆心距d＝|OC|＝R－r＝1，对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d＝|OC|∈(R－r，R＋r)，对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦上时，公共弦长等于2r＝2，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确.规律方法(1)(多选)(2024·温州模拟)若圆C与直线3x－4y－12＝0相切，且与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A(2，0)，则圆C的半径为训练3√圆x2－2x＋y2＝0的圆心为(1，0)，半径为1，√圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A(2，0)，则圆心在x轴，设圆心为(a，0)，√对于A，由圆C：x2＋y2－4x－2y－13＝0，可化为(x－2)2＋(y－1)2＝18，√√所以圆O与圆C相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误；所以D正确.热点四隐圆问题在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之为隐圆问题.直线x＋ky－2＝0恒过定点N(2，0)，又易知两直线垂直，故P点轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的交点，于是得x2＋y2＝4(x≠±2)，例5√直线kx－y＋2k＝0恒过定点M(－2，0)，当旋转到与圆O：x2＋y2＝4相切时，∠OAP最大，因为|OA|＝4，AP′为切线，点P′为切点，(2)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10可得[0，3]x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，即x2＋(y－1)2＝4，则点M在圆x2＋(y－1)2＝4上，由题目条件可知点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，解得0≤a≤3.规律方法训练4√√√即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，化简可得(x－3)2＋y2＝8，即点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8，A正确；∵直线AB过圆(x－3)2＋y2＝8的圆心，∴点P到直线AB的距离的最大值为圆当∠PAB最大时，则PA为圆(x－3)2＋y2＝8的切线，直线AC的方程为7x－y＋7＝0，【精准强化练】√1.在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为 A.5x－2y－5＝0 B.2x－5y－5＝0 C.5x－2y＋5＝0 D.2x－5y＋5＝0√2.(2024·大连模拟)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为 A.x2＋y2＝4 B.(x－2)2＋y2＝8 C.(x－1)2＋y2＝5 D.(x－2)2＋y2＝10设该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x－a)2＋y2＝r2，√3.直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是A.相交

B.相切

C.相离

D.无法确定已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交.√4.(2024·北京石景山区模拟)直线y＝kx＋1与圆x2＋(y＋1)2＝16相交于A，B两点，则线段AB的长度可能为 A.5 B.7 C.9

D.14直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，且点(0，1)在圆x2＋(y＋1)2＝16内，当点(0，1)是弦AB的中点时，此时弦长最短，√5.折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是 A.[0，1] B.[0，2] C.[－1，0] D.[－2，0]如图，要想使折叠后的O点落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使点O与D重合，k即为直线l的斜率.当折叠后点O与C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，则k的取值范围是[－2，0]，故选D.以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线y轴，建立直角坐标系，√则A(－1，0)，B(1，0)，则有|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2，如图所示.当点P为圆与x轴的交点(靠近原点)时，此时，|OP|取最小值，7.(2024·嘉兴二模)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A(－6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为 A.(0，5] B.[5，15] C.[10，15] D.[15，＋∞) 如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M，√因A(－6，0)，B(0，8)，故圆M：(x＋3)2＋(y－4)2＝25.依题意知圆M与圆C至少有一个公共点.因C(5，－2)，M(－3，4)，由|r－5|≤|CM|≤5＋r，解得5≤r≤15.如图，圆C：x2＋y2＝4的圆心到直线l：y＝x＋4的距离√∠APB最大，不妨设切线为PE，PF(其中E，F为切点)，9.(2024·西安调研)已知直线l：ax＋(2a＋3)y－3＝0，直线n：(a－2)x＋ay－1＝0，则√√√对于A，当a＝－2时，l：2x＋y＋3＝0，则1×5＋11×(－1)＝－6≠0，故l⊥n不成立，B错误；对于C，当l∥n时，a2＝(2a＋3)(a－2)，则a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＝0，可得a＝3或a＝－2，当a＝3时，l：x＋3y－1＝0，n：x＋3y－1＝0，两直线重合，排除a＝3；当a＝－2时，由A选项的分析知l∥n成立，对于D，坐标原点(0，0)到直线n的距离10.(2024·邵阳模拟)设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1上一点，已知点A(4，0)，B(5，0)，则下列结论正确的有√√设x＋y＝t，即x＋y－t＝0，B错误；11.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点M是直线l：y＝－x－1上的动点，过点