事件的关系和运算高一下学期数学人教A版（2019）必修二

10.1.2事件的关系和运算

1.了解随机事件的并、交与互斥的含义，并能对事件类型作出正确的判断.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.想一想：抛掷一枚骰子，记事件A“出现奇数点”，事件B“出现偶数点”，事件A与事件B有什么关系？能否同时发生？大力出奇迹！探究：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如：Ci=“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6；D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”；E1=“点数为1或2”;E2=“点数为2或3”;F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；.....你能用集合的形式表示这些事件，并借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系吗？（一）事件的关系或运算思考1：用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，发现这两个事件之间的联系.用集合的形式表示：事件C1={1}和事件G={1，3，5}显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生.用集合表示就是

，也就是说，事件G包含事件C1.

1.包含关系思考2：用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.用集合的形式表示：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}显然，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.用集合表示就是{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即E1∪E2=D1这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件.一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）（如下图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）BA2.并事件思考3：用集合的形式表示事件E1=“点数为1或2”、事件E2=“点数为2或3”和事件C2=“点数为2”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.用集合的形式表示：E1={1,2}，E2={2,3}和C2={2}显然事件E1和E2同时发生相当于事件C2发生.用集合表示即{1,2}∩{2,3}={2}这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件.一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）（如下图所示的蓝色区域）AB3.交事件思考4：用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.用集合的形式表示：事件C3={3}，事件C4={4}显然，事件C3与事件C4不可能同时发生.即C3∩C4＝∅,这时我们称事件C3与事件C4互斥.4.互斥事件一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）（如下图所示）AB思考5：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系.在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一.用集合可以表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=∅，即F∩G=∅且F∪G=Ω.我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.5.对立事件

A事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生并事件（和事件）交事件（积事件）互斥（互不相容）互为对立A与B有且仅有一个发生A与B不能同时发生A与B同时发生A与B至少一个发生A∩B=∅A∪B=Ω，且A∩B=∅事件的关系或运算类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事件A,B,C,A∪B∪C（或A+B+C）发生当且仅当A,B,C中至少一个发生，A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A,B,C同时发生，等等.知识归纳例1.如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”.（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系.乙甲解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}（2）根据题意，可得（3）A∪B={（0,1），（1,0），（1,1）}

A={（0,1），（1,0）}，B={（0,1），（1,1）}

例2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？解：（1）所有的试验结果如右图所示.用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}121214121314212324313234414243例2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}同理，于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2)，(2，1），(3，4)，(4，3)}N={（1，3)，(1，4）,(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.

因为R∩G=∅，所以事件R与事件G互斥,因为M∪N=Ω，M∩N=∅，所以事件M与事件N互为对立事件.（3）因为R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件，

因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”.（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？1.投掷一枚骰子，下列事件：A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，E＝{点数是3的倍数}．求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)D，AC.解：(1)A∩B＝∅，BC＝{出现2点}．(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}．(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；AC＝{出现1点}．2.某人打靶时连续射击2次，下列事件中与事件“至少有一次中靶”的互为对立的是().A.至多一次中靶

B.两次都中靶C.只有一次中靶

D.两次都不中靶[变式]某人连续射击3次，则事件“至少击中两次”的对立事件是()A．恰有一次击中

B．三次都没击中C．三次都击中

D．至多击中一次DD3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(

)A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对B事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件