2025年山东省济南高新区九年级中考数学二模考试试题（含答案）

年高新区学考模拟测试数学试题2025.04本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷共2页，满分为40分；第II卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.-2025的绝对值是（）A．-2025B．2025C．−12025D．2.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（）3．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（）A．1.4×10−8B．1.4×10−7C．0.14×10−6D．1.4×10−94.下列数学符号中，是轴对称图形的是（）5．计算a2÷1b·b的结果是（A．a2B．a2b2C．a2b2D．2a6．某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=31.5°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（）A．148.5°B．131.5°C．121.5°D．58.5°7．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光耀的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同，若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（）A．12B．13C．148.定义新运算：m*n=m2−2m−3n，例如：3*4=32−2×3−3×4=−9，若关于x的一元二次方程x*a=3有实数根，则a的取值范围是（）A．a>43B．a≥43C．a>−439．如图，正方形ABCD，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF交CD于点G，若GEGF=3，则EDBC的值为（A．324B．23C．10．对于任意的实数m、n，定义符号max{m，n}的含义为m，n之间的最大值，如max{3，2}=3，max{-1，2}=2．定义一个新函数：y=max(−14x2+x+94,∣x∣)，则y≥3时，x的取值范围为（A．x≤−3或x≥1B．x≤−1或1≤x≤3C．-1≤x≤3D．x≤-3或x≥3二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．因式分解：4m2−25=．12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为．13.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图。则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为S2甲S2乙（填"<"或">")14．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y=﹣172x2，正常水位时水面宽AB为24m，当水位上升1.5m时水面宽CD为15.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究tan∠ACD的值为．三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．(本题满分7分)计算：12−2COS30°+(12)−2+∣−3∣−(π−3.14)17．(本题满分7分)解不等式组：3（）≥18．(本题满分7分)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF．求证：DE=DF．19．(本题满分8分)高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高絙”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点C到AD所在直线的距离CH=3m，BC=15m，此时∠DAC=36.87°（如图2），当杂技演员走至钢丝中点F时，恰好∠FAD=∠FBE=60°（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，3≈1.73）（1）求AC的长；（2）求杂技演员从点C走到点F，下降的高度（结果精确到0.1m）．20.(本题满分8分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线垂直于AD的延长线，垂足为点E，AC，BD相交于点F．（1）求证：点C是BD的中点；（2）若BD=4，DC=5，求AD的长．21．(本题满分9分)【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣．数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．【数据搜集与整理】某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=，b=，m=；（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？22．(本题满分10分)某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？23．(本题满分10分)【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即FA×L1=FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1=1m，距右端L2=0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为N．（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为ycm．则：①y关于x的函数解析式是．②完成下表：a=，b=。③在直角坐标系中画出该函数的图象．（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的图象，记为L．若点A的坐标为（2，0），在L上存在点Q，使得S△OAQ=9．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．24．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）过点（1，3），交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA=12（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接PQ，BQ，当线段PD长度取得最大值时，求PQ+BQ的最小值；（3）在（2）中线段PD长度取得最大值的条件下，连接PA，将抛物线沿射线CB方向平移得到新抛物线y′，使得新抛物线y′经过点B，且与直线CB相交于另一点M，点N为新抛物线y'上的一个动点，当∠PAC+∠BMN=45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．25．(本题满分12分)综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．同学们以此开展了数学活动．操作发现（1）①如图1构造一个四边形ABCD，使得AB=AD，BC=DC，那么四边形ABCD“垂美四边形”．（填“是”或“不是”）②如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．那么四边形BCGE是“垂美四边形”吗？请说明理由．拓展探究（2）如图3，四边形ABCD是“垂美四边形”，则两组对边AB、CD与BC、AD之间有什么数量关系？请说明理由．迁移应用（3）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．P、Q分别是射线AB，AC上一个动点，同时从点A出发，分别沿AB和AC方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒，连接CP、BQ、PQ、PC与BQ交于点O，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出t的值．答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.-2025的绝对值是（B）A．-2025B．2025C．−12025D．2.我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（B）3．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（B）A．1.4×10−8B．1.4×10−7C．0.14×10−6D．1.4×10−94.下列数学符号中，是轴对称图形的是（C）5．计算a2÷1b·b的结果是（CA．a2B．a2b2C．a2b2D．2a6．某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=31.5°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（C）A．148.5°B．131.5°C．121.5°D．58.5°7．四大发明是中国古代先民为世界留下的一串光耀的足迹，是人类文明进步的象征．如图，小乐收集了中国古代四大发明的四张卡片，四张卡片除内容外其余均相同，若小乐从这四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片中有“指南针”的概率是（A）A．12B．13C．148.定义新运算：m*n=m2−2m−3n，例如：3*4=32−2×3−3×4=−9，若关于x的一元二次方程x*a=3有实数根，则a的取值范围是（D）A．a>43B．a≥43C．a>−439．如图，正方形ABCD，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接EF交CD于点G，若GEGF=3，则EDBC的值为（A．324B．23C．10．对于任意的实数m、n，定义符号max{m，n}的含义为m，n之间的最大值，如max{3，2}=3，max{-1，2}=2．定义一个新函数：y=max(−14x2+x+94,∣x∣)，则y≥3时，x的取值范围为（A．x≤−3或x≥1B．x≤−1或1≤x≤3C．-1≤x≤3D．x≤-3或x≥3二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）11．因式分解：4m2−25=(2m+5)(2m﹣5)．12．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为4713.农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种玉米的相关情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到数据如图。则甲、乙两种甜玉米产量的方差大小关系为S2甲＞S2乙（填"<"或">")14．湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y=﹣172x2，正常水位时水面宽AB为24m，当水位上升1.5m时水面宽CD为1215.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究tan∠ACD的值为3+1．三、解答题:（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．(本题满分7分)计算：12−2COS30°+(12)−2+∣−3∣−(π−3.14)=23﹣3+4+3﹣1=23+317．(本题满分7分)解不等式组：3（）≥解不等式①可得，x≥﹣2解不等式②可得，x＜3∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜3所有正整数解有：1、2.18．(本题满分7分)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF（2）过点F作FI⊥AD，垂足为I，∵点F为钢丝中点，AC＝5m，BC＝15m，∴AF=12在Rt△FAI中，∠FAD＝60°,∴AI＝AF•cos60°=10×12在Rt△ACH中，CH＝3m，∠DAC＝36.87°∴AH=30∴HI＝Al﹣AH＝5﹣4＝1（m）20.(本题满分8分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线垂直于AD的延长线，垂足为点E，AC，BD相交于点F．（1）求证：点C是BD的中点；（2）若BD=4，DC=5，求AD的长．证明：连接OC交BD于G∵CE切圆于C∴半径OC⊥CE∵AE⊥CE，∴OC∥AE∴∠OCA=∠EAC∵OA＝OC∴∠OCA=∠OAC∴∠EAC=∠OAC∴CD=BC∴C是BD的中点（2）解：连接BC∵AB为直径∴∠ACB=90°∵∠EAC=∠OAC，且∠CDB=∠OAC∴∠CDB=∠EAC∵∠DCA=∠DAC∴△CDF∽△CAD∴CD2＝CF·CA∴CF=1∵∠EAC=∠OAC∴BC=DC=5在Rt△BCF中，FB2＝FC2+BC2∴FB=621．(本题满分9分)【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣．数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘．【数据搜集与整理】某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=，b=，m=；（2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？（1）答案为：88，87，40；（2）扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为：360°×40%＝144°;（3）八年级学生数学文化知识较好理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好（4）800×310答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有640人22．(本题满分10分)某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意得2500x=2×解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，则x+30＝80.答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元.（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060解得：a≤20答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球.23．(本题满分10分)【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即FA×L1=FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1=1m，距右端L2=0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A．（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为N．（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为xN，L2的长度为ycm．则：①y关于x的函数解析式是．②完成下表：a=，b=。③在直角坐标系中画出该函数的图象．（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的图象，记为L．若点A的坐标为（2，0），在L上存在点Q，使得S△OAQ=9．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．（1）答案为：200；（2）①答案为y=80x②a=4，b=8③函数图象如下所示：（3）点Q的坐标为（809，9）或（116924．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）过点（1，3），交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA=12（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接PQ，BQ，当线段PD长度取得最大值时，求PQ+BQ的最小值；（3）在（2）中线段PD长度取得最大值的条件下，连接PA，将抛物线沿射线CB方向平移得到新抛物线y′，使得新抛物线y′经过点B，且与直线CB相交于另一点M，点N为新抛物线y'上的一个动点，当∠PAC+∠BMN=45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．（1）y=﹣12x2+3（2）32（3）N（3，﹣2）或（173，10