2024-2025学年广东省江门市广雅中学等校高二（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省江门市广雅中学等校高二（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（）A．2种 B．10种 C．12种 D．20种2．（5分）设集合A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+3）}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1） B．（﹣3，0） C．[﹣3，0） D．（﹣3，1）3．（5分）现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的60%分位数为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.64．（5分）若函数f(x)=38xA．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）5．（5分）某中学4位任课老师和班上10位学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数用排列数表示为（）A．A44A11C．A44A6．（5分）已知下列四个图象之一是函数f（x）在某区间的图象，且f（x）的导函数f′（x）在该区间的图象如图所示，则f（x）在该区间的图象是（）A． B． C． D．7．（5分）若A，B，C是圆D：x2+2x+y2+4y﹣10＝0上不同的三点，且tan∠ABC=12，则A．5 B．25 C．23 8．（5分）已知定义在R上的函数f(x+π18)为奇函数，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于点(2π9，0)对称，f′(x)=3f(x+π6)，且f(A．-13 B．13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝（1﹣i）（6+i），则（）A．z=7+5iB．|z-2|=52C．z+7为纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第二象限（多选）10．（6分）已知点E（﹣2，0），F（2，0），A（﹣3，0），B（3，0），M（4，0），N（﹣4，0），点P在曲线C：(xA．曲线C由虚轴长相等的两条双曲线组成 B．存在无数个点P，使得|PA|﹣|PB|＝4 C．存在无数个点P，使得|PM|﹣|PN|＝﹣4 D．存在8个点P，使得|PE|+|PF|=4（多选）11．（6分）下列判断正确的是（）A．方程（x﹣lnx）（x﹣lnx﹣1）＝0有两个不同的实数解 B．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的正整数解共有126组 C．方程xex﹣lnx﹣x﹣1＝0有唯一实数解 D．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的非负整数解共有3003组三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若点A（0，2，0），B（1，3，﹣1），平面α的一个法向量为n→=（1，2，﹣2），则直线AB与平面α所成角的正弦值为13．（5分）将2个i、2个n、2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为．14．（5分）《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，A1B＝32，AB＝AC，则堑堵ABC﹣A1B1C1体积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝6x+2cosx﹣1．（1）求limΔx→0（2）若函数g（x）＝xf（x）+1，求曲线y＝g（x）在点（0，g（0））处的切线方程．16．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2+2n+1．（1）求a1；（2）求{an}的通项公式，并证明{an+1﹣2n+1}为等差数列；（3）若bn=1(2n+1)(an-2n)，求b17．（15分）已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长．（1）若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；（2）若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；（3）从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数．18．（17分）已知函数f（x）＝aln（x+1）+x﹣1．（1）若f（x）在（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）在(-12，7)19．（17分）已知曲线C1：y=ex，直线C2：y＝（1）若m＝1，判断直线C2与曲线C1公共点的个数．（2）已知直线C2与曲线C1相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．①求m的取值范围；②证明：x1

2024-2025学年广东省江门市广雅中学等校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CBBDABCD二．多选题（共3小题）题号91011答案ABBCDBCD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（）A．2种 B．10种 C．12种 D．20种【答案】C【解答】解：因为当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，所以小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有2+10＝12种．故选：C．2．（5分）设集合A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+3）}，则A∩B＝（）A．（﹣2，1） B．（﹣3，0） C．[﹣3，0） D．（﹣3，1）【答案】B【解答】解：由3x＜1，可得x＜0，所以集合A＝{x|x＜0}，由y＝lg（x+3），可得x+3＞0，解得x＞﹣3，所以集合B＝{x|x＞﹣3}，所以A∩B＝{x|﹣3＜x＜0}．故选：B．3．（5分）现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的60%分位数为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.6【答案】B【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为1.1，1.2，1.2，1.3，1.3，1.4，1.6，因为7×0.6＝4.2，所以这组数据的60%分位数为按顺序排列的第5个数据，即1.3．故选：B．4．（5分）若函数f(x)=38xA．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】D【解答】解：f′(x)=9因为函数f(x)=3所以f′(x)=9可得：Δ=36a2-4×98×8＞0，解得：故选：D．5．（5分）某中学4位任课老师和班上10位学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数用排列数表示为（）A．A44A11C．A44A【答案】A【解答】解：某中学4位任课老师和班上10位学生站成一排，则4位任课老师站在一起，而4位任课老师站在一起的排法种数为A4将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有A11再根据分步乘法得排列种数为A4故选：A．6．（5分）已知下列四个图象之一是函数f（x）在某区间的图象，且f（x）的导函数f′（x）在该区间的图象如图所示，则f（x）在该区间的图象是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：根据题意，由导函数f′（x）的图象，在区间（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，排除C、D，同时，在区间（0，2）上，|f′（x）|先变大再变小，则f（x）的图象先变化快后变化慢，排除A．故选：B．7．（5分）若A，B，C是圆D：x2+2x+y2+4y﹣10＝0上不同的三点，且tan∠ABC=12，则A．5 B．25 C．23 【答案】C【解答】解：由圆D：x2+2x+y2+4y﹣10＝0，得（x+1）2+（y+2）2＝15，则圆的半径为15，由tan∠ABC=12，得sin∠ABCcos∠ABC由正弦定理可得：ACsin∠ABC=2R，即AC55=2故选：C．8．（5分）已知定义在R上的函数f(x+π18)为奇函数，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于点(2π9，0)对称，f′(x)=3f(x+π6)，且f(A．-13 B．13 【答案】D【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f(x+π18)为奇函数，则有f（x）＝﹣f（若x＝0，则有f（0）＝﹣f（π9又由f（x）＝﹣f（π9-两边同时求导可得：f′（x）＝f′（π9-又由函数f′（x）的图象关于点(2π9，0)对称，则有f′（x）＝﹣f′（则有f′（4π9-x）＝﹣f′（π变形可得f′（x+π3）＝﹣f（x），则有f′（x+2π3）＝﹣f′（x+π3）＝f′（x），即f′（x故f′（35π18）＝f′（-π18）＝f′（π9+π18）＝f又由f′(x)=3f(x+π6)，则f′（-故f′（35π18）＝﹣f′（-故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z＝（1﹣i）（6+i），则（）A．z=7+5iB．|z-2|=52C．z+7为纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AB【解答】解：∵z＝（1﹣i）（6+i）＝7﹣5i，∴z=7+5i，故A|z﹣2|＝|5﹣5i|=52+(-5z+7＝14﹣5i，不是纯虚数，故C错误；z在复平面内对应的点的坐标为（7，﹣5），位于第四象限，故D错误．故选：AB．（多选）10．（6分）已知点E（﹣2，0），F（2，0），A（﹣3，0），B（3，0），M（4，0），N（﹣4，0），点P在曲线C：(xA．曲线C由虚轴长相等的两条双曲线组成 B．存在无数个点P，使得|PA|﹣|PB|＝4 C．存在无数个点P，使得|PM|﹣|PN|＝﹣4 D．存在8个点P，使得|PE|+|PF|=4【答案】BCD【解答】解：由(x得x24-则曲线C由双曲线x24-对于选项A，双曲线x24-y2对于选项B，点A（﹣3，0），B（3，0）是双曲线x24-y25=1的两个焦点，则存在无数个点P对于选项C，点N（﹣4，0），M（4，0）是双曲线x24-y212=1的两个焦点，则存在无数个点P对于选项D，由|PE|+|PF|=42＞4=|EF|，得点P的轨迹是以E，F为焦点，由图知，该椭圆与曲线C共有8个交点，因此存在8个点P，使得|PE|+|PF|=42，故选项D故选：BCD．（多选）11．（6分）下列判断正确的是（）A．方程（x﹣lnx）（x﹣lnx﹣1）＝0有两个不同的实数解 B．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的正整数解共有126组 C．方程xex﹣lnx﹣x﹣1＝0有唯一实数解 D．方程x1+x2+x3+x4+x5+x6＝10的非负整数解共有3003组【答案】BCD【解答】解：对于A，令函数f（x）＝x﹣lnx（x＞0），求导得f′(x)=1-1当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1，因此x﹣lnx＞0，所以x﹣lnx﹣1＝0有唯一解，故A错误；对于B，将10个相同小球排成一列，用5块隔板将10个小球分成5部分，每种分法的5个结果即为一组正整数解，共有C95=126对于C，函数g（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣l定义域为（0，+∞），求导得g′(x)=(x+1)e令函数h(x)=e函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，h(12)=e-2＜0则存在唯一实数x0∈(12，1)，使得即ex当0＜x＜x时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g(x)因此方程xex﹣lnx﹣x﹣1＝0有唯一实数解x0，故C正确；对于D，原方程化为（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+（x4+1）+（x5+1）+（x6+1）＝16，将16个相同小球排成一列，用5块隔板将16个小球分成5部分，每种分法的5个结果即对应一组非负整数解，共有c155=3003故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若点A（0，2，0），B（1，3，﹣1），平面α的一个法向量为n→=（1，2，﹣2），则直线AB与平面α所成角的正弦值为5【答案】53【解答】解：由条件可得：AB→直线AB与平面α所成角的正弦值为：|AB故答案为：5313．（5分）将2个i、2个n、2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为1630【答案】1630【解答】解：2个i、2个n、2个o与1个p随机排成一排，则总排列数为A7而满足题意的排列方式只有1种，则所得字母串恰为单词opinion的概率为1630故答案为：163014．（5分）《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，A1B＝32，AB＝AC，则堑堵ABC﹣A1B1C1体积的最大值为66【答案】66【解答】解：设AB＝AC＝a，A1A＝b，则根据题意可得a2所以堑堵ABC﹣A1B1C1的体积为：12当且仅当a2＝2b2＝12时，等号成立，所以堑堵ABC﹣A1B1C1体积的最大值为66故答案为：66四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数f（x）＝6x+2cosx﹣1．（1）求limΔx→0（2）若函数g（x）＝xf（x）+1，求曲线y＝g（x）在点（0，g（0））处的切线方程．【答案】（1）6；（2）2x﹣y+1＝0．【解答】解：（1）因为f（x）＝6x+2cosx﹣1，所以f′（x）＝6﹣2sinx，所以limΔx→0f(π+Δx)-f(π)Δx=（2）因为g（x）＝xf（x）+1＝6x2+2xcosx﹣x+1，所以g′（x）＝12x+2（cosx﹣xsinx）﹣1，所以g（0）＝1，g′（0）＝1，所以所求切线方程为y＝x+1，即为x﹣y+1＝0．16．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2+2n+1．（1）求a1；（2）求{an}的通项公式，并证明{an+1﹣2n+1}为等差数列；（3）若bn=1(2n+1)(an-2n)，求b【答案】（1）7；（2）an=7，n=1【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2+2n+1，所以a1＝S1＝3+4＝7；（2）因为Sn＝3n2+2n+1，所以当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝6n﹣3+2n，所以an证明：因为an+1﹣2n+1＝6（n+1）﹣3+2n+1﹣2n+1＝6n+3，所以an+1﹣2n+1﹣an+2n＝6，所以{an+1﹣2n+1}为等差数列；（3）由（2）可知bn=1所以b2+b3+…+b100==117．（15分）已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长．（1）若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；（2）若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；（3）从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数．【答案】（1）21；（2）14400；（3）465．【解答】解：（1）根据题意，从这12名运动员中选派2人，若这2人都擅长足球，在擅长足球的7人中选出2人即可，有C7（2）根据题意，共有8人擅长篮球，其中5人只擅长篮球，还擅长足球有3人，将8人排成一排，擅长足球的运动员互不相邻的排法有A5（3）根据题意，分4种情况讨论：①选出的4人中没有两项都擅长的运动员，有C5②从两项都擅长的运动员中选出1人，有C31（C5③从两项都擅长的运动员中选出2人，有C32（C4④从两项都擅长的运动员中选出3人，有C3则有60+210+168+27＝465种选法．18．（17分）已知函数f（x）＝aln（x+1）+x﹣1．（1）若f（x）在（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）在(-12，7)【答案】（1）[﹣2，+∞）．（2）当a≥0时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增．（3）(-2【解答】解：（1）因为f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f′(x)=ax+1+1≥0对即a≥﹣x﹣1对x∈（1，+∞）恒成立，所以a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）由题知，f（x）的定义域为（﹣1，+∞），又f′(x)=x+a+1x+1，令f′（x）＝0，可得x＝﹣当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．当a＜0时，令f′（x）＜0，得﹣1＜x＜﹣a﹣1，令f′（x）＞0，得x＞﹣a﹣1，则f（x）在（﹣1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增．综上，当a≥0时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增．（3）由（2）知，当a≥0时，f（x）在(-1则f（x）在(-12，7)当a＜0时，要使得f（x）在(-1则-12＜-a-1＜7且f(-1设函数g(a)=aln(-a)-a-2，-8＜a＜-1则g′（a）＝ln（﹣a），令g′（a）＝0，可得a＝﹣1，当a∈（﹣8，﹣1）时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，当a∈(-1，-12)时，g′（a）＜0，g所以g（a）的最大值为g（﹣1）＝﹣1＜0．