几种简单几何体的体积高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

4.5.2几种简单几何体的体积湘教版数学必修第二册第4章立体几何初步4.5几种简单几何体的表面积和体积祖暅原理与柱体、锥体的体积V棱柱＝

⁠V棱锥＝

⁠V圆柱＝

（r是底面半径，h是高）V圆锥＝

（r是底面半径，h是高）Sh

πr2h

（1）等底、等高的两个棱(圆)柱的体积相同.（2）等底、等高的棱(圆)锥和棱(圆)柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱(圆)柱的体积是棱(圆)锥的体积的3倍.典例精析

典例精析例

如图，埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥.已知该金字塔高约146.5m、底面边长约232m、求这座金字塔的侧面积和体积(结果分别精确到0.1m2和0.1m3)。台体的体积V棱台＝

（S'，S分别为上、下底面面积，h为棱台的高）V圆台＝

（r'，r分别是上、下底面半径，h是高）

柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

球的体积V球＝

（R为球的半径）

从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径有关，给定

R

都有唯一

确定的

S

和

V

与之对应，故表面积和体积是关于

R

的函数.（2）球的表面积（体积）计算中蕴含的数学思想①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的半径

R

，球的表面

积

S

，球的体积

V

三个量“知一求二”.②转化思想：空间问题平面化.练习巩固1.已知正方体的表面积为96，则正方体的体积为（

B

）B.64C.16D.96解析：设正方体的棱长为

a

，则6

a

2＝96，∴

a

＝4.∴其体积

V

＝

a

3＝43＝64.故选B.2.已知圆锥

SO

的高为4，体积为4π，则底面半径

r

＝

⁠.

3.已知棱台的上、下底面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为

⁠.

B解析：设正方体的棱长为

a

，则6

a

2＝96，∴

a

＝4.∴其体积

V

＝

a

3＝43＝64.故选B.

28

练习巩固4.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中

r

＝1，

l

＝3，试求该组合体的表面积和体积.解：该组合体的表面积

S

＝4π

r

2＋2π

rl

＝4π×12＋2π×1×3＝10π，

高考链接

【2023年新高考二卷】底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截取一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得台体的体积为

.等体积法研习1棱柱、棱锥、棱台的体积[典例1]

（1）如图所示，正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为1，

E

为线段

B

1

C

上

的一点，则三棱锥

A

－

DED

1的体积为

⁠.第（1）题图

研习1棱柱、棱锥、棱台的体积（2）如图，某几何体下面部分为正方体

ABCD

－

A

'

B

'

C

'

D

'，上面部分为正四棱锥

S

－

ABCD

，若几何体的高为5，棱

AB

＝2，则该几何体的体积为

⁠.第（2）题图

12

练习巩固[练习1]如图，四棱锥

P

－

ABCD

的底面是矩形，

PD

⊥底面

ABCD

，

M

为

BC

的中点，且

PB

⊥

AM

.

①证明：平面

PAM

⊥平面

PBD

.

解：（1）①证明：因为

PD

⊥底面

ABCD

，

AM

⊂平面

ABCD

，所以

PD

⊥

AM

，又

PB

⊥

AM

，

PB

∩

PD

＝

P

，

PB

，

PD

⊂平面

PBD

，所以

AM

⊥平面

PBD

，而

AM

⊂平面

PAM

，所以平面

PAM

⊥平面

PBD

.

练习巩固[练习1]如图，四棱锥

P

－

ABCD

的底面是矩形，

PD

⊥底面

ABCD

，

M

为

BC

的中点，且

PB

⊥

AM

.

②若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积.解：②由（1）可知，

AM

⊥平面

PBD

，

BD

⊂平面

PBD

，所以

AM

⊥

BD

，从而△

DAB

∽△

ABM

，设

BM

＝

x

，则

AD

＝2

x

，

因为

PD

⊥底面

ABCD

，

①证明：平面

PAM

⊥平面

PBD

.

研习2圆柱、圆锥、圆台、球的体积

C.64πA

[解析]（1）设圆锥的底面半径为

r

，母线长为

l

，

研习2圆柱、圆锥、圆台、球的体积[解析]（2）用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.（2）如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线

长分别为2和3，则该几何体的体积为（

D

）A.5πB.6πC.20πD.10πD研习3与球有关的切、接问题[典例3]

（1）一个球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为

⁠.

V

正方体＝

a

3.（2）在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.

在Rt△

C

'

CO

中，由勾股定理，得

CC

'2＋

OC

2＝

OC

'2，课堂小结本节课学习了什么？几何体体积棱柱V棱柱＝

⁠棱锥V棱锥＝

⁠棱台V棱台＝

（S'，S分别为上、下底面面积，h为棱台的高）圆柱V圆柱＝

（r是底面半径，h是高）圆锥V圆锥＝