2024-2025学年重庆十一中教育集团高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆十一中教育集团高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.计算A42−CA.2 B.−2 C.−4 D.42.某高山滑雪运动员在一次训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为：l(t)=2t2+32tA.10.5m/s B.13.5m/s C.15.0m/s D.18.0m/s3.用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(

)A.24个 B.30个 C.40个 D.60个4.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(x)的导函数为f′(x).若函数y=f′(x)的图象如图所示，则(

)A.f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增

B.f(x)在区间(−∞,0)上单调递减

C.f(0)<f(−1)<f(−2)

D.f(−5.某网红奶茶店“Cℎill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是(

)A.28% B.32% C.35% D.40%6.从编号1～10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一次”，则P(B|A)=(

)A.15 B.518 C.13187.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)+xf′(x)<0，若f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集为(

)A.(−2,0)∪(0,2) B.(−∞,−2)∪(2,+∞)

C.(−2,0)∪(2,+∞) D.(−∞,−2)∪(0,2)8.已知函数f(x)=ax−sinx(a∈R)，对于任意x1,x2∈(0,π3)，当xA.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(12,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知事件A，B满足P(A)=0.5，P(B)=0.2，则(

)A.若B⊆A，则P(AB)=0.5 B.若A与B互斥，则P(A+B)=0.7

C.若A与B相互独立，则P(AB−)=0.9 D.若P(B|A)=0.2，则A10.2025年重庆市“心之向往，渝跑渝爱”主题马拉松赛事设置了全程马拉松、半程马拉松、健康跑和亲子跑四个项目.在渝大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和健康跑、亲子跑四个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是(

)A.若全程马拉松项目必须安排2人，其余三项各安排1人，则有60种不同的分配方案

B.若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有240种不同的分配方案

C.安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法

D.安排这5人排成一排拍照，若甲不站排头和排尾，则有72种不同的分配方案11.已知函数f(x)=x(x−1)(ex−a)，则下列说法正确的是A.若a=e，则f(x)有2个零点

B.若a≤0，则f(x)<0的解集为(0,1)

C.∀a>0，f(x)在(0,+∞)上有极小值

D.∃0<a<1，f(x)在(0,+∞)上有极大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.随机变量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m则P(X≤2)=______．13.已知函数f(x)=lnxx，若函数y=f(x)−m(m为常数)有且仅有2个零点，则m的取值范围是______．14.甲、乙、丙三人一起踢毽子，第1次由甲踢出毽子，每次踢毽子时，踢毽子者都等可能地将毽子踢给另外两个人中的任何一人，则3次踢毽子后毽子在乙手中的概率为______，n次踢毽子后毽子在乙手中的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知函数f(x)=3x3+ax+b在x=1处取得极值−1．

(1)求实数a，b的值；

(2)求f(x)在区间[−2,3]16.(本小题15分)

在(x+2x)n的展开式中，_____．

给出下列条件：①二项式系数和为64；②第三项的二项式系数为15；③只有第4项的二项式系数最大；试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

(1)求n的值，并求出展开式中的常数项；

(2)求(1+17.(本小题15分)

2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为12和23，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和43−p，其中13<p<23.假设每次比赛结果相互独立．

(1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？

(2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为572，求p18.(本小题15分)

已知函数f(x)=a(1−ex)+x，a∈R．

(1)若a>0，判断f(x)的单调性；

(2)若f(x)≤0，求a的值；

(3)已知g(x)=xex+12，19.(本小题17分)

牛顿法(Newton′s metℎod)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是f(x)=0的根，任意选取x0作为r的初始近似值，曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线为l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线为l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般地，曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))(n∈N)处的切线为ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称xn+1为r的n+1次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取xn为方程f(x)=0的近似解.对于函数f(x)=x+lnx，已知f(r)=0，并取x0=1作为r的初始近似值．

参考答案1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】BD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】0.3

13.【答案】(0,114.【答案】38；13+16×(−12)n−1．

15.【答案】解：(1)f(x)=3x3+ax+b，则f′(x)=9x2+a，

因函数f(x)=3x3+ax+b在x=1处取得极值−1，

则f(1)=3+a+b=−1f′(1)=9+a=0，解得a=−9b=5，

经检验，a=−9b=5符合题意．

(2)由(1)得f(x)=3x3−9x+5，f′(x)=9x2−9，

f′(x)>0，得−2<x<−1或1<x<3，f′(x)<0，得−1<x<1，

所以f(x)在(−2,−1)和(1,3)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，

故f(x)在x=−1处取得极大值，在x=1处取得极小值，

f(−2)=−1，f(−1)=11，f(1)=−1，f(3)=59，

则f(x)在区间[−2,3]上的最大值为59，最小值为−1．

16.解：(1)若选①，则2n=64，解得n=6，此时二项式(x+2x)6的常数项为C63x3(2x)3=160；

若选②，则Cn2=15，解得n=6，此时二项式(x+2x)6的常数项为C63x3(2x)3=160；

若选③，则Cn3最大，且n为偶数，则n=6，此时二项式(x+2x)6的常数项为C63x3(2x)3=160；

综上，选①②③：n的值为6，且此时二项式(x+2x)6的常数项为C63x3(2x)3=160；

(2)由(1)可知n=6，则多项式为(1+x2)(x+X0123P73111518.解：(1)f′(x)=−aex+1，因为a>0，令f′(x)=0，解得：x=−lna，

所以当f′(x)>0时，x<−lna，

当f′(x)<0时，x>−lna，

所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递增，在(−lna,+∞)上递减；

(2)由(1)可知，当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递增，

在(−lna,+∞)上单调递减，

故f(x)max=f(−lna)，

若f(x)≤0，则f(x)max≤0，即f(−lna)≤0，

代入可得：f(−lna)=a(1−e−lna)−lna=a−1−lna，

令g(x)=x−1−lnx(x>0)，则g′(x)=1−1x=x−1x，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

则g(x)min=g(1)=0，即f(−lna)min≥0恒成立，且f(1)=0，

所以f(−lna)=0，即a=1；

当a<0时，f′(x)=−aex+1>0恒成立，即f(x)在R上单调递增，又f(0)=0，

所以当x>0，f(x)>f(0)=0，f(x)≤0不恒成立，

故a<0不成立．

综上所述a=1；

(3)证明：令ℎ(x)=g(x)−f(x)=(x−1)ex−x+32，x∈(0,+∞)，

ℎ′(x)=xex−1，令t(x)=xex−1，

t′(x)=(x+1)ex>0，

所以ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，

因为ℎ′(12)=e2−1<0，

ℎ′(1)=e−1>0，

所以ℎ′(x)在(12,1)上存在唯一零点x0，

令ℎ′(x0)=0，则ex0=1x0，

令ℎ′(x)>0，所以x>x0；令ℎ′(x)<0，所以0<x<x0；

所以ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，

所以ℎ(x)min

=ℎ(x0)=(x0−1)ex0−x0+32=52−(x0